楊衍婷，趙建堂

（咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

Fibonacci 數(shù)是最著名的數(shù)列之一，它具有許多有趣的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)、計算機等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。關(guān)于Fibonacci 數(shù)，有許多推廣的定義和性質(zhì)。在文獻[1]中，Kalman 引入了k階廣義Fibonacci數(shù)。特別地，3 階廣義Fibonacci 數(shù)通過遞推關(guān)系式定義如下

其中α,β,γ分別是方程x3-ax2-bx-c=0 的不同根。具有負下標(biāo)的3 階廣義Fibonacci和Lucas 數(shù)定義為

根據(jù)具有非負下標(biāo)和負下標(biāo)的3 階廣義Fibonacci 和Lucas numbers 的定義，對于任意的整數(shù)m，有

可得非負下標(biāo)和負下標(biāo)的序列之間的恒等關(guān)系

標(biāo)記Δ=(α-β)(β-γ)(γ-α)。在Binet型公式中，左右兩邊同時乘以Δ，可得3 階廣義Fibonacci 和Lucas 數(shù)之間的關(guān)系

1963年，Horadam[2]引入了Fibonacci復(fù)數(shù)的概念=Fn+Fn+1i(n≥0)，F(xiàn)n是Fibonacci 數(shù)列的第n項，i是虛數(shù)單位，滿足i2=-1。類似地，Gaussian Fibonacci 數(shù)定義為Gn=Fn+Fn-1i(n≥2)，初始條件G0=i,G1=1，且i2=-1。1977年，Berzsenyi[3]在FibonacciQ矩陣的基礎(chǔ)上給出了Gaussian Fibonacci的封閉形式。近年來，人們對Fibonacci復(fù)數(shù)的研究越來越感興趣[4-10]。例如，Jiang[4]證明了Gaussian Fibonacci循環(huán)型矩陣在n＞2 下是可逆矩陣，并給出了其行列式的值和逆矩陣。Pethe[5]給出了復(fù)Tribonacci 序列在高斯整數(shù)上的恒等式。Soykan[6]定義了高斯廣義Tribonacci 數(shù)，并作為特例給出了高斯Tribonacci 數(shù)和高斯Tribonacci-Lucas 數(shù)的性質(zhì)。Tasci[7]定義了高斯Tetranacci序列并給出了生成函數(shù)、Binet型公式、求和公式及高斯Tetranacci 數(shù)的矩陣表示。Soykan[8]定義了廣義Gaussian Hexanacci 數(shù)，研究了它們的性質(zhì)，得到了一些恒等式，并給出了Gaussian Hexanacci 數(shù)的矩陣形式。Soykan[9]和Prasad[10]將Gaussian Fibonacci數(shù)用于編碼/解碼理論。

1 3階廣義Fibonacci和Lucas復(fù)數(shù)的定義

其中i 是虛數(shù)單位，滿足i2=-1，分別是3階廣義Fibonacci和Lucas數(shù)。

根據(jù)3階廣義Fibonacci和Lucas復(fù)數(shù)的定義，對于任意的整數(shù)n

2 主要結(jié)論證明

為了研究3 階廣義Fibonacci 和Lucas 復(fù)數(shù)的性質(zhì)，首先給出定理1。

定理13 階廣義Fibonacci 和Lucas 復(fù)數(shù)的生成函數(shù)如下

從而根據(jù)等式（12）可得3 階廣義Fibonacci復(fù)數(shù)的生成函數(shù)。同理可以得到3 階廣義Lucas 復(fù)數(shù)的生成函數(shù)。

定理2（Binet 型公式）對于任意的整數(shù)n，3階廣義Fibonacci 和Lucas 復(fù)數(shù)的Binet 型公式如下

定理3（Vajda 恒等式）對于任意的整數(shù)n，當(dāng)a=c時，3 階廣義Fibonacci復(fù)數(shù)的Vajda恒等式如下

證明：利用定理2的Binet型公式，通過計算可得

因為α、β、γ是方程x3-ax2-bx-c=0 的不同根，通過加項減項，式（22）可變換為

將式（23）的實部變換為關(guān)于3 階廣義Lucas 數(shù)的表達式，即

同樣地，式（23）的虛部做類似變換，基于等式（11），（14）-（16），通過合并同類項可得定理2的結(jié)論。

定理4（Vajda 恒等式）對于任意的整數(shù)n，當(dāng)a=c時，3 階廣義Lucas復(fù)數(shù)的Vajda恒等式如下

考慮到α、β、γ是方程x3-ax2-bx-c=0 的不同根，通過加項減項，等式（25）轉(zhuǎn)化為

通過合并同類項，在等式（15）的基礎(chǔ)上，可得結(jié)論。

下面，給出Vajda等式的特殊情況。

推論1（Cassini 等式）對于r=-m=1，a=c，Cassini等式為

推論2（Catalan等式）對于r=-m，a=c，Catalan等式為

推論3（d'Ocagne 等式）對于r=j-n，m=1，a=c，d'Ocagne等式為