于蕾， 汪宏年*， 王浩森， 殷長春

1 吉林大學物理學院計算方法與軟件國際中心，長春 130012 2 河北建筑工程學院，河北張家口 075000 3 吉林大學地球探測科學與技術(shù)學院，長春 130026

0 引言

經(jīng)過近40年的發(fā)展，隨鉆測井已成為智能導(dǎo)鉆、地質(zhì)導(dǎo)向、復(fù)雜儲層綜合評價等的重要工具，在整個油氣層勘探開發(fā)中發(fā)揮著越來越重要的作用.目前，各大石油服務(wù)公司相繼研究開發(fā)出多種不同結(jié)構(gòu)的隨鉆方位電磁波測井技術(shù)，例如，斯倫貝謝(Schlumberger)公司的PeriScope15(Li et al., 2005;Omeragic et al., 2005)、貝克休斯(Baker Hughes)公司的AziTrak(Bell et al., 2006;Wang et al., 2006,2007;Kennedy et al., 2009;Fang, 2011)、哈里伯頓(Halliburton)公司的ADR(Bittar et al., 2009)、威德福(Weatherford)公司的GuideWave(Li et al., 2014)以及中國科學院地質(zhì)與地球物理研究所自主研發(fā)的正交隨鉆方位儀器(汪宏年等, 2021;于蕾等, 2021;Yu et al., 2022)等.這些儀器普遍采用多頻多源距的軸向、傾斜或共面(橫向)(Hong et al., 2022)發(fā)射與接收天線系統(tǒng)，通過測量多分量磁場信息，實現(xiàn)復(fù)雜儲層條件下精確地質(zhì)導(dǎo)向.為了提高儀器測量效率和精度，實際隨鉆電阻率測井儀器的發(fā)射與接收天線均安裝在刻槽鉆鋌的天線槽中(Clark et al., 1990)，并利用鐵氧體等磁性材料和玻璃鋼等高阻耐磨性材料對線圈進行封存，以避免線圈與井眼泥漿直接接觸，提高儀器的耐用性(Park and Eom, 1999;Shumpert and Butler, 1998).在儀器優(yōu)化設(shè)計和資料處理過程中，研究建立一套復(fù)雜地層條件下含有天線槽的隨鉆方位電磁測井響應(yīng)數(shù)值模擬方法是一項非常重要的工作.需要指出的是這種含有天線槽的隨鉆方位電磁響應(yīng)的數(shù)值模擬往往是十分復(fù)雜的，且計算工作量也非常大.目前，半解析算法(汪宏年等, 2021)以及三維數(shù)值模擬算法(于蕾等, 2021;Yu et al., 2022;許巍等, 2016;Wang and Signorelli, 2004)等均已得到廣泛研究和應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上，本文將基于感應(yīng)測井中的幾何因子理論，建立一套確定各向異性地層中隨鉆方位電磁波儀器縱橫向探測能力的新算法，用于快速分析評價復(fù)雜地層條件下儀器的探測性能.

