唐亞軍 唐永生 李亞文 朱雨亭 (合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 230601)

1 前言

考試命題對(duì)學(xué)校教育教學(xué)具有重要引導(dǎo)作用，是健全立德樹人落實(shí)機(jī)制、扭轉(zhuǎn)不科學(xué)教育評(píng)價(jià)導(dǎo)向的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對(duì)于全面貫徹黨的教育方針和發(fā)展素質(zhì)教育具有重要意義[1].因而對(duì)數(shù)學(xué)試卷的分析是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的重要內(nèi)容，教師對(duì)試題及學(xué)生成績(jī)的分析可以為評(píng)價(jià)區(qū)域和學(xué)校教學(xué)質(zhì)量、改進(jìn)教學(xué)提供重要參考[2].數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試(中考)是依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生學(xué)完本課程后的課程目標(biāo)達(dá)成度進(jìn)行的終結(jié)性評(píng)價(jià).中考試題一般代表著教學(xué)的方向，它所考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)與能力，這種能力集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的把握、數(shù)學(xué)技能的熟練與數(shù)學(xué)思維的完善.同樣，中考幾何試題反映幾何知識(shí)的層次，反映對(duì)學(xué)生幾何技能和幾何思維的要求，因此基于中考幾何試題的分析與總結(jié)，進(jìn)而思考如何促進(jìn)幾何教學(xué)質(zhì)量提升是一項(xiàng)非常必要的工作.

2 相關(guān)研究闡述

幾何知識(shí)主要指初中階段平面幾何基本知識(shí).幾何圖形及其性質(zhì)是幾何知識(shí)的主要內(nèi)容，幾何語言是其主要表達(dá)方式，幾何推理與證明是其主要操作手段，是幾何技能與幾何思維的基礎(chǔ)；幾何技能不是人腦中所固有的，而是在不同階段幾何知識(shí)的積累與運(yùn)用過程中逐步發(fā)展而來的，是在練習(xí)的基礎(chǔ)上形成的、按照幾何內(nèi)在規(guī)則順利完成某種與幾何有關(guān)的活動(dòng)任務(wù)的技能[3]；幾何思維是在幾何技能熟練操作的基礎(chǔ)上慢慢形成的一種潛在性的思維，是人類理性活動(dòng)的正常發(fā)展中不能缺少的階段.幾何知識(shí)到幾何技能、幾何思維的發(fā)展是一種循序漸進(jìn)、不斷深化的過程.學(xué)生在掌握幾何知識(shí)并通過練習(xí)形成心理操作，這種操作達(dá)到熟練和自動(dòng)化就形成相應(yīng)的幾何技能.一方面幾何技能會(huì)促進(jìn)對(duì)幾何知識(shí)的理解，另一方面心智操作的成熟也會(huì)促進(jìn)學(xué)生幾何思維的形成.三者之間的關(guān)系密不可分.已有研究[4-5]將幾何技能主要概括為視覺技能、語言技能、畫圖技能、邏輯推理技能與應(yīng)用技能，其中視覺技能是基礎(chǔ)，邏輯推理技能是核心.幾何思維水平公認(rèn)的是以范希爾理論為基礎(chǔ)的視覺、分析、非形式化演繹、形式化演繹、嚴(yán)密性五個(gè)層次[6].因此，以知識(shí)為內(nèi)容的幾何試題中體現(xiàn)著對(duì)幾何技能與幾何思維的考查，各思維層次對(duì)知識(shí)內(nèi)容與技能類型的要求也不相同，這也是本研究的理論性依據(jù).

教育部明確指出，試題命制既要注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要注重考查思維過程[1].縱觀已有的中考試題研究，大致分幾類：以特例研究，著眼于一道幾何試題的多種解法或價(jià)值思考；進(jìn)行幾何試題的專題式(如圓)研究，分析知識(shí)模塊的重要性；以中考試題為背景的命題特點(diǎn)分析和解題策略研究；以各省市中考試卷為例進(jìn)行質(zhì)量分析及各省市中考試卷之間的比較分析；中考試題與課程標(biāo)準(zhǔn)一致性的研究等.中考幾何試題知識(shí)分布的研究多體現(xiàn)在綜合性的試卷分析，以圖形和幾何為模塊出現(xiàn).李柏翰等[7]以范希爾理論為基礎(chǔ)研究了中考幾何試題的思維層次分布及各層次的主要幾何知識(shí)分布，為其他研究者提供范本.因此，本文從幾何知識(shí)、技能與思維三個(gè)方面對(duì)8省中考試卷進(jìn)行分析.

