從解決問題到提出問題
——以一輪復習微專題“三角形中的范圍(最值)問題”為例*

劉 煒 (江蘇省蘇州中學 215007)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》明確了數(shù)學課程的“四能”：從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.近年來，提出問題成為國內(nèi)外學者關注與研究的教育主題.事實上，心理學研究早就肯定了提出問題的能力是創(chuàng)造力的一種表現(xiàn)，國內(nèi)學者也早已用問題提出測量學生的思維品質(zhì)，并利用自編應用題來培養(yǎng)小學生的創(chuàng)造力[1]．同時，提出問題的過程與形式是開放的，不同程度的學生都可以參與其中，挖掘他們更大的學習潛力，從而比解決問題給學生提供了更多學習機會[2].事實上，要培養(yǎng)學生提出問題的能力，教師要成為好的提出問題者，并能將提出問題與教學活動整合，才能將數(shù)學教學活動從解決問題走向提出問題.

2020年，筆者應江蘇省東臺中學邀請，開設了一輪復習微專題“三角形中的最值與范圍問題”，對提出問題開展了初步教學實踐，形成了有益的經(jīng)驗，即從問題出發(fā)類比推理，從模型出發(fā)構建情境[3]，以期實現(xiàn)培育提出問題的能力.時隔兩年，筆者再次受邀開設同題的公開課，促成了自我的“同題異構”，進一步落實提出問題的理念，以期更好地培育學生的“四能”.

1 教學實踐

1.1 多角度解決問題

教師布置“課前作業(yè)”，以波利亞在1945年所著的《怎樣解題》(HowtoSolveIt)一書中提出解決問題的四個步驟為藍本，給學生制定了解決問題的指導語與解題表(表1).

表1 解決問題的指導語與解題表

教師在課前收集并整理學生的完成情況，分別展示幾種典型的解決問題的方案，并比較“形異質(zhì)同”的多個方案，與學生共同提煉解決三角形中相關問題的“通性通法”，即模式.

圖1

師：點A的軌跡是圓嗎？

生：不是，去掉P，Q兩點.

師：是去掉兩點的一段圓弧嗎？

生：是，(停頓)那不是，應該是兩段對稱的圓弧.

師：的確，在“軌跡”的相關問題上，要注意純粹性與完備性.

師：在代數(shù)推理過程中，方法2與方法3有什么區(qū)別？

生：方法2適用求最值，方法3適用求范圍.

師：總結得相當好，那么有什么共性呢？

生：都是用了邊和角的關系.

師：更加準確地來說，建立邊和角的等量關系，選擇合適的工具得到范圍或最值.

設計意圖問題1是經(jīng)典的解三角形問題，可以根據(jù)幾何直觀，也可以用代數(shù)推理，即使用角元變量、邊元變量，而后選擇三角函數(shù)、基本不等式加以處理.對于這類問題，學生是熟悉的，但是問題的深入分析與反思則是學生比較薄弱的,因此解決問題的教學分兩步走：在課前，用表格形式指導學生將分析問題的過程形成文字，既達成引導學生對感性判斷作理性思考，同時也指明了分析問題的常規(guī)思路；在課上，通過不同方法的比較，展現(xiàn)學生解題過程，從而梳理三角形中常規(guī)的研究方法，幫助學生從解題經(jīng)驗中找到解決問題的一般觀念，最終找到認識、表達、解決一類數(shù)學問題的程式化了的方法[4].

1.2 多角度提出問題

師：三角形中，除了六個基本量(三邊三角)外，還有什么刻畫三角形的相關要素呢？

生：面積、周長.

師：通常情況下還有外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，把它們稱為四個輔助量.在三角形中還有一些特殊線段，比如說？

生：中線，角平分線.

師：把高線、中線和角平分線稱為三個相關量.問題1中問面積的取值范圍，那還可以提什么問題？

生：周長、高線、中線、角平分線.

討論發(fā)現(xiàn)，高線與面積有關，周長與面積相似，都可以預期結果．在中線與角平分線中，學生選擇了中線，類比提出如下問題：

問題2已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長.當P，Q處于什么位置時，△APQ的中線AB最長?