早在20世紀40年代，Doll首先提出了幾何因子理論(Doll, 1949)，將接收線圈上的感應(yīng)電動勢表示為地層中所有感應(yīng)電流環(huán)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的疊加.在此基礎(chǔ)上，Duesterhoeft等(Duesterhoeft, 1961;Duesterhoeft et al., 1961;Moran and Kunz, 1962)借助均勻介質(zhì)中電磁場解析解對Doll幾何因子進行改進給出了傳播幾何因子，在石油工業(yè)中也被稱為趨膚效應(yīng)幾何因子(田子立等, 1984).此后，基于攝動原理又陸續(xù)發(fā)展了幾何因子的幾種不同推導(dǎo)與物理解釋，并在感應(yīng)測井資料處理中得到廣泛應(yīng)用(Anderson and Gianzero, 1982;Moran, 1982;張庚驥, 1982;Howard et al., 1990).Fang等將Moran幾何因子推廣到了斜井問題中(Fang et al., 1999).針對高頻電磁波測井，Zhou(Hiliker et al., 1992)和Zhou和邢光龍等(Hiliker et al.,1992；邢光龍和楊德善，2004)進一步將幾何因子理論推廣應(yīng)用于幅度比與相位差對介電常數(shù)、電導(dǎo)率響應(yīng)函數(shù)研究中.針對新的多分量感應(yīng)測井問題，Alumbaugh和王磊等分別研究了各向同性和各向異性多分量儀器響應(yīng)的幾何因子算法(Alumbaugh and Lu, 2001;Alumbaugh and Wilt, 2001;Barber et al., 2004;王磊等, 2015;鄧少貴等, 2020).需要指出的是，到目前為止，借助幾何因子理論分析測井響應(yīng)的研究工作幾乎都是針對均勻介質(zhì)，即使包含異常體結(jié)構(gòu)或斜井時亦是基于均勻介質(zhì)進行差分或Born近似，且在幾何因子計算過程中往往忽略了鉆鋌以及收發(fā)線圈的真實幾何結(jié)構(gòu)，對于含有金屬鉆鋌和環(huán)狀天線槽的幾何因子仍然缺少系統(tǒng)研究.基于攝動原理和模式匹配(NMM)算法對刻槽鉆鋌上隨鉆電磁幾何因子的研究已取得了初步進展(汪宏年等, 2021)，但對于層狀各向異性地層中傾斜井眼情況下含天線槽的隨鉆方位電磁波測井完整幾何因子(即軸向分量和交叉分量幾何因子)的研究仍然是空白.

本文將針對含有天線槽的隨鉆方位電磁波測井儀器，借助攝動原理和一階Born 近似理論，建立各向異性非均質(zhì)地層中隨鉆方位電磁波測井空間靈敏度函數(shù)(三維幾何因子)以及各分量徑向、縱向微分幾何因子的有效算法.算法的關(guān)鍵是利用柱坐標系下耦合勢Helmholtz方程三維有限體積法(3-D FVM)(張燁等, 2012;Wang et al., 2020;陳博等, 2021;于蕾等, 2021;Yu et al., 2022)同時確定電流源和磁偶極子源的電磁場Green函數(shù)的數(shù)值解，并應(yīng)用攝動原理和Green第二積分公式建立電導(dǎo)率相對攝動與電磁場微小變化量之間的關(guān)系，從而得到不同分量空間靈敏度函數(shù)表達式.并將其在徑向(垂直儀器軸方向)或縱向(沿儀器軸方向)上的數(shù)值積分作為各分量的微分幾何因子，用于分析考查非均質(zhì)各向異性地層中不同工作頻率、不同相對傾角情況下隨鉆方位電磁波測井儀器的縱橫向探測能力，為儀器設(shè)計、實際測量以及資料處理提供理論參考.

1 基本理論

1.1 電導(dǎo)率攝動與一階Born近似情況下的電磁場

圖1a是隨鉆方位電磁波測井儀器結(jié)構(gòu)示意圖，其中，Tz1/Tz2(Tz3/Tz4)分別是長(短)源距軸向發(fā)射線圈，Rz1/Rz2和Rx1/Rx2分別是軸向和橫向接收線圈.所有線圈均安裝在環(huán)狀天線槽中的鐵氧體與玻璃鋼之間(見圖1(b,c)).儀器參數(shù)、鉆鋌以及環(huán)狀天線槽的尺寸見文獻(汪宏年等, 2021;于蕾等, 2021;Yu et al., 2022).引入儀器柱坐標系Oρφz并保證其z軸與鉆鋌中軸線一致，這時隨鉆方位電磁波測井正演模擬可以表示為求解如下的Maxwell方程(時間變化關(guān)系為e-iω t)

圖1 隨鉆方位電磁波測井儀器結(jié)構(gòu)示意圖(a) 刻槽鉆鋌結(jié)構(gòu)與收發(fā)線圈分布；(b) 天線槽中的軸向線圈；(c) 天線槽中的橫向線圈.Fig.1 The downhole structure of the LWD azimuthal electromagnetic wave tool(a) Grooved drill collar and distribution of transmitting and receiving coils; (b) Coaxial coils in the antenna recesses;(c) Transverse coils in the antenna recesses.

