李新穎,盧毅

(蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

蔡少棠教授[1]首次依據(jù)電路對(duì)稱理論,闡述了電荷量與磁通之間還存在一種聯(lián)系,即憶阻器。在21 世紀(jì)初,惠普實(shí)驗(yàn)室[2]成功研制出二端憶阻元件,證實(shí)了其物理的可實(shí)現(xiàn)性。憶阻器因存在非易失性和獨(dú)特的非線性特性[3-4],受到了研究者的廣泛關(guān)注。其在混沌電路、保密通信、憶阻神經(jīng)突觸電路等領(lǐng)域的應(yīng)用研究也獲得了很大的進(jìn)展。

同時(shí)將憶阻器引入混沌系統(tǒng)后,可以得到憶阻混沌系統(tǒng),比普通混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的偽隨機(jī)性和復(fù)雜性以及多穩(wěn)定特性,可以使系統(tǒng)切換狀態(tài)來(lái)維持穩(wěn)定,在信息保密與隨機(jī)信號(hào)發(fā)生器方面有理論意義與實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。包伯成等[5]通過(guò)將蔡氏電路二極管替換為憶阻器,設(shè)計(jì)出憶阻器電路,所得系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于憶阻器的初始狀態(tài),且有線平衡點(diǎn)。孫克輝等[6]用二次型磁控憶阻器作為反饋?lái)?xiàng),加入Lorenz 系統(tǒng)后,得到一個(gè)新型四階超混沌系統(tǒng)。俞清等[7]基于廣義憶阻器,搭建了憶阻混沌電路,并對(duì)其共存分岔模式進(jìn)行分析。Teng 等[8]利用四次多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造了一個(gè)新的憶阻器模型,與一般模型不同,該憶阻器模型具有兩個(gè)最小值和一個(gè)最大值。Bao 等[9]提出了一個(gè)基于憶阻器的Jerk 系統(tǒng),該系統(tǒng)存在4 個(gè)線平衡和無(wú)限多吸引子共存的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。通過(guò)在混沌系統(tǒng)引入憶阻器反饋或用憶阻器替換混沌系統(tǒng)中的非線性項(xiàng),是目前構(gòu)建憶阻混沌系統(tǒng)的兩種方式。構(gòu)建不同類型的維度更高、混沌性更強(qiáng)的憶阻混沌電路,以及探究憶阻混沌電路中更多復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性,可以為混沌電路的應(yīng)用奠定基礎(chǔ),為信息保密與隨機(jī)信號(hào)發(fā)生器方面提供系統(tǒng)支持。

為拓展憶阻器模型,構(gòu)建復(fù)雜性更高的混沌系統(tǒng)以及探究憶阻混沌系統(tǒng)的各類特性,并得到有更多復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的憶阻器混沌電路,本文基于一個(gè)三維非線性混沌系統(tǒng),加入新設(shè)計(jì)的廣義磁控憶阻器模型,設(shè)計(jì)出新型憶阻混沌系統(tǒng),并搭建了模擬電路。分析了憶阻混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)、耗散性、平衡點(diǎn)集、穩(wěn)定性、相圖等動(dòng)力學(xué)特性以及部分特殊的混沌特性,如分岔特性、多吸引子共存等,發(fā)現(xiàn)新構(gòu)建憶阻混沌系統(tǒng)有更強(qiáng)的混沌性與復(fù)雜性。新系統(tǒng)拓展了高維混沌系統(tǒng)類型,同時(shí)符合混沌電路、保密通信等領(lǐng)域的要求,滿足科研中對(duì)復(fù)雜不可預(yù)測(cè)混沌系統(tǒng)的需求,實(shí)現(xiàn)憶阻器在混沌電路領(lǐng)域的應(yīng)用研究。最后通過(guò)系統(tǒng)模擬設(shè)計(jì)與電路仿真的相圖等相互驗(yàn)證,表明系統(tǒng)可用于實(shí)際的生產(chǎn)生活中。

