立足實踐操作，發(fā)展演繹推理能力

祁倩倩

［摘? 要］ 推理是一種常見的數(shù)學思維方式，具有將抽象內(nèi)容具體化，深化學生對知識本質(zhì)理解的作用. 文章以“證明”的第一課時的教學為例，以教學分析為起點，結(jié)合對“觀察到的結(jié)論并不一定是正確的”“說理是確定實踐結(jié)論的關(guān)鍵”兩部分內(nèi)容的授課，具體談?wù)勗诔踔袛?shù)學教學中，該如何立足于實踐操作，發(fā)展學生的演繹推理能力.

［關(guān)鍵詞］ 證明；演繹推理；思維

“數(shù)學是思維的體操”，是促進學生邏輯推理能力發(fā)展的學科. 邏輯推理能力是指學習者能敏銳地分析并思考所遇到的問題，迅速掌握問題核心，并在短時間內(nèi)做出正確反應(yīng)的能力. 邏輯推理包括演繹推理、歸納推理與類比推理三種，本文著重探討的是演繹推理. 這種推理方式以“一般性”為前提，通過推導獲得具體結(jié)論，它在一慣性與嚴密性上與其他兩類推理方式相比，具有一定的獨特性.

教學分析

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（下文簡稱新課標）將數(shù)學核心素養(yǎng)定義為學生必須具備且能適應(yīng)其終身發(fā)展與社會需要的關(guān)鍵品質(zhì)與能力，并明確了六大素養(yǎng)，提出了“四基與四能”“三會”等要求［1］. 實踐證明，數(shù)學實踐操作以“做”為支架，讓學生通過動手動腦自主發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學結(jié)論，同時教學實踐操作具有顯著的直觀性，便于學生理解核心知識，可以取得口頭教學所無法比擬的教學效果.

數(shù)學實踐操作主要以問題為起點，將結(jié)論設(shè)為操作的最終目標，是展示知識形成過程的一種教學活動. 其內(nèi)容選擇并不拘泥于教材，還可以源于生活，是數(shù)學課程必要的補充. 學生在數(shù)學實踐操作中，除了能直觀地看到知識本質(zhì)，體悟數(shù)學思想方法，還能積累學習經(jīng)驗，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)［2］.

學習本節(jié)課之前，學生已經(jīng)具備了一定的合情推理能力（通過探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論），在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)他們的演繹推理能力具有較強的可操作性. “證明”的第一課時，教學目的在于讓學生發(fā)自內(nèi)心地感受“證明”的強大力量，為學生演繹推理能力的形成奠定基礎(chǔ).

教學實錄

1.獲得的結(jié)論并不一定是正確的

縱然實踐操作有著得天獨厚的教學優(yōu)勢，我們通過實踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的，這就需要我們具備敏銳的洞察力，在演繹推理的過程中學會辨析. 本節(jié)課中，師生首先共同回顧“三角形內(nèi)角和”的操作證明過程，在學生提出“量、剪、拼”的方法后，教師邀請一名學生到黑板上快速用三角形模板進行實操演示.

教師總結(jié)并板書：實踐操作是認識新事物的重要手段之一.

師：通過操作所獲得的結(jié)論，通過感官系統(tǒng)所感知到的結(jié)論一定都是正確的嗎？

生1：不一定.

師：請舉個例子說明一下.

演示1 如圖1，一位學生畫了兩幅大小圓的圖. 觀察兩幅圖，學生一致認為圖1（2）中間的大圓比圖1（1）中間的小圓大. 當畫圖的這位學生將兩幅圖疊合在一起時，大家驚訝地發(fā)現(xiàn)圖1（1）中間的小圓竟然大于圖1（2）中間的大圓.

演示2 如圖2，判斷兩根線段的長度是否相等. 在沒有虛線的情況下，大家都認為前面那根線段比后面那根線段長，而實際上兩根線段一樣長.

師：通過以上兩個例子，我們能獲得什么道理？

生2：通過肉眼觀察所得到的結(jié)論，有時候受參照物的影響會出現(xiàn)偏差.

師：很好，那么我們在數(shù)學實踐操作過程中所獲得的結(jié)論是否可靠呢？現(xiàn)在請大家做如下操作，將一個邊長為8 cm的正方形，剪拼成一個5 cm×13 cm的長方形.

演示3 如圖3，學生以小組合作學習的方式進行畫圖、剪拼. 實驗結(jié)束后，學生發(fā)現(xiàn)了一個問題，即正方形的面積為8×8=64 cm²，而拼成的長方形面積卻是5×13=65 cm2，那么這多出來的1 cm2是從哪里來的呢？

教師為學生提供了一張邊長為80 cm的大正方形，通過剪拼后，學生恍然大悟，原來拼成的長方形中間存在一個縫隙. 至此，問題就迎刃而解了.

教師板書：實踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的.