(1)

儀器柱坐標系中電導(dǎo)率張量為

(2)

當水平和垂直電導(dǎo)率產(chǎn)生微小攝動δσH(r)和δσV(r)時，利用微分公式從方程(2)可以得到儀器柱坐標系中電導(dǎo)率的相對攝動量(陳博等, 2021;汪宏年等, 2021)

(3)

由攝動原理以及電導(dǎo)率相對攝動量(3)，從方程(1)可以推導(dǎo)出電導(dǎo)率攝動與電場和磁場微小變化量δE(r;rs,i)和δH(r;rs,i)間的線性關(guān)系(即攝動方程)

(4)

在接收線圈Rz1和Rz2所在位置rz,j=(ρr,zr,j),(j=1,2)處引入環(huán)狀電流源電場和磁場Green函數(shù)EJφ(r;rz,j)和HJφ(r;rz,j)

(5)

其中，上角標Jφ表示是由單位環(huán)狀電流源產(chǎn)生的電磁場.方程(5)與方程(1)除源的位置不同外，其他部分完全相同.

利用Green第二積分公式與互易原理將方程(4)和(5)結(jié)合，得到軸向接收線圈Rz1/Rz2上電場強度Eφ分量微小變化與電導(dǎo)率攝動間的線性關(guān)系(陳博等, 2021)

J(r;rs,i)dr.

(6)

與軸向接收線圈不同，橫向接收線圈Rx1和Rx2內(nèi)部介質(zhì)是均勻的且其尺寸往往很小，其感應(yīng)電動勢可以根據(jù)磁通量對時間的變化率計算.為確定電導(dǎo)率微小攝動對橫向接收線圈上感應(yīng)電動勢的影響，僅需要研究接收線圈中心位置徑向磁場強度的變化量，為此，分別在Rx1和Rx2的中心位置rx,k=(ρr,φr,zx,k),(k=1,2)處引入徑向磁偶極子源電磁場Green函數(shù)EMρ(r;rx,k)和HMρ(r;rx,k)

(7)

這時，利用Green第二積分公式與互易原理并將方程(4)和(7)結(jié)合，可以得到橫向接收線圈Rx1/Rx2上徑向磁場強度微小變化量δHρ與電導(dǎo)率攝動間的線性關(guān)系：

·J(r;rs,i)dr.

(8)

1.2 各向異性地層中的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)

1.2.1 幅度比和相位差的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)

隨鉆方位電磁波測井儀器軸向分量輸出信號往往是兩個軸向接收線圈上感應(yīng)電動勢的比值，并用其振幅和相位即幅度比和相位差表示(王浩森等, 2016;汪宏年等, 2021)，例如，長源距幅度比(分貝)和相位差計算公式分別為

(9)

其中，Vzz(rz,1;rs,1)和Vzz(rz,2;rs,1)分別是發(fā)射線圈Tz1在軸向接收線圈Rz1和Rz2上的感應(yīng)電動勢，Re和Im分別表示取復(fù)數(shù)的實部和虛部.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與全微分公式對方程(9)進行處理，得到幅度比和相位差變化量δAtt1和δPS1與兩個軸向接收線圈上感應(yīng)電動勢變化量δVzz(rz,1;rs,1)和δVzz(rz,2;rs,1)間的關(guān)系

(10)

進而，可得到幅度比和相位差變化量與電導(dǎo)率相對攝動量間的關(guān)系

(11)

圖2 空間靈敏度函數(shù)理論解釋示意圖Fig.2 Theoretical explanation of spatial sensitivity function

(12)

其中，Szz,H(r;rz,j;rs,i)和Szz,V(r;rz,j;rs,i)為軸向感應(yīng)電動勢對于水平電導(dǎo)率和垂直電導(dǎo)率的空間靈敏度函數(shù)(見附錄A).

