無限脈沖響應(yīng)切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計

何穎，安曉莉

（西安思源學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，陜西西安， 710038）

0 引言

數(shù)字信號的處理在最近的幾年中發(fā)展迅速，是最有前景的學(xué)科之一。數(shù)字信號處理是指的將連續(xù)的模擬信號經(jīng)過采樣和模數(shù)轉(zhuǎn)化，成為數(shù)字信號，輸入到計算機中進行處理，在數(shù)字信號處理的內(nèi)容中，信號濾波是最重要的一個環(huán)節(jié)。對信號進行濾波是現(xiàn)在的各種電子信息產(chǎn)品所必備的，濾除掉不要的或者說干擾的頻率信號留下需要的頻率信號[1~2]。

對數(shù)字信號進行濾波引起了國內(nèi)外專家學(xué)者的廣泛關(guān)注，數(shù)字濾波器的設(shè)計工作在世界范圍內(nèi)的研究如火如荼地進行中。由于數(shù)字信號濾波器具有眾多的優(yōu)點，如：可靠性高、準確性高、靈活性高等，從而被廣泛地應(yīng)用于各行各業(yè)。隨著信息時代的進一步發(fā)展，數(shù)字信號濾波的需求和要求也是不斷提高，數(shù)字濾波器的分析和設(shè)計變得更為重要[3~5]。

利用MATLAB進行數(shù)字濾波器的設(shè)計和分析可以更為方便地為實際的濾波器的設(shè)計提供思路和想法。能夠極大地縮短濾波器研發(fā)和設(shè)計所用的時間，并能夠獲得更高的設(shè)計性能。

無限長脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字帶通濾波器設(shè)計時，首先給定數(shù)字濾波器的性能指標，然后按照頻帶變換轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器的性能指標，進行模擬濾波器的響應(yīng)設(shè)計，最后根據(jù)雙線性變換原則將模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器。

1 傅里葉變換

傅里葉變換是建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜函數(shù)”之間的某種變換關(guān)系。性能指標變換規(guī)則有沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。雙線性變換法可以較準確地控制截止頻率的位置，克服了產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器必定穩(wěn)定，雙線性變換法為了克服多值映射，首先把整個s平面壓縮變換到某一中介的s1平面的一條橫帶中，變換關(guān)系為即得再通過變換z=es1T把橫帶映射到z平面上，實現(xiàn)了s平面與z平面的一一對應(yīng)關(guān)系。

2 切比雪夫低通濾波器

切比雪夫濾波器是一種在通帶中等波紋、阻帶中單調(diào)的濾波器，稱為切比雪夫Ⅰ型[6~8]。其低通濾波器幅度響應(yīng)為：

式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋大小的一個參數(shù)，ε越大，波紋也越大。N代表濾波器的階次，

3 離散周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）

給定信號為：

x(t) = 30sin(2π?10 ?t) + 30sin(2π? 2000 ?t) + 30sin(2π? 6000 ?t)

（1）求x(t)的傅里葉變換：

可先將x(t)其展成指數(shù)型，對比FS反變換公式：x(t)=求出傅里葉級數(shù)的系數(shù)X(jk?0)。對x(t)采樣得x(n)，求：

因篇幅有限，7200個點圖像過于密集，圖1只給出X~(k)在k=?6 50,… , 0,… , 650區(qū)間的頻率特性?？煽闯觯瑘D形關(guān)于原點共軛偶對稱，即幅頻特性為偶函數(shù)，相頻特性為奇函數(shù)。事實上，在k= 0,1,… , 7199周期里，有

可得X~(k)的頻率特性如圖1所示。k= 1,200,600,6600,7000,7199幅值為108000，并且相頻特性關(guān)于(3599.5,0)對稱。

2）將電熔套管從包裝袋中取出，并檢查確認配件內(nèi)壁是干凈的。如有需要，可使用酒精擦拭紙擦拭電熔套管內(nèi)壁，在開始焊接工藝前，確保清潔后的電熔套管內(nèi)壁是完全干燥。