1 基于廣義憶阻器的新型混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 廣義憶阻器模型

Chua 提出廣義憶阻器通用模型如式(1)所示[10]:

式中:v(t)和u(t)代表廣義憶阻器的輸出量與輸入量;x為廣義憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量;函數(shù)G是連續(xù)的n維向量函數(shù);函數(shù)H是連續(xù)的標(biāo)量函數(shù)。本文基于通用模型設(shè)計(jì)出一種電壓控制的廣義憶阻器模型[11],該廣義磁控憶阻器模型的公式描述如下:

式中:a=0.1,b=20,c=d=0.1。

該廣義磁控憶阻器模型的電壓、電流關(guān)系如圖1 所示。圖1(a)為固定激勵(lì)幅度,不同頻率下的I-V曲線;圖1(b)為固定激勵(lì)頻率,不同幅度下的I-V曲線。由圖1 可知,該模型的電壓、電流關(guān)系為斜類“8” 字型的緊磁滯回線,滿足憶阻器電壓和電流的關(guān)系特性[12]。

給定輸入電壓v=Vsin(2πft),如圖1(a)所示當(dāng)固定激勵(lì)電壓幅度V=10 V,頻率分別為5,20,40 Hz時(shí),磁滯回線的旁瓣面積隨著激勵(lì)頻率的增大而減小。當(dāng)激勵(lì)頻率增大到一定值時(shí),緊磁滯回線將呈現(xiàn)一條直線。當(dāng)固定輸入頻率f=5 Hz 時(shí),電壓分別取V=4,7,10 V 時(shí),由圖1(b)可以發(fā)現(xiàn)磁滯回線的旁瓣面積隨著激勵(lì)電壓幅度V的增大而增大。則此廣義憶阻器模型符合憶阻元件的三個(gè)本質(zhì)特征[13]。

圖1 不同頻率與幅度時(shí)的I-V 曲線。(a) f=5,20,40 Hz 時(shí)的I-V 曲線;(b)V=4,7,10 V 時(shí)的I-V 曲線Fig.1 I-V curves at different frequencies and amplitudes.(a) I-V curves at f=5 Hz,20 Hz,40 Hz;(b) I-V curves at V=4 V,7 V,10 V

1.2 一種新的基于非線性憶阻模型的混沌系統(tǒng)

給出三維Sprott-B 混沌系統(tǒng),其無(wú)量綱狀態(tài)方程為[14]:

式中:a,b,c是混沌系統(tǒng)的常數(shù)型參數(shù)。在這里,使流經(jīng)憶阻器的磁通表示為第四個(gè)狀態(tài)變量w,狀態(tài)變量y則為憶阻器兩端的電壓,作為反饋引入到混沌系統(tǒng)中,并在狀態(tài)z中加入憶阻項(xiàng),增強(qiáng)憶阻特性,再調(diào)整參數(shù),得到由憶阻器組成的四階憶阻超混沌系統(tǒng),混沌系統(tǒng)模型如下:

其中

取α=0.1,β=20 構(gòu)成新型憶阻超混沌系統(tǒng)。x,y,z,w是狀態(tài)變量,增益系數(shù)k=0.1,而a=3,b=15,c=30,d=e=0.01 是新的基于憶阻器的混沌系統(tǒng)參數(shù),系統(tǒng)存在典型的混沌吸引子。代入?yún)?shù)后混沌系統(tǒng)如式(6)所示:

1.3 憶阻混沌系統(tǒng)的相圖

在式(6)基礎(chǔ)上,利用Matlab 對(duì)新型混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,取混沌系統(tǒng)初值x=y=z=w=0.1,得到新型憶阻混沌系統(tǒng)的吸引子。圖2(a)～(d)分別是憶阻混沌系統(tǒng)在x-y、x-z、y-z、y-w平面的相圖。由圖2 可知新系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象,有著奇異吸引子。