師：這個問題對嗎？(學生沉默、疑惑)如果要研究中線，應該選什么作為基本變量？用什么建立等量關系？

師：現(xiàn)在能判斷是最大值還是最小值嗎？

生：當A為銳角時，AB有最大值；當A為直角時，AB為定值；當A為鈍角時，AB有最小值.

師：很好!這里需要根據(jù)符號確定最值，也就是進行適當?shù)挠懻?類比提出的問題不一定就是準確的，大家可以課后研究一下如下提法是否妥當：

思考已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長.當P，Q處于什么位置時，△APQ的角平分線AB最長?

設計意圖類比是數(shù)學推理之一，即觀察到兩個或兩類事物在許多屬性上都相同，便推出它們在其他屬性上也相同.類比是一種合情推理，也是一種形象思維，不能保證所做的推理科學正確，但是可以開拓學生的學術視野與創(chuàng)造能力，同時還可以幫助學生形成求真意識和思辨精神，這是數(shù)學“立德樹人”的重要內(nèi)容.在本環(huán)節(jié)中，筆者不僅讓學生提出問題，還讓學生辨析問題的提法是否準確，并給學生留有課后思考的問題，讓他們再次對類比所提問題加以辨析并解決，漸漸讓學生從解決問題走向提出問題，并對問題的準確性加以辨別，讓學生從感性走向理性.

師：剛才通過類比提出了一些問題，還可以提什么問題？(學生沉默)命題中有條件與結論的區(qū)別，它們可以適當調(diào)換，由此啟發(fā)，可以提什么問題？

生：給定面積，研究角或邊長的范圍和最值問題.

師：的確可以提出這樣的問題，如果面積為定值，邊PQ為定值，那么點A在平行于PQ的直線上運動，對于角的刻畫是容易處理的.再一起來看另一個問題：

問題3在△APQ中，∠A為定角，△APQ的面積為定值，求PQ的取值范圍.

師：基于前面解決問題的經(jīng)驗，該如何處理呢？

生：尋找等量關系，然后求目標的最值，計算一遍就可以.

師：是否可以借用前面的結論去處理呢？

師：這類問題可以稱為原問題的逆問題，其處理的基本思路就是按照原本方向進行.借助圖形直觀，不難發(fā)現(xiàn)三角形可以變得極其細長，那加什么限制條件可限定圖形的變化？

生：銳角三角形，或者鈍角三角形.

變式 已知△APQ是銳角三角形，∠A為定角，△APQ的面積為定值，求PQ的取值范圍.

師：能否還延續(xù)上述做法？用什么來刻畫銳角三角形比較方便？

生：選擇角為變量.

設計意圖在《什么是數(shù)學》中曾提出一對問題：在三角形中，給定面積和某邊長求周長的最小值；給定周長和某邊長求面積的最大值[5].就是交換了條件與結論中的對象，相對形成了原問題與逆問題.對于已有問題來說，就可以將目標作為條件，將某個條件作為目標，調(diào)換一個推理方向來提出新問題.如此，不僅可以提出更多、更新鮮的問題，而且可以讓學生認識到研究對象的整體性，有助于從更高的層面來審視情境與問題.

師：既然可以交換目標與條件提出新的問題，那么是否也可以改變條件而提出新的問題呢？我們來審視問題1中的兩個條件∠A為定角，PQ為定長.“PQ為定長”是對邊的一種限定刻畫，那還有什么方式可以刻畫呢？

生：傾斜程度確定.

師：這樣的三角形都是相似的，該問題比較平凡，還可以如何？

生：過某點.

師：這個提議很有意思，由此可以提煉出如下問題——

問題4已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ過點M，其中點M在∠A內(nèi)且到AP，AQ的距離分別為d1，d2(d1，d2>0)，當P，Q處于什么位置時，△APQ的面積最?。?/p>

師：這里用到距離，考慮看看應該用什么建立等式呢？(生答面積)很好，大家課后嘗試下.問題4是改變其中一個條件，另一個也可以改嗎？點A在圓弧上運動，如果讓你改，可以在什么上呢？

生：點A在某條直線上.