三個實例，刷新了學生原本對實踐操作的認識. 不少學生原本認為自己親眼所見、親耳所聞的一定是真理，而事實告訴他們：參照物不一樣，感官對同一信息會產(chǎn)生不一樣的反饋. 如何避免這種問題呢？需進行進一步說理與證明.

2. 說理是確定實踐結(jié)論的關(guān)鍵

如果說實踐操作是說明事實的過程，那么論證是驗證該事實是否正確的重要渠道. 反觀之前所接觸過的“論證三角形內(nèi)角和”問題，學生通過操作獲得相應(yīng)結(jié)論后，教師還會對為什么三角形的內(nèi)角和為180°進行補充說明，此時的補充說明就是說理的過程.

教師板書：實踐操作所獲得的結(jié)論，需要經(jīng)過論證才能確定其是否成立.

例1 某小區(qū)有一條長、寬分別為a m、b m的長方形草坪，現(xiàn)在準備在這塊草坪中間鋪一條鵝卵石的小路，預(yù)計路寬為1 m. 設(shè)計師提出了直路（見圖4）與曲路（見圖5）兩種方案，面對這兩種方案，工程師產(chǎn)生了爭執(zhí).

甲工程師：直路的方案比曲路方案好，因為直路比曲路省材料.

乙工程師：我認為曲路的方案好，有藝術(shù)感，而且曲路與直路的面積是一樣的，因此耗材也一樣.

師：你們認同哪位工程師的觀點？說明理由.

學生經(jīng)思考后，提出曲路確實更具美感，適合用在小區(qū)內(nèi). 但直路與曲路的面積是否一樣，需要研究一下. 從兩條小路的面積來觀察，圖4的直路面積為1×a=a m²，但圖5中曲路的面積該怎么求呢？學生一致認為這是個棘手的問題.

教師要求學生通過小組合作的方式來探尋答案. 從巡視中發(fā)現(xiàn)，學生無從下手，于是教師適當?shù)丶右渣c撥：長方形草坪的面積為ab（m²），除去草坪部分的面積就是路的面積，如果從路的角度無法獲得結(jié)論，就從草坪面積著手.

在教師的點撥下，立即有學生發(fā)現(xiàn)路的寬度恒為1，草坪被路分成了兩半. 若將兩塊草坪的面積合并（學生操作，剪拼），則得出以下結(jié)論：S_曲路=ab－a（b－1）=a m². 由此可確定曲路與直路的面積是一樣的，也就是說乙工程師的意見是正確的. 此即為說理的過程.

師：本題的解題關(guān)鍵在于求曲路面積時，要關(guān)注到剩下草坪的面積與路的面積的和是ab. 解題時，思維不要局限于求路的面積，還可以轉(zhuǎn)化為求草坪的面積. 這體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學思想方法“轉(zhuǎn)化思想”，應(yīng)該說這個結(jié)論是本節(jié)課的一個重要收獲.

教師板書：轉(zhuǎn)化思想.

師：剛才，我們用說理的方式證明了在幾何圖形中兩條不同形狀小路面積的關(guān)系問題，從中大家都感受到了說理在數(shù)學學習中具有的力量. 其實，說理在數(shù)學學習中無處不在，接下來，我們通過一個代數(shù)的例子來感受說理對數(shù)學學習的影響.

例2 教師用PPT展示代數(shù)式：x²－2x+2.

師：在這個代數(shù)式中，當x取值發(fā)生變化時，值也會相應(yīng)地發(fā)生變化，但究竟是怎么變化的呢？我們都知道x可以取的值太多了，我們該從什么角度去取值并判斷結(jié)論的變化范圍呢？

生1：可以隨便取幾個試試，或者從正數(shù)、負數(shù)與零中各取幾個試試.

師：那就請大家分別從這幾類數(shù)中取值看看.

學生自主取值存在一定的個體偏好，如一位學生分別取了2，6，10， 0，－2，－4，－8. 這位學生所取的值，都是整數(shù)且為偶數(shù). 真是無心插柳柳成蔭，這種取值方法是教師沒有預(yù)設(shè)到的，因此產(chǎn)生了不少意料之外的猜想.

教師將這位學生的取值投影到黑板上，并要求大家建立一個表格（見表1），將數(shù)據(jù)填入表格后進行分析.

師：大膽的猜想是獲得偉大發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ). 現(xiàn)在請觀察你們填寫的表格，并對x²－2x+2的取值范圍提出相應(yīng)的猜想.

在教師的鼓勵下，學生經(jīng)過分析獲得如下猜想：①x²－2x+2的值必然為偶數(shù)；②該式的值必然為正數(shù)；③該式的值必然為整數(shù)；④x²－2x+2的值必然大于等于2，等等.

教師要求學生辨別這些猜想的正確性. 有學生提出，可以從反面進行論證，即舉反例.

師：既然提到了舉反例的方法，現(xiàn)在請大家再取幾個特殊值來看看以上猜想是否正確.

生2：當x為1時，該式的值為1. 此時，新的猜想又出現(xiàn)了，即x²－2x+2的值必然大于等于1.