3 中考幾何試題研究過程

3.1 中考試題的選取

研究者選取安徽、河北、河南、山西、陜西、江西、福建、云南2022年的中考試題作為樣本，這8省初中學(xué)業(yè)水平測(cè)試均為全省統(tǒng)考，受眾面大，對(duì)幾何知識(shí)內(nèi)容的考查也相對(duì)較為完善.雖然各省初中教材版本不盡相同，但是對(duì)幾何知識(shí)內(nèi)容、目標(biāo)與能力的考查以課程標(biāo)準(zhǔn)為范本，因此教材版本的不同對(duì)中考幾何試題的分析沒有影響.

3.2 幾何試題分析內(nèi)容及量化標(biāo)準(zhǔn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》將初中幾何內(nèi)容分為“圖形的性質(zhì)、圖形的變化及圖形的坐標(biāo)”，3個(gè)板塊的內(nèi)容包含13項(xiàng)內(nèi)容，又細(xì)化為87條具體內(nèi)容要求.研究者依據(jù)13項(xiàng)內(nèi)容對(duì)考查內(nèi)容進(jìn)行計(jì)分，其原則如下：對(duì)每道題體現(xiàn)的主要知識(shí)進(jìn)行計(jì)分；若題目中出現(xiàn)若干小問則以每小題所考查的知識(shí)內(nèi)容劃分，分值以參考答案為標(biāo)準(zhǔn).比如一道6分的試題中全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵性因素，則給三角形計(jì)6分、圖形的相似計(jì)6分.

幾何試題的解題往往需要多種幾何技能的組合.研究者依據(jù)幾何技能內(nèi)容及其表現(xiàn)形式[4-5]，給出了幾何技能量化表(表1).每道確定的試題都有其主導(dǎo)功能且應(yīng)優(yōu)先保證其主導(dǎo)功能的實(shí)現(xiàn)[8]. 幾何試題的主導(dǎo)功能就是使學(xué)生的幾何知識(shí)成熟與自動(dòng)化，進(jìn)而形成幾何技能，發(fā)展幾何思維.因此每道題都有其培養(yǎng)的主要技能和次要技能.合理的試題一般具有兩種以上的技能的組合.因此，幾何技能的計(jì)分原則如下：對(duì)試題的主要技能計(jì)全分，次要 技能按照技能的個(gè)數(shù)平均計(jì)分.如一道6分的試題涉及視覺、邏輯與繪畫技能，且邏輯是主要技能，則邏輯技能計(jì)6分，視覺技能與繪畫技能分別計(jì)2分(6/3).

表1 幾何技能量化表

中考幾何試題的考查反映了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生幾何思維水平的要求，因此研究者依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、范希爾幾何思維水平[6]，參照李柏翰幾何思維量化表[7]編制了范希爾幾何思維水平量化表(表2)，分析幾何試題中體現(xiàn)的幾何思維層次及知識(shí)內(nèi)容的分布.同一幾何試題中會(huì)出現(xiàn)多種思維水平，考慮到思維水平是逐步發(fā)展的，在計(jì)分時(shí)以幾何試題中最高層次水平計(jì)分.如一道4分的試題中有層次1和層次2，給層次2計(jì)4分.

表2 范希爾幾何思維水平量化表

4 研究結(jié)果分析

4.1 幾何知識(shí)分析

根據(jù)課標(biāo)對(duì)幾何部分內(nèi)容的界定及知識(shí)分析的原則，得出表3.

由表3可以看出，8省幾何試題總分都占到試卷總分的30%以上，平均占比38.6%，基本符合圖形與幾何知識(shí)內(nèi)容在中考中的體現(xiàn).內(nèi)容主要集中在圖形的性質(zhì)中的三角形、四邊形、圓及圖形的相似部分，且多以選擇、填空的壓軸題和解答題的形式出現(xiàn)，說明這四部分知識(shí)是各省考查的重點(diǎn)內(nèi)容.其中，三角形的內(nèi)容覆蓋率較高(以性質(zhì)及全等居多)，其他部分或與三角形相互組合、或以三角形為圖形載體構(gòu)成其他圖形、或通過其他圖形分解而成三角形，說明三角形部分的知識(shí)在平面幾何中起到基礎(chǔ)性和關(guān)鍵性的作用，是幾何入門教學(xué)的關(guān)鍵.圖形的變換中，除去圖形的相似，其他部分的內(nèi)容多以選擇、填空的形式出現(xiàn)且考查內(nèi)容簡(jiǎn)單，圖形的投影考查三視圖居多，圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)則多體現(xiàn)于幾何圖形的探究題，在圖形與坐標(biāo)之中作為一種操作形式考查.點(diǎn)線面角、定義命題定理除福建省第11題之外，沒有以直接的形式進(jìn)行考查，但是解題的過程是對(duì)這些對(duì)象和元素的精準(zhǔn)操作，以一種隱性的形式考查.因此，教師應(yīng)注重關(guān)鍵知識(shí)的教學(xué)，通過圖形的變換讓學(xué)生把握其中的變與不變量，從而掌握?qǐng)D形的性質(zhì).