圖1 的頻率特性

4 切比雪夫濾波器運算設(shè)計

■4.1 模擬帶通濾波器

①求ε和N。

取N為最小正整數(shù)N=2。

②求3dB截止頻率?3dB。

把N=2代入到阻帶指標要求公式中，阻帶指標滿足要求，且由于N= 2 > 1.7747，因而通帶指標一定超過要求。將N=2代入阻帶條件，可得：

歸一化參數(shù)：

③查表法求解切比雪夫低通濾波器G(p)。

根據(jù)N=2，查表可得歸一化原型濾波器，

④模擬低通到模擬帶通的轉(zhuǎn)換。

根據(jù)題目要求，分母整理為常1多項式，即分子分母同時除以 2.4812×1016，可得H(s)。

■4.2 數(shù)字帶通濾波器

根據(jù)題目要求，分母整理為常1多項式，即分子分母同時除以20

4.3983×10 ，可得：

將系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)代入表1，即可得到IIR帶通濾波器的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。

表1 IIR帶通濾波器的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)

5 實驗及結(jié)果分析

■5.1 模擬濾波器分析

圖2、圖3，分別從時域和頻域?qū)η斜妊┓蚰M帶通濾波器進行分析，濾波器滿足題目要求的各項性能指標，且具有良好的穩(wěn)定性、快速性和準確性。

圖2 切比雪夫模擬帶通濾波器階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)

圖3 切比雪夫模擬帶通濾波器頻譜圖

從圖3中，幅頻圖中可以明顯看到切比雪夫濾波器最大的特點：波紋特性，從相頻圖中可以看到其最大的優(yōu)點，相比巴特沃斯濾波器，頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小。由于該波紋的谷值接近要求的通帶衰減，導(dǎo)致該參數(shù)下切比雪夫濾波器幅值失真。如圖4、圖5，將切比雪夫模擬帶通濾波器的輸入和輸出進行對比，發(fā)現(xiàn)輸出函數(shù)的幅值不是2000Hz分量的幅值30，而僅為24。圖5中給出當輸出波形尚未穩(wěn)定時與輸入信號2000Hz分量幾乎重合，這意味著在該暫態(tài)過程中濾波器濾去了低頻和高頻諧波。而穩(wěn)態(tài)后，相位沒有偏差，僅在幅值上存在一定差值?？梢酝ㄟ^校正，以增益系數(shù)來改變切比雪夫濾波器。

圖4 切比雪夫模擬帶通濾波器輸入輸出信號對比

圖5 切比雪夫模擬帶通濾波器輸入及各分量與輸出信號的對比

■5.2 數(shù)字濾波器分析

圖6、圖7分別從時域和頻域?qū)η斜妊┓驍?shù)字帶通濾波器進行分析，濾波器滿足題目要求的各項性能指標。圖6中，其穩(wěn)定性、快速性和準確性看起來相對巴特沃斯波動次數(shù)較多。

圖6 切比雪夫數(shù)字帶通濾波器階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)

圖7 切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的頻譜圖

圖8將切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的輸入和輸出進行對比。相比最平的巴特沃斯濾波器，存在一定的幅度失真。

圖8 切比雪夫數(shù)字帶通濾波器輸入及各分量與輸出信號的對比

圖9給出了切比雪夫數(shù)字帶通濾波器輸出信號的頻譜圖，可見圖1所示抽樣信號經(jīng)過濾波器之后，只剩下2000Hz頻率，滿足題目要求。說明切比雪夫帶通濾波器之后，相位沒有發(fā)生失真，僅僅有幅值不滿足要求，故采用增益校正可行。

圖9 切比雪夫數(shù)字帶通濾波器輸出信號頻譜圖

6 結(jié)論

切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，其經(jīng)濟性會更好，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小。就其輸出效果而言，在相同指標下，切比雪夫濾波器的階次較小，但對于帶通濾波器而言，由于切比雪夫Ⅰ型濾波器在通頻帶內(nèi)存在幅度波動。