1.2.2 交叉分量的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)

(13)

以及交叉分量Vx1的變化量與水平和垂直電導(dǎo)率相對攝動量間的關(guān)系

(14)

其中，Sxz,H(r;rx,k;rs,i)和Sxz,V(r;rx,k;rs,i)分別為橫向感應(yīng)電動勢對于水平和垂直電導(dǎo)率的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)(見附錄A)；L表示各線圈到儀器中心的距離(見圖1).采用同樣方法也可以推導(dǎo)出橫向接收線圈輸出量Vx2的空間靈敏度函數(shù)表達式(略).

1.3 各向異性地層中的微分幾何因子

空間靈敏度函數(shù)(三維幾何因子)可以應(yīng)用于研究分析地層中不同位置的單位體積元上水平和垂直電導(dǎo)率相對攝動對測量結(jié)果產(chǎn)生的影響.將空間靈敏度函數(shù)沿縱向和徑向分別積分可以獲得徑向微分幾何因子和縱向微分幾何因子，能夠更好地用于分析考查儀器探測深度和縱向分辨率.

1.3.1 幅度比和相位差的微分幾何因子

對方程(12)中的空間靈敏度函數(shù)沿縱向積分，得

(15)

(16)

同樣地，對方程(12)中的空間靈敏度函數(shù)沿徑向積分，得

(17)

(18)

1.3.2 交叉分量的微分幾何因子

類似地，對方程(14)中的空間靈敏度函數(shù)進行積分，則可以得到交叉分量Vx1相對于水平和垂直電導(dǎo)率的徑向和縱向微分幾何因子

(19)

以及總徑向和總縱向微分幾何因子

(20)

其物理含義與前面的幅度比和相位差的縱向(徑向)微分幾何因子相同.

隨鉆方位電磁波儀器采用完全對稱的測量方式，通過上下對稱的測量結(jié)果加以平均得到所謂的補償信號，以便于降低井眼和層界面影響.為此，對于上面的各個發(fā)射天線對應(yīng)的空間靈敏度函數(shù)與微分幾何因子，分別對上下對稱的相關(guān)計算結(jié)果加以平均就得到補償空間靈敏度函數(shù)與補償微分幾何因子(見附錄B).

1.4 環(huán)狀電流源和磁偶極子源電磁場的三維有限體積法(3-D FVM)正演

(21)

方程(21)中右端項分別對應(yīng)如下三種不同情況：

當α=1時，對應(yīng)方程(1)的右端項，即

(22)

這時方程(21)表示四個軸向發(fā)射線圈產(chǎn)生的電磁場耦合勢，且r′=rs,i對應(yīng)于四個軸向發(fā)射線圈的位置；

α=2時，對應(yīng)方程(5)的右端項

(23)

這時方程(21)代表軸向接收線圈位置上單位電流產(chǎn)生的電磁場耦合勢，并且r′=rz,j對應(yīng)兩個軸向接收線圈位置；而α=3的右端項為

k=1,2,

(24)

其對應(yīng)于方程(7)，即橫向接收線圈位置上單位徑向磁偶極子產(chǎn)生的電磁場耦合勢，并且r′=rx,k對應(yīng)兩個橫向接收線圈的位置.

應(yīng)用文獻(于蕾等, 2021;Yu et al., 2022)中的不規(guī)則Yee交錯網(wǎng)格對含有天線槽的金屬鉆鋌周圍的求解區(qū)域進行網(wǎng)格剖分，并按照3-D FVM對方程(21)—(24)進行離散，則得到關(guān)于未知矢勢和標勢的大型代數(shù)方程為

FXα=bα,

(25)

其中，F(xiàn)為N×N階非對稱的稀疏系數(shù)矩陣，是方程(21)左端的離散結(jié)果，只與地層參數(shù)有關(guān)；Xα=(Aρ,Aφ,Az,φ)T為各個剖分網(wǎng)格交錯節(jié)點上未知耦合勢組成的N維向量；bα是方程(21)右端項的離散結(jié)果，對應(yīng)(22)—(24)的離散向量.