表3 8省幾何試題考查知識(shí)內(nèi)容分值與占比

4.2 幾何技能分析

以表2為標(biāo)準(zhǔn)，參照幾何技能的計(jì)分原則得出表4.

表4 8省幾何試題考查幾何技能類型占比

由表4可以看出，各省技能考查最多的是邏輯技能，這與邏輯技能是核心技能相符，各省中考均達(dá)到60%以上，平均達(dá)到73.58%，說明邏輯技能的覆蓋率很高.邏輯技能在內(nèi)容上主要集中在三角形、四邊形、圓和相似(如河南省第22、23題).語言技能可以說百分之百覆蓋，但只有福建省第11題單獨(dú)考查，它多依附于學(xué)生的閱讀與論證的過程之中，一些壓軸題(如河北省第26題)更是需要學(xué)生理解幾何語言，從中提取出關(guān)鍵性信息進(jìn)行解題.同語言一樣，視覺技能體現(xiàn)于有幾何圖形的試題之中，單獨(dú)考查的形式多在選擇題之中且多以對(duì)幾何圖形的辨別、對(duì)復(fù)雜圖形的抽離等方式出現(xiàn)，如福建省第4題辨認(rèn)軸對(duì)稱圖形.繪畫技能多體現(xiàn)于是否添加輔助線和對(duì)圖形的運(yùn)動(dòng)操作(如江西省第23題)，考查尺規(guī)作圖的如山西省第17(1)題、陜西省第17題、福建省第23(1)題，考查坐標(biāo)系的圖形變換畫圖的如安徽省第16題，這些都考查了學(xué)生的畫圖能力.從表中清晰看出應(yīng)用技能的考查較少，說明8省幾何試題與生活實(shí)際內(nèi)容的聯(lián)系不多，側(cè)面反映出都比較看重以抽象圖形考查非形式或形式演繹推理能力.

4.3 試題的幾何思維水平

以表3為標(biāo)準(zhǔn)，參照幾何思維的計(jì)分原則得出表5.

表5 8省幾何試題考查幾何思維水平比重

由表5可以看出，8省2022年中考題中幾何試題考查最多的是層次2(58.22%)，其次是層次3(28.77%)和層次1(12.01%)，層次0和層次4沒有考查，因此各省主要考查的是(非)形式化演繹.根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，此時(shí)的學(xué)生正處于形式運(yùn)算階段，大多數(shù)學(xué)生超越了對(duì)具體可感知的事物的依賴，形成了抽象、推理思維.因此，幾何試題所考查的思維水平符合學(xué)生的認(rèn)知，教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生的思維達(dá)到形式化水平.基于幾何試題思維水平的研究，研究者繼續(xù)深入研究各個(gè)思維層次上幾何知識(shí)與幾何技能的分布，得到表6和表7.

表6 幾何思維水平下各領(lǐng)域知識(shí)分值分布

表7 幾何思維水平下各幾何技能占比

由表6可以看出：層次1中，考查相交線與平行線、三角形、四邊形和圖形的投影(三視圖)較多，其中三角形部分的知識(shí)大多以其他知識(shí)的圖形載體出現(xiàn)；層次2集中在三角形、四邊形、圓及相似考查最多，且大多為考查這幾類圖形的性質(zhì)，用性質(zhì)進(jìn)行基本的邏輯推理；層次3也集中于三角形、四邊形、圓及相似，但融合了圖形的旋轉(zhuǎn)，多以探究題的形式考查.

由表7可以看出：層次1中考查視覺技能較多，層次2和層次3中考查邏輯技能較多；各項(xiàng)技能在思維層次2中體現(xiàn)較多，層次3與層次1次之.因此，在層次1階段，教學(xué)應(yīng)多以視覺分析為主，在層次2和層次3時(shí)教學(xué)應(yīng)以完整的邏輯推理為主.

5 平面幾何教學(xué)啟示

5.1 幾何知識(shí)——抓圖形、抓關(guān)鍵、抓結(jié)構(gòu)

技能與思維是建立在幾何知識(shí)的掌握并達(dá)到自動(dòng)化的基礎(chǔ)之上的，要想提升幾何教學(xué)質(zhì)量，必須重視幾何知識(shí).

首先，幾何教學(xué)要抓基礎(chǔ)圖形.所謂基礎(chǔ)圖形就是在幾何圖形中起到支撐作用、貫穿于幾何教學(xué)始終的圖形.點(diǎn)、線、角是學(xué)生初中最先接觸到的抽象幾何圖形，后面的任何圖形都在這三種元素基礎(chǔ)上形成，因此，在平面幾何起始課上要幫助學(xué)生破除原有認(rèn)知，深入理解基礎(chǔ)圖形的概念，為幾何圖形的學(xué)習(xí)做好思維的鋪墊.

