張祖堅(jiān)，郭 輝，王曉瑋，袁 濤，孫 裴

(上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

機(jī)械超材料是一種人工周期性復(fù)合材料，在其帶隙范圍內(nèi)可有效抑制彈性波的傳播，被廣泛應(yīng)用于減振降噪[1-2]、超分辨率成像[3]、波濾波導(dǎo)[4]、水聲通信[5]等方面。

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，彈性波帶隙形成遵循Bragg散射機(jī)理[6-7]和局域共振機(jī)理[8]。隨著研究的深入，超材料結(jié)構(gòu)由經(jīng)典的桿、板、體等拓展到多孔結(jié)構(gòu)。如Yao等[9]設(shè)計(jì)了一種周期性“框架-彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)，即典型的局域共振單元，該結(jié)構(gòu)可用于制作隔振板。Wang等[10-11]研究了不同孔型的聲子晶體帶隙特性，其中“十”字孔結(jié)構(gòu)的二維聲子晶體具有多個(gè)完全帶隙。Krushynska等[12]設(shè)計(jì)的由單一材料組成的具有準(zhǔn)共振Bragg帶隙超材料，其帶隙寬度和位置均能保持穩(wěn)定。而Tian等[13]在相互正交的矩形穿孔板中加入了4個(gè)螺旋孔，使得該結(jié)構(gòu)可同時(shí)打開Bragg和局域共振帶隙。

為適應(yīng)各類復(fù)雜場景應(yīng)用需求，研究人員一直致力于探索超材料帶隙的調(diào)控方法，如改變原胞結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、對其拓?fù)鋬?yōu)化以及引入層級結(jié)構(gòu)等以調(diào)控超材料帶隙位置、寬度等，但至今仍存在諸多挑戰(zhàn)。因此，Sun等[14-15]采用改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化了蜂窩結(jié)構(gòu)中的材料分布，可有效拓寬帶隙寬度和調(diào)控帶隙中心頻率位置。Sepehri等[16]設(shè)計(jì)了蛛網(wǎng)和雪花狀的層級結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)對六角形和三角形超材料局域共振帶隙的調(diào)控。Miniaci等[17]設(shè)計(jì)了輪輻層級結(jié)構(gòu)和十字形層級多孔超材料結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)層級結(jié)構(gòu)在明顯減小整體結(jié)構(gòu)重量的同時(shí)，可額外產(chǎn)生更低頻率的帶隙。Billon等[18]通過在層級矩形板中嵌入穿孔結(jié)構(gòu)，并拓?fù)湫纬梢环N新型超材料，在該結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較寬帶隙的同時(shí)，帶隙向低頻范圍移動；Xu等[19]設(shè)計(jì)了包含局域共振單元的層級超材料結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可將各帶隙范圍的彈性波有效衰減。

然而，盡管上述帶隙調(diào)控手段是有效的，但忽略了超材料結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)的受載情況，僅通過引入層級的方式設(shè)計(jì)超材料結(jié)構(gòu)仍存在一定局限性。因此，Bertoldi等[20-22]通過對其制作的超材料結(jié)構(gòu)施加外部載荷誘導(dǎo)出多種模式的屈曲變形，從而改變該結(jié)構(gòu)的帶隙特性，這為彈性波調(diào)控提供了新的思路。Shim等[23-24]針對4種周期性多孔平面結(jié)構(gòu)研究了在單軸壓縮載荷作用下彈性波的傳播特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了通過單軸張力調(diào)控泊松比和彈性波帶隙的目的。此外，孔型的排列方式也會造成結(jié)構(gòu)屈曲變形及相應(yīng)的模態(tài)變化[25-29]，Li等[30-31]對軟多孔結(jié)構(gòu)采用不同方式填充鋼柱，研究結(jié)構(gòu)在單軸載荷作用時(shí)屈曲變形對帶隙特性的影響，得到了低頻可調(diào)控的帶隙。Dudek等[32]提出了新的二維和三維微尺度的層級機(jī)械超材料，研究發(fā)現(xiàn)，改變連接元件的鉸鏈厚度時(shí)，該結(jié)構(gòu)能表現(xiàn)出可控的拉脹行為。