師：“∠A為定角”是對定點所在位置的一種限定刻畫.類似地，可以說點A在直線上，或者在其他曲線上，最簡單可以提出如下情境：

師：可以研究什么對象？

生：面積.

師：幾何直觀可以看到范圍.

生：周長.

師：跟面積一樣，不過如果直線不是垂直的，就是將軍飲馬問題.

生：∠PAQ.

師：這個提議很好，這類張角問題是典型的米勒問題.由于時間關系，具體細節(jié)有勞大家完成.當然，斜線甚至是曲線，同學們都可以嘗試.回顧本節(jié)課的歷程，從解決問題常見三類切入點到提出問題常用三種著力點，進一步理解三角形中各種量之間的關系，做到解決范圍與最值問題.

設計意圖在同一情境下，類比提出不同的研究目標，那么替換條件從一定意義上來說也是類比.這種類比造成了情境的改換，達到煥然一新的狀態(tài).由于情境的改換，問題就從原有的模式變成新鮮的，從而解決問題的方法和策略都需作出相應調(diào)整，才能真正解決新的問題.由于課堂時間有限，本環(huán)節(jié)只安排了提出問題，并沒有解決問題，一方面教師引導學生去體驗如何提出問題，另一方面也延伸了課堂的空間與時間，留下充分的思考余地.

2 教后反思

問題是數(shù)學的心臟，解決問題是學習數(shù)學主要的形式，提出問題是理解數(shù)學的重要方式.如何才能夠更多更好地提出問題呢？筆者認為，可以從以下三種路徑來學習提出問題(圖2).

圖2 提出問題的三種路徑示意圖

2.1 用類比思想，更換目標提出問題

在同一數(shù)學情境下，對于研究目標，可以通過類比提出相仿的問題.如在本案例中，面積(目標0)類比可以得到周長(目標1)，其本質(zhì)是sinA+ sinP+sinQ，繼續(xù)類比可得cosA+cosP+ cosQ(目標2)，當然也可以直接從目標0再次類比到高線，繼而類比到中線、角平分線等.一次類比可以提出一些問題，二次類比可以提出更多問題……問題可以成“指數(shù)式”增多，但注意到類比是一種合情推理，還需要通過理性分析來判斷問題的準確性.

2.2 逆推理順序，交換對象提出問題

在同一數(shù)學情境下，所研究問題的條件與結論都是對該情境中部分量的刻畫，所謂邏輯上的正向與逆向，只不過是把其中一部分作為已知，再把另外一部分作為未知而已，由此可以通過交換它們提出新的問題.在本案例中，在面積(目標0)確定時，可以去研究邊PQ(條件1)或∠A(條件2)的變化，解決問題的方法并沒有發(fā)生太大的變化，進而可以理解這類數(shù)學情境的本質(zhì).隨著對目標類比提問的增多，可以用目標1、目標2等去交換條件1或條件2等，如此疊加，可以提出更多有益的問題.

2.3 析數(shù)學本質(zhì)，替換條件提出問題

前兩種提問的路徑中，所研究的數(shù)學情境是不變的，如果讓原始問題中某些條件進行重新限定，就可以產(chǎn)生新的數(shù)學情境.在本案例中，∠A為定值(條件2)刻畫了點A在圓弧上運動，可以替換成點A在直線上運動(條件2′)，從而提出了問題5.類似地，此條件還可以有其他的限定，其他條件亦可作相應替換，又一次可以利用前兩種路徑繼續(xù)提出問題，由此提出問題的數(shù)量可是成“冪集式”增長.

以上給出了三種提出問題的基本路徑，教師的示范是重要的，但還要通過教師的語言精確地引導學生主動提出問題，踐行主動學習的原則[6].只有讓學生經(jīng)歷了提出問題的過程，他們才會真正體會到提出問題的路徑，最終學會主動提出問題，提升提出問題的能力.

波利亞曾經(jīng)呼吁：讓我們教猜想吧！筆者也號召所有同仁：讓我們教提問吧！