圖2 新型憶阻混沌系統(tǒng)的相圖。(a)x-y 相圖;(b)x-z 相圖;(c)y-z 相圖;(d)y-w 相圖Fig.2 Phase diagram of a new memristor chaotic system.(a) x-y phase diagram;(b) x-z phase diagram;(c) y-z phase diagram;(d) y-w phase diagram

2 新型混沌系統(tǒng)的散度、平衡點(diǎn)、李雅普諾夫指數(shù)值及分岔圖

2.1 散度

對(duì)于一個(gè)新型系統(tǒng)要產(chǎn)生混沌現(xiàn)象,這就要求系統(tǒng)散度要小于或等于零。其中系統(tǒng)散度等于零,說(shuō)明該系統(tǒng)的體積不變,系統(tǒng)是有界限的。當(dāng)系統(tǒng)的散度小于零時(shí),系統(tǒng)是耗散系統(tǒng),系統(tǒng)體積收縮。四階系統(tǒng)的李氏指數(shù)有兩個(gè)大于零時(shí),系統(tǒng)的相軌跡會(huì)產(chǎn)生拉伸,此時(shí)若系統(tǒng)是有界限的,必然產(chǎn)生折疊運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)體積收縮與相軌跡拉伸相互作用的結(jié)果,便是產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)。

結(jié)合式(6),該新型混沌系統(tǒng)的散度計(jì)算如式(7)所示:

散度小于零,即該系統(tǒng)是耗散的。

2.2 平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性

為求出式(6)平衡點(diǎn),令式(6)左邊等于0,即:

由式(8)可得平衡點(diǎn)O={x,y,z,w|x=y=0,z=α,w=-30},α可為任意常數(shù),可推導(dǎo)出式(6)存在線平衡,有無(wú)盡的平衡點(diǎn)集。

由此,式(6)的雅可比矩陣為式(9):

因此該雅可比矩陣J0的特征方程為:

解得λ1=0,λ2=0。

由式(11)和(12)可知,當(dāng)α＞-18301.25 時(shí),特征值λ3和λ4均為實(shí)數(shù),此時(shí)系統(tǒng)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的;當(dāng)α＜-18301.25 時(shí),特征值λ3和λ4均為復(fù)數(shù),此時(shí),系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定狀態(tài)。

2.3 李雅普諾夫指數(shù)

取混沌系統(tǒng)狀態(tài)初值x=y=z=w=0.1,計(jì)算得出該系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)值為L(zhǎng)E1=1.0812,LE2=0.0045,LE3=-0.0093,LE4=-16.3307,有兩個(gè)正值且系統(tǒng)指數(shù)之和小于零,所以該系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)。

2.4 混沌系統(tǒng)的分岔圖

由于初始混沌系統(tǒng)引入了憶阻器反饋?lái)?xiàng),原本的混沌系統(tǒng)將會(huì)更加復(fù)雜以及出現(xiàn)不同的行為特性,因此分析了其參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響。令式(4)參數(shù)a在(2,3)的范圍時(shí)觀察系統(tǒng)分岔特性,如圖3 所示。從圖3(a)可以看出系統(tǒng)由單周期態(tài)出發(fā)經(jīng)過(guò)倍周期分岔進(jìn)入二周期狀態(tài),再經(jīng)過(guò)倍周期分岔逐漸進(jìn)入混沌狀態(tài)。同時(shí),圖3(b)中李雅普諾夫指數(shù)最大值從0 逐漸變化為正,也反映了系統(tǒng)從周期態(tài)到混沌態(tài)的變化過(guò)程,通過(guò)兩圖的對(duì)比可以很好地驗(yàn)證該過(guò)程的一致性,得出系統(tǒng)隨參數(shù)a的變化存在著不同狀態(tài),即系統(tǒng)存在隨著參數(shù)變化的多穩(wěn)態(tài)特性。

圖3 分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)圖。(a) a∈(2,3)的分岔圖;(b) a∈(2,3)的李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent diagram.(a) Bifurcation diagram with a ∈(2,3);(b) Lyapunov exponent diagram with a ∈(2,3)