可見，施加外部載荷是調(diào)控多孔層級超材料帶隙的一種途徑，目前對穿孔結(jié)構(gòu)施加載荷作用的研究主要集中于力學(xué)性能方面。而與方形和圓形穿孔板結(jié)構(gòu)相比，橢圓穿孔板更易于打開帶隙，不同層級間孔型的分布方式更加多樣化，且載荷引起的結(jié)構(gòu)變形可調(diào)控帶隙分布。本文基于橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)[33]建立3個(gè)層級橢圓穿孔板模型，通過對不同層級結(jié)構(gòu)的邊界施加載荷，研究不同載荷與帶隙的分布規(guī)律，以期得到更多的完全帶隙和方向帶隙。

1 彈性波理論

彈性波在超材料結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，受其內(nèi)部周期性結(jié)構(gòu)作用而形成特殊的色散關(guān)系，為表征該特殊色散關(guān)系，本文采用商用軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行了本征頻率計(jì)算分析。通過求解平衡方程，可得到頻率f和波矢k的變化曲線，即能帶結(jié)構(gòu)。彈性波在晶格特性的周期介質(zhì)中傳播時(shí)，其波動方程如公式(1)所示：

(1)

(2)

根據(jù)Bloch定理可將位移用公式(3)表示：

u(r,t)=uk(r)ei(k·r-ωt)

(3)

式中：k為波矢；uk是與各材料參數(shù)具有相同周期的函數(shù)。采用有限元法計(jì)算，對于任意離散單元可得到公式(4)：

(K-ω2M)u=0

(4)

式中:K為結(jié)構(gòu)全局剛度矩陣;M是結(jié)構(gòu)全局質(zhì)量矩陣;u是特征向量;ω為結(jié)構(gòu)振動頻率。

2 層級橢圓穿孔板超材料模型

本文設(shè)計(jì)的橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)分為三個(gè)不同層級，不同層級的幾何參數(shù)通過公式(5)～(7)進(jìn)行定義。其中，ai表示第i層級原胞尺寸，bi表示第i層級橢圓長半軸長度，ci表示第i層級橢圓短半軸長度，它們均按照下一層級與上一層級的比例來設(shè)定。該結(jié)構(gòu)中，填充的圓柱體半徑R=0.2ai，圖1為第一層級橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)(左側(cè))和原胞模型(右側(cè))。

圖1 橢圓穿孔板模型

(5)

(6)

(7)

上述結(jié)構(gòu)中基體為尼龍，材料參數(shù)為彈性模量E0=1.8×109Pa、密度ρ0=1 010 kg/m3、泊松比ν0=0.38，中間填充體為銅質(zhì)圓柱，材料參數(shù)為彈性模量E1=1.64×1011Pa、密度ρ1=8 950 kg/m3、泊松比ν1=0.34。第一層級中原胞結(jié)構(gòu)的尺寸為40 mm×40 mm×10 mm，包覆的銅質(zhì)圓柱塊高h(yuǎn)=10 mm，半徑R=8 mm，第一層級結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)如表1所示。

表1 原胞結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[34]，在有限元計(jì)算中，掃掠相同布里淵區(qū)時(shí)可將高度在0.1a～0.5a的三維結(jié)構(gòu)簡化為二維平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。本文將高度為0.25a的三維結(jié)構(gòu)簡化為二維平面結(jié)構(gòu)，以便于研究其面內(nèi)帶隙特性。根據(jù)表1和各材料參數(shù)建立了不同層級橢圓穿孔板模型，如圖2所示。

3 邊界載荷對帶隙的影響

基于彈性波理論和有限元法計(jì)算出各層級的能帶結(jié)構(gòu)及相應(yīng)振型，考慮到精確度和計(jì)算效率，只研究前20階振型，與之對應(yīng)的為前20條能帶。為方便觀察帶隙頻率與材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，將能帶結(jié)構(gòu)圖的縱坐標(biāo)數(shù)值通過公式(8)進(jìn)行歸一化處理。

(8)