2 數(shù)值結(jié)果

根據(jù)上述算法，本節(jié)將針對鉆鋌上含環(huán)狀天線槽的儀器模型，給出均勻各向同性、均勻各向異性以及包含水平層界面地層中空間靈敏度函數(shù)(三維幾何因子)、徑向和縱向微分幾何因子的數(shù)值結(jié)果，并對軸向響應(yīng)數(shù)值結(jié)果進行歸一化處理，考查隨鉆方位電磁波測井儀器的探測特征.此外，為減少論文篇幅以及根據(jù)數(shù)值結(jié)果的對稱性，本論文僅給出補償空間靈敏度函數(shù)、補償徑向和補償縱向微分幾何因子的數(shù)值結(jié)果，同時由于隨鉆方位電磁波儀器受井眼泥漿影響較小，數(shù)值計算過程中忽略井眼影響.

2.1 各向同性均勻地層中幅度比和相位差的幾何因子

首先，針對σH=σV=0.1 S·m-1的均勻各向同性地層，利用數(shù)值模式匹配(NMM)算法(汪宏年等, 2021)與本文3-D FVM得到的幾何因子計算結(jié)果進行對比，檢驗算法的有效性.

圖3 各向同性均勻地層中3-D FVM與NMM算法得到的幅度比和相位差總徑向微分幾何因子對比(a) 低頻幅度比； (b) 低頻相位差； (c) 高頻幅度比； (d) 高頻相位差.Fig.3 Comparison of total radial differential geometrical factors of Att and PS obtained by 3-D FVM and NMM in isotropic homogeneous formation

圖4 各向同性均勻地層中3-D FVM與NMM算法得到的幅度比和相位差總縱向微分幾何因子對比(a) 低頻幅度比； (b) 低頻相位差； (c) 高頻幅度比； (d) 高頻相位差.Fig.4 Comparison of total vertical differential geometrical factors of Att and PS obtained by 3-D FVM and NMM in isotropic homogeneous formation

此外，圖3和圖4中也同時給出光滑鉆鋌上無天線槽時(線圈纏繞在鉆鋌表面)的結(jié)果，此結(jié)果也由3-D FVM計算得到.結(jié)果顯示無天線槽與含天線槽時的微分幾何因子幾乎重合，正如文獻(汪宏年等, 2021)中所說，天線槽中鐵氧體有效地提高了發(fā)射線圈的發(fā)射功率和接收信號強度，但對鉆鋌外電磁場空間分布的影響較小，幅度比和相位差依然主要反映地層電導(dǎo)率的變化特征.

2.2 均勻TI地層中不同儀器傾角時幅度比和相位差的幾何因子

圖6 均勻TI地層中傾角為0°、60°和89°時長短源距幅度比和相位差的總徑向微分幾何因子以及與水平和垂直電導(dǎo)率關(guān)聯(lián)的徑向微分幾何因子(f=400 kHz)(a1—a3) 長源距幅度比； (b1—b3) 長源距相位差； (c1—c3) 短源距幅度比； (d1—d3) 短源距相位差.Fig.6 Radial differential geometrical factors of Att and PS to total conductivity, horizontal, and vertical conductivity in homogeneous TI formations with dips of 0, 60 and 89 degrees (f=400 kHz)(a1—a3) Att of long spacing; (b1—b3) PS of long spacing; (c1—c3) Att of short spacing; (d1—d3) PS of short spacing.

圖7 均勻TI地層中傾角為0°、60°和89°時長短源距幅度比和相位差的總縱向微分幾