2.5 多吸引子共存現(xiàn)象

混沌系統(tǒng)加入憶阻器反饋?lái)?xiàng)后,往往會(huì)出現(xiàn)憶阻器初值影響混沌系統(tǒng)狀態(tài)的現(xiàn)象,當(dāng)出現(xiàn)不同憶阻器初值對(duì)應(yīng)不同混沌吸引子狀態(tài)時(shí),稱之為多吸引子共存現(xiàn)象[15-16]。固定式(6)混沌系統(tǒng)參數(shù),將憶阻器初始值w(0)作為分岔參數(shù),當(dāng)w(0)在[-1.5,1]之間變化時(shí),得到如圖4 所示分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)圖。由圖4(a)與圖4(b)可知,w(0)在[-1.5,-1.15]之間,最大李雅普諾夫指數(shù)值在0 與正值之間變化,因此系統(tǒng)處于混沌與周期交替的狀態(tài);w(0)在(-1.15,-0.658] 之間,最大李雅普諾夫指數(shù)值為0,系統(tǒng)處于周期狀態(tài);w(0)在(-0.658,1]之間,最大李雅普諾夫指數(shù)值為正,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。初值w(0)在[-1.5,1]范圍內(nèi),取w(0)=-1 時(shí)作吸引子相圖,如圖5(a)所示,為周期態(tài);取w(0)=0 時(shí)作吸引子相圖,如圖5(b)所示,為混沌態(tài)?？梢娤到y(tǒng)在不同憶阻器初值時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)隨初始值的變化而變化,即憶阻器初值的不同會(huì)使憶阻混沌系統(tǒng)存在多種不同的吸引子,導(dǎo)致多穩(wěn)態(tài)特性的出現(xiàn)。

圖4 隨初始值w(0)變化的分岔圖與Lyapunov 指數(shù)圖。(a) w(0)∈[-1.5,1] 的分岔圖;(b) w(0)∈[-1.5,1]的Lyapunov 指數(shù)圖Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent diagram with initial value w(0).(a) Bifurcation diagram with w(0)∈[-1.5,1];(b) Lyapunov exponent diagram with w(0)∈[-1.5,1]

圖5 不同w(0)下的吸引子相圖。(a)w(0)=-1 時(shí)的x-y 相圖;(b)w(0)=0 時(shí)的x-y 相圖Fig.5 Attractor phase diagram under different w(0).(a) x-y phase diagram when w(0)=-1;(b) x-y phase diagram when w(0)=0

3 新型混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)

為使該憶阻混沌系統(tǒng)在實(shí)際工程應(yīng)用中有價(jià)值,設(shè)計(jì)了相應(yīng)的混沌憶阻電路,并通過(guò)示波器觀察形成的相圖?；煦珉娐吩O(shè)計(jì)主要由兩部分組成: 第一部分通過(guò)新型混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程,設(shè)計(jì)相應(yīng)的電路模塊;第二部分是將電路模塊進(jìn)行組合,形成混沌系統(tǒng)電路。通過(guò)對(duì)混沌系統(tǒng)電路的相圖與數(shù)值模擬的結(jié)果做對(duì)比,驗(yàn)證混沌系統(tǒng)的可行性[17-19]。電路通過(guò)分模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)x,y,z,w四個(gè)狀態(tài)量,采用TL074CN 型號(hào)的運(yùn)算放大器Ui(i=1,2,…,7)和電容來(lái)實(shí)現(xiàn)反向積分功能,用AD633 型號(hào)、乘法因子為0.1 的乘法器實(shí)現(xiàn)非線性部分以及聯(lián)立線性電阻、電容搭建電路。為使?fàn)顟B(tài)變量范圍在±13 V 內(nèi),對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行壓縮變換,即使x=10x,y=5y,z=5z,w=w再進(jìn)行尺度變換,令時(shí)間常數(shù)τ0=100,得式(13):