式中：Ω為歸一化頻率；f為頻率；a為晶格常數(shù)；ct為橫波波速。

根據(jù)結(jié)構(gòu)是否受邊界載荷作用，分別用Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ表示無邊界載荷作用的第一、第二、第三層級結(jié)構(gòu)，用Ⅰ0、Ⅱ0和Ⅲ0分別表示有邊界載荷作用的第一、第二、第三層級結(jié)構(gòu)，如表2所示。

表2 層級結(jié)構(gòu)的序列

在對比分析能帶結(jié)構(gòu)和振型時(shí)，按照表2將相鄰層級分為4組：層級Ⅰ和層級Ⅱ、層級Ⅱ和層級Ⅲ、層級Ⅰ0和層級Ⅱ0、層級Ⅱ0和層級Ⅲ0。將層級結(jié)構(gòu)有無邊界載荷作用分為3組：層級Ⅰ和層級Ⅰ0、層級Ⅱ和層級Ⅱ0、層級Ⅲ和層級Ⅲ0。

3.1 無邊界載荷時(shí)帶隙計(jì)算和分析

計(jì)算得到的層級Ⅰ能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗分別如圖3(a)、(b)所示，其中灰色陰影部分表示完全帶隙，黑色陰影部分表示XM方向帶隙。從圖3(a)可知，層級Ⅰ在前20條能帶共打開了3個(gè)完全帶隙和3個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙范圍為0.60～0.70，分布在第5、6能帶之間；第二個(gè)完全帶隙同時(shí)也是帶寬最大的帶隙分布于第6、7能帶之間，范圍是0.75～1.0。從圖3(b)可知，傳輸損耗系數(shù)在3個(gè)完全帶隙范圍內(nèi)大幅下降，3個(gè)方向帶隙范圍也均有不同程度的下降。

圖3 層級Ⅰ的帶隙特性和振型

圖3(c)對應(yīng)圖3(a)中第一個(gè)完全帶隙和最寬帶隙上、下邊界處的振型。由圖3(c)中的A1知，該結(jié)構(gòu)四個(gè)角部分可等效為局域振子，彈性波傳播過程中的能量在該區(qū)域被耗散，帶隙開始打開。圖3(c)中的B1顯示，此時(shí)該結(jié)構(gòu)四周邊界圍繞四個(gè)角振動，而結(jié)構(gòu)中心基本保持靜止，彈性波隨著結(jié)構(gòu)邊界的振動繼續(xù)傳播，帶隙關(guān)閉。圖3(c)中的C1表明，此時(shí)該結(jié)構(gòu)四個(gè)角部分圍繞四個(gè)角旋轉(zhuǎn)振動，且結(jié)構(gòu)中心填充的銅質(zhì)圓柱體開始小幅度振動，該部分也可視為局域振動，起到衰減彈性波的作用并打開帶隙。從圖3(c)中的D1可知，該結(jié)構(gòu)四周邊界圍繞結(jié)構(gòu)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)振動，且以邊界中心韌帶處振動最為激烈，彈性波繼續(xù)傳播，帶隙關(guān)閉。

層級Ⅱ共有2個(gè)完全帶隙和4個(gè)XM方向帶隙，如圖4(a)所示。第一個(gè)完全帶隙分布在第4、5能帶間，范圍為0.25～0.35；第2個(gè)完全帶隙分布于第18、19能帶間，范圍為1.05～1.3。從圖4(b)可知，傳輸損耗系數(shù)在2個(gè)完全帶隙范圍內(nèi)大幅下降，并在4個(gè)方向帶隙范圍有不同程度的下降。