其次，抓關(guān)鍵知識(shí).三角形在圖形研究方法上是作為基礎(chǔ)圖形而存在，在知識(shí)內(nèi)容上是作為關(guān)鍵性知識(shí)而存在，因此掌握好三角形的知識(shí)就基本上掌握了幾何圖形的大部分性質(zhì).正如項(xiàng)武義[9]所說：“三角形是僅次于線段和直線的基本幾何圖形，它既簡(jiǎn)單而又能充分反映空間的本質(zhì).”教師要高度重視三角形初步的課堂教學(xué)，教會(huì)學(xué)生圖形研究方法，讓學(xué)生加深對(duì)三角形知識(shí)的理解深度.可適當(dāng)延長(zhǎng)三角形的課時(shí)，將三角形的性質(zhì)研究透徹.

最后，要讓學(xué)生熟練提取與運(yùn)用，以形成技能和思維，教師就需要重視幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)，將幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化重組.以幾何知識(shí)內(nèi)在邏輯為基礎(chǔ)，組織形成完備的知識(shí)積累與穩(wěn)固貯存，以幾何思想方法為基礎(chǔ)，組合成學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的邏輯聯(lián)系以及學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)方法、解題技巧、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的手段等，它所側(cè)重的是對(duì)于一類問題的解決方法[10].不同角度的組織可以提高學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)理解的深度和廣度，也可拓寬學(xué)生的思維.

5.2 幾何技能——看順序、看教學(xué)、看練習(xí)

幾何技能具有順序性和階段性的特點(diǎn)[4].順序性是指技能之間具有前后順序，前一個(gè)技能的訓(xùn)練是后一個(gè)技能的基礎(chǔ)；階段性是指根據(jù)學(xué)生幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的深度與階段的不同，每一種技能所要掌握的內(nèi)容及其熟練程度也不同.因此，教師在教學(xué)中培養(yǎng)幾何技能時(shí)要按照技能的順序，從視覺技能到最后的應(yīng)用技能合理地安排教學(xué)活動(dòng)(圖1).教師在教學(xué)時(shí)以此順序?yàn)閰⒄?，以各知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求為基礎(chǔ)，在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何技能，但以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理技能為核心教學(xué)思想展開.幾何技能是在知識(shí)的運(yùn)用(多指練習(xí))中慢慢熟練的，練習(xí)的教學(xué)功能與目的是使學(xué)生建立課程的主要技能技巧、運(yùn)用相關(guān)術(shù)語和符號(hào)的技能技巧，以及把教學(xué)內(nèi)容模塊化的技能技巧[8].因此教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化的練習(xí)，設(shè)計(jì)知識(shí)難度有順次、技能培養(yǎng)有主次、思維水平有層次的高水平練習(xí).

圖1 幾何技能教學(xué)培養(yǎng)要求

5.3 幾何思維——重過程、重形式、重心理

幾何思維的提高融合于知識(shí)與技能的教學(xué)過程，它內(nèi)隱于知識(shí)與技能的熟練，具有潛在性.范希爾理論在宏觀上界定了學(xué)生的思維發(fā)展過程，且試題分析反映出非形式化演繹是考查的重點(diǎn).幾何概念是幾何知識(shí)的元素，是幾何思維形式之一，學(xué)生獲得幾何概念過程中的觀察、比較、分類、分析、抽象與概括等微觀思維過程充斥于幾何課堂教學(xué)之中，這是培養(yǎng)學(xué)生幾何思維的重要手段.教師應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)概念形成的思維過程，讓學(xué)生自主探究概念、命題與定理等思維形式，在這些過程中通過一系列的問題串、追問等形式探析學(xué)生思維歷程，通過反饋了解學(xué)生的幾何思維水平，進(jìn)而依據(jù)教師的教學(xué)智慧制定相應(yīng)的解決對(duì)策.當(dāng)然除了重視幾何思維，還需要重視如學(xué)習(xí)思維、語言思維與解題思維等有利于幾何思維形成與發(fā)展的心理思維.幾何知識(shí)學(xué)習(xí)是思維形成的過程，幾何語言與幾何解題是思維輸出的過程，而輸出的過程更是幾何思維完善的過程.因此，教師更需要重視學(xué)生幾何語言的習(xí)得與轉(zhuǎn)化輸出，將抽象化的幾何符號(hào)語言形象化；也更要重視幾何解題的思維過程，多關(guān)注學(xué)生對(duì)幾何試題的分析過程與解題角度.

中考試題是評(píng)價(jià)學(xué)生知識(shí)、技能、思維與綜合素養(yǎng)的高水平性測(cè)試，指引著中學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展的總趨勢(shì).幾何試題所滲透出的幾何知識(shí)、幾何技能與幾何思維方面的重要要求，是提升幾何教學(xué)質(zhì)量的重要抓手.