師：這個結(jié)論是否正確呢？咱們再來取值看看.

此時，學生提出了困惑：x的值不可能全都取到呀，這怎么判斷呢？

問題又回到了原點.

師：如果從完全平方公式著手分析呢？

生3：將式子x²－2x+2進行變形可得（x－1）²+1，從這個式子來看，x可以取任意值，且（x－1）²≥0，此時問題也就迎刃而解了，即（x－1）²+1≥1.

師：說理是驗證操作所獲得的結(jié)論是否正確的重要方式，這也是下節(jié)課我們要著重研究的問題——證明.

此時，學生被說理的力量深深震撼，通過式子的轉(zhuǎn)化與演繹推理方法的應(yīng)用，答案浮出了水面. 此過程，教師順應(yīng)學生的思維，強調(diào)：判斷一句話是錯誤的可以從“舉反例”的角度去證明. 判斷一句話是正確的則可以從“嚴密說理”的角度去證明［3］.

教師板書：實踐操作得到的結(jié)論，離不開說理論證的過程.

教學思考

1. 結(jié)合實情調(diào)整教學順序

本節(jié)課教學從預(yù)設(shè)到生成并沒有完全遵循教材內(nèi)容的順序，而是結(jié)合新課標所提出的“引導學生從合情推理到演繹推理發(fā)展”的要求，根據(jù)學生的實際認知水平進行了教學內(nèi)容的調(diào)整. 本節(jié)課的重點放在“為什么要說理”，也就是進行演繹推理的理由上. 此過程為觀念形成過程，對后續(xù)學生的學習具有重要影響，因此教師耗費了大量的時間與精力在這個問題上.

事實說明，在解決了“為什么要說理”的基礎(chǔ)上引導學生充分感受證明的力量是正確的選擇，一節(jié)課下來，演繹推理的重要性與證明的力量在每個學生的腦海中生根發(fā)芽. 因此，結(jié)合實際情況微調(diào)教學順序，不失為一種良好的教學方式.

2. 結(jié)合課標調(diào)整教學方案

新課標的落地，引發(fā)了教育界的一股研究熱潮，尤其是“三會”要求的提出，讓廣大教育工作者不得不思考接下來的教學方向與方案. 究竟該如何才能讓學生通過課堂教學“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”？

研究發(fā)現(xiàn)，教師應(yīng)用現(xiàn)成的導學案、教案與課件等，疏于深入思考，會導致教學流于形式，學生也無法感受到教師的良苦用心，更無法做到“三會”.

本節(jié)課，從教學內(nèi)容上來分析，主要有三個模塊，分別為：①引導學生認識到實踐操作是認識一般事物的基本手段；②帶領(lǐng)學生感知，實踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的；③讓學生體驗，通過實踐操作所獲得的結(jié)論只有經(jīng)過說理的過程，才能確定其是否成立. 其中，說理存在兩種方式，一種為舉反例，還有一種為步步有據(jù).

因此，教師制訂在教學方案時，需從以上幾部分內(nèi)容著手進行分析，并結(jié)合學生的實際認知水平，而非不加思考直接取用現(xiàn)成的課件. 基于學生實際情況，在本節(jié)課中筆者將前兩個模塊合并在一起教學，使得課堂充滿靈氣.

3. 結(jié)合預(yù)設(shè)促進課堂生成

課堂預(yù)設(shè)與生成是相輔相成的關(guān)系，因為學生的思維是動態(tài)變化的，所以真正的課堂是動態(tài)的. 教師只有在課前做好充分預(yù)設(shè)，才能在課堂上遇到“意外”時，靈活地采取應(yīng)對措施，讓課堂充滿智慧. 這種狀態(tài)下的課堂能有效促進教學相長.

探討x²－2x+2的取值范圍時，雖然教師做了精心預(yù)設(shè)，但學生特殊的取值，出乎教師的意料. 此時教師并沒有避開這位學生特殊的取值，而是順應(yīng)學生思維往下探討. 這種隨機應(yīng)變的能力是教師綜合素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是尊重學生的體現(xiàn)，學生在此過程中充分感知到證明的作用與力量.

綜上，在本節(jié)課的教學中，教師沒有完全照本宣科，也沒有急于求成地簡單告知，而是讓學生親身經(jīng)歷了實踐操作后思維的發(fā)生發(fā)展. 師生通過幾個實例證明了“實踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的”，這個觀點不僅對學生數(shù)學學習具有深遠的影響，而且對于學生的“三會”也有重要影響. 本節(jié)課，學生充分認識到演繹推理的重要性，通過推理觸碰到了知識的本質(zhì)，而課堂也因為演繹推理，更具內(nèi)涵.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 董林偉. 初中數(shù)學實驗的理論與實踐研究［M］. 南京：江蘇科學技術(shù)出版社，2013.

［3］ 史寧中. 試論數(shù)學推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理［J］. 數(shù)學教育學報，2016，25（04）：1-16，46.