圖4 層級Ⅱ的帶隙特性和振型

從圖4(c)中A2可知，該結(jié)構(gòu)四個(gè)角沿著特定方向振動，而結(jié)構(gòu)中心填充的銅質(zhì)圓柱體沿著y方向振動，該部分振動可等效為局域振動，衰減彈性波的傳播，第1個(gè)完全帶隙由此打開。當(dāng)?shù)?個(gè)完全帶隙關(guān)閉時(shí)，圖4(c)中B2和帶隙打開時(shí)A2相反，B2中該結(jié)構(gòu)四個(gè)角和中心位置均保持靜止，而結(jié)構(gòu)邊界和韌帶沿著特定方向振動。由圖4(c)中C2可知，最寬帶隙打開時(shí)，該結(jié)構(gòu)的四個(gè)角、韌帶和中心位置均為靜止?fàn)顟B(tài)，而結(jié)構(gòu)邊界振動部分可等效為多個(gè)局域振子，從而對彈性波的傳播進(jìn)行衰減。從圖4(c)中D2可知，該結(jié)構(gòu)的四周邊界和中間韌帶位置劇烈振動，彈性波在該結(jié)構(gòu)中繼續(xù)傳播，帶隙關(guān)閉。

層級Ⅲ的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗分別如圖5(a)、(b)所示。從圖5(a)可知，層級Ⅲ只有1個(gè)完全帶隙和3個(gè)XM方向帶隙，完全帶隙分布于第18、19能帶間，范圍是0.95～1.11，在Ω=1附近層級Ⅲ的帶寬比層級Ⅰ和層級Ⅱ都小。從圖5(b)可知，彈性波不僅在完全帶隙范圍內(nèi)被大幅度衰減，在3個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)也有不同程度的衰減。

從圖5(c)的A3可知，該結(jié)構(gòu)的四個(gè)角產(chǎn)生局域共振，在歸一化頻率Ω=0.95附近，彈性波因局域共振作用而不能通過該結(jié)構(gòu)，因此帶隙開始形成。從圖5(c)中的B3可知，連接該結(jié)構(gòu)中心的韌帶和連接該結(jié)構(gòu)四個(gè)角位置的韌帶劇烈振動。這是因?yàn)閷蛹壍脑黾訉?dǎo)致韌帶幾何尺寸減小，使得該結(jié)構(gòu)整體等效剛度減小，而添加的銅質(zhì)圓柱體難以減弱結(jié)構(gòu)對幾何缺陷態(tài)的敏感性，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在該頻率下劇烈振動，從而帶隙消失。

圖5 層級Ⅲ的帶隙特性和振型

通過比較層級Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的能帶結(jié)構(gòu)可知，在層級增加的過程中，完全帶隙數(shù)量逐漸減少，且在Ω≤1范圍內(nèi)的完全帶隙逐漸消失。由此可知，能帶結(jié)構(gòu)會因?qū)蛹壍脑黾佣l(fā)生變化。

3.2 有邊界載荷的帶隙計(jì)算和分析

載荷引起的結(jié)構(gòu)變形可有效改善帶隙特性，為探索載荷對超材料帶隙的影響，以第一層級結(jié)構(gòu)為例，在材料的完全線彈性范圍內(nèi)，對不同層級結(jié)構(gòu)施加邊界載荷并計(jì)算其能帶結(jié)構(gòu)，此處邊界載荷是指在P邊界面施加的100 N均勻恒定載荷，如圖1(b)所示。在該結(jié)構(gòu)邊界受到單軸載荷作用后，為防止發(fā)生位移，把Q面的邊界條件設(shè)為固定約束。

層級Ⅰ0的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗分別如圖6(a)、(b)所示。從圖6(a)可知，層級Ⅰ0共有9個(gè)完全帶隙和6個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙范圍為0.25～0.40，分布于第2、3能帶間，帶寬最大的帶隙為0.61～0.97，分布于第7、8能帶間。從圖6(b)傳輸損耗曲線可知，彈性波在9個(gè)完全帶隙和6個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)被大幅度衰減。