式(13)對(duì)應(yīng)的電路的狀態(tài)方程為:

設(shè)電路中的電容C1=C2=C3=C4=100 nF,R1=R2=R5=R6=R11=R12=2 kΩ,R3=R7=R13=1 kΩ,R4=1.333 kΩ,R8=3.333 kΩ,R9=6.662 kΩ,R10=0.5 kΩ,R14=1 kΩ,R15=100 kΩ,R16=500 kΩ,R17=2000 kΩ,R18=200 kΩ,v1=6 V,VEE=-13 V,VCC=13 V,構(gòu)建圖6 所示憶阻混沌電路,其中圖6(a)為系統(tǒng)x,y狀態(tài)量的電路構(gòu)造,圖6(b)為系統(tǒng)z,w狀態(tài)量的電路構(gòu)造。

圖6 超混沌系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)。(a)x, y 狀態(tài)量的電路結(jié)構(gòu);(b)z, w 狀態(tài)量的電路結(jié)構(gòu)Fig.6 Circuit realization of hyperchaotic system.(a) Circuit structure of x and y state quantities;(b) Circuit structure of z and w state quantities

運(yùn)行電路仿真,則從圖7 示波器顯示相圖中可以看出,混沌電路有著混沌吸引子,相軌跡難以預(yù)測(cè)。通過(guò)將混沌電路的結(jié)果與Matlab 仿真結(jié)果相比較,兩者相運(yùn)動(dòng)軌跡基本一致,由此驗(yàn)證了混沌電路與仿真結(jié)果的一致性以及混沌電路的可實(shí)現(xiàn)性,確保系統(tǒng)可用于實(shí)際的生產(chǎn)生活中。

圖7 示波器混沌吸引子。(a)x-y 相圖;(b)x-z 相圖;(c)y-z 相圖;(d)y-w 相圖Fig.7 Chaotic attractor of oscilloscope.(a) x-y phase diagram;(b) x-z phase diagram;(c) y-z phase diagram;(d) y-w phase diagram

4 結(jié)論

本文基于通用憶阻器模型,設(shè)計(jì)了一個(gè)廣義憶阻器,并將其引入Sprott-B 混沌系統(tǒng),構(gòu)建了一個(gè)新的憶阻超混沌系統(tǒng),并搭建了憶阻混沌電路。通過(guò)對(duì)憶阻混沌系統(tǒng)包括相圖、李雅普諾夫指數(shù)、耗散性、平衡點(diǎn)集、穩(wěn)定性、參數(shù)分岔、多穩(wěn)態(tài)等特性的分析,發(fā)現(xiàn)新構(gòu)四階憶阻混沌系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng),存在線平衡點(diǎn)和多吸引子共存現(xiàn)象,標(biāo)志著其更強(qiáng)的復(fù)雜性與混沌性,符合對(duì)更強(qiáng)的偽隨機(jī)性、復(fù)雜性以及多穩(wěn)定特性系統(tǒng)的要求,則此新構(gòu)系統(tǒng)可通過(guò)切換狀態(tài)實(shí)現(xiàn)信息保密與隨機(jī)信號(hào)發(fā)生器方面的應(yīng)用。其次,憶阻混沌電路的構(gòu)建驗(yàn)證了系統(tǒng)的可行性與一致性。類似Bao 等在混沌系統(tǒng)引入二次項(xiàng)反饋的結(jié)果,引入廣義憶阻器的混沌系統(tǒng)有隨參數(shù)變化的分岔特性和多吸引子共存等新動(dòng)力學(xué)行為,實(shí)現(xiàn)了對(duì)包含廣義憶阻器的超混沌系統(tǒng)形成過(guò)程的研究,并為憶阻器模型以及憶阻混沌電路領(lǐng)域的應(yīng)用提供了一定依據(jù),同時(shí)在圖像加密、保密通信等領(lǐng)域有一定應(yīng)用價(jià)值。