圖6 層級Ⅰ0的帶隙特性和振型

根據(jù)圖6(c)的A01可知，該結(jié)構(gòu)上方兩角部分可等效為局域質(zhì)量產(chǎn)生局域共振，彈性波因結(jié)構(gòu)的局域振動被衰減，開始形成帶隙。由圖6(c)中B01可知，結(jié)構(gòu)中心的圓柱體向水平方向振動，該結(jié)構(gòu)上方左右兩側(cè)振動方向則相反，當(dāng)彈性波大于結(jié)構(gòu)本征頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)的局域振動不足以衰減彈性波，帶隙消失。從圖6(c)中的C01可知，它與A01不同的是，該結(jié)構(gòu)上方的邊界沿著外側(cè)方向發(fā)生局部共振從而形成帶隙。而從圖6(c)中D01可知，因結(jié)構(gòu)的上邊界與連接中心質(zhì)量塊的韌帶部分有著不同方向的振動，局域共振的作用不足以衰減彈性波傳播，此時(shí)帶隙消失。從圖6(a)可知，帶隙開始形成時(shí)能帶大多呈平直狀態(tài)，且圖6(b)中傳輸損耗系數(shù)在帶隙范圍內(nèi)明顯下降，說明彈性波明顯被局域共振所衰減。

層級Ⅱ0共打開了10個(gè)完全帶隙和7個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙范圍為0.13～0.15，分布于第1、2能帶間，帶寬最大的帶隙為1.08～1.37，分布于第18、19能帶間，如圖7(a)所示。傳輸損耗系數(shù)在10個(gè)完全帶隙和7個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)大幅下降，表明彈性波在相關(guān)帶隙范圍內(nèi)可被有效衰減，如圖7(b)所示。

圖7 層級Ⅱ0的帶隙特性和振型

從圖7(c)中的A02可知，該結(jié)構(gòu)上方兩角的局部質(zhì)量沿著特定方向振動，彈性波在傳播過程中的能量被局域振動衰減，從圖7(a)可知，第一個(gè)完全帶隙打開時(shí)能帶非常平直，因此說明該結(jié)構(gòu)對彈性波群速度有明顯的衰減作用。圖7(c)中B02的振動模式和B01類似，振動發(fā)生在結(jié)構(gòu)中心和韌帶位置，以及結(jié)構(gòu)上方的兩角，當(dāng)彈性波頻率大于該結(jié)構(gòu)的本征頻率時(shí)，因局域共振的作用逐漸減弱，彈性波隨著結(jié)構(gòu)的振動繼續(xù)傳播，導(dǎo)致帶隙關(guān)閉。對于圖7(c)中C02，由于引入層級導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)部邊界數(shù)量增加，彈性波在該周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，部分彈性波在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的邊界發(fā)生反射，與入射的行波發(fā)生相互作用，從而產(chǎn)生布拉格帶隙。從圖7(c)中D02可知，該結(jié)構(gòu)下邊界因施加固定約束保持靜止，而其余邊界和左右兩側(cè)的韌帶振動模式與圖5(c)中D2類似，彈性波因結(jié)構(gòu)的振動向下一個(gè)周期單元繼續(xù)傳播，因此帶隙消失。

層級Ⅲ0的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損耗曲線如圖8(a)、(b)所示。從圖8(a)可知，層級Ⅲ0共有11個(gè)完全帶隙和6個(gè)XM方向帶隙，其中第一個(gè)完全帶隙為0.18～0.20，分布于第1、2能帶間，帶寬最大的帶隙為1.01～1.16，分布于第18、19能帶間。從圖8(b)中傳輸損耗系數(shù)大幅下降可知，彈性波在11個(gè)完全帶隙和6個(gè)方向帶隙范圍內(nèi)均被有效衰減。

圖8(c)中A03振動模式和圖7(c)的A02相同，只有作為局部質(zhì)量的兩角位置發(fā)生振動，彈性波因局域振動被衰減。圖8(c)中B03的振型和圖8(c)中B02類似，在結(jié)構(gòu)的中心和上方角位置處產(chǎn)生振動，彈性波隨著結(jié)構(gòu)振動繼續(xù)傳播。由圖8(c)中C03和D03振型可知，當(dāng)彈性波在傳播過程中引起結(jié)構(gòu)振動，因入射波和反射波相互作用，從而打開帶隙；當(dāng)反射波的頻率、相位和入射波不同時(shí)，布拉格散射作用減弱直至消失，帶隙隨之關(guān)閉。

圖8 層級Ⅲ0的帶隙特性和振型

根據(jù)上述分析可知，邊界載荷引起的結(jié)構(gòu)變形可改變其本征頻率，并可將簡并態(tài)能帶打開形成帶隙。以層級Ⅱ、層級Ⅲ的第5、6條能帶為例，由圖4(a)、圖5(a)可知，無載荷作用時(shí)第5、6條能帶在X點(diǎn)發(fā)生“簡并”，即在X點(diǎn)處彈性波能量相同但對應(yīng)兩個(gè)不同的本征頻率。在施加載荷作用后，由圖7(a)、圖8(a)可知，第5、6條能帶簡并態(tài)消失從而形成帶隙，同時(shí)在其他XM方向打開了多個(gè)方向帶隙。

另外，由圖2可知層級的增加造成結(jié)構(gòu)邊界面的橫截面積減小，以及結(jié)構(gòu)內(nèi)韌帶部分幾何尺寸減小，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體等效剛度減小，因此結(jié)構(gòu)本征頻率下降。若用ωn+1、ωn分別表示第n(n≤19)個(gè)帶隙上、下邊界的頻率，ωc=(ωn+1-ωn)/2表示帶隙中心頻率，由圖6(a)、圖7(a)和圖8(a)可知，總體上帶隙中心頻率均下降。而在施加載荷作用后，層級Ⅰ0、層級Ⅱ0和層級Ⅲ0打開的完全帶隙數(shù)量明顯增多；在Ω≤1范圍內(nèi)，層級Ⅱ0、Ⅲ0最寬帶隙如圖7(a)和圖8(a)藍(lán)色陰影部分所示，很明顯，隨著層級的增加該范圍內(nèi)最寬帶隙的帶寬在逐漸減小。從圖6(b)、圖7(b)和圖8(b)的傳輸特性曲線可知，在帶隙范圍內(nèi)傳輸損耗系數(shù)均小于-150 dB，說明對該結(jié)構(gòu)施加載荷作用可有效衰減彈性波的傳播。

圖9表示第一層級結(jié)構(gòu)的帶隙在不同邊界載荷作用下的變化，從圖中可知，在載荷增大的過程中，完全帶隙的數(shù)量在逐漸減少。另外，在載荷增大的過程中，帶隙上邊界的頻率幾乎不變，而帶隙下邊界的頻率則不斷增大，因此第一個(gè)完全帶隙和最寬帶隙的帶寬隨著載荷的增大而逐漸減小。通過上述結(jié)果可知，合理施加邊界載荷，可改善帶隙特性。

圖9 帶隙寬度隨不同邊界載荷的變化關(guān)系

4 結(jié) 論

通過研究不同層級橢圓穿孔板超材料在有無邊界載荷情況下的帶隙特性、傳輸損耗及相關(guān)振型變化，發(fā)現(xiàn)在結(jié)構(gòu)邊界施加載荷后可使能帶結(jié)構(gòu)和振型發(fā)生明顯變化，從而得出以下結(jié)論：

1)在結(jié)構(gòu)不考慮邊界載荷作用的影響時(shí)，通過引入層級設(shè)計(jì)，增加層級數(shù)量可降低帶隙的頻率，實(shí)現(xiàn)對低頻彈性波的有效抑制。

2)在考慮邊界施加載荷作用的影響時(shí)，層級橢圓穿孔板結(jié)構(gòu)的簡并態(tài)能帶被打開且“拉直”成平帶，可打開更多的方向帶隙及增大方向帶隙的帶寬，有利于在更寬頻率范圍內(nèi)抑制特定方向的彈性波傳播。

3)在超材料結(jié)構(gòu)的多個(gè)區(qū)域形成局域振子，可增加彈性波傳播過程中的能量耗散。引入層級設(shè)計(jì)并施加一定邊界載荷是抑制彈性波傳播的有效途徑。

值得說明的是，不同邊界載荷對超材料結(jié)構(gòu)力學(xué)性能及帶隙特性的影響程度不同，本文研究僅限于完全線彈性變形階段，因此，多種類型的載荷作用情況下超材料結(jié)構(gòu)的剛度和泊松比的變化情況值得進(jìn)一步研究討論。此外，還可采用合適的拓?fù)鋬?yōu)化方法來拓寬低頻范圍的帶隙寬度，以便于實(shí)際工程應(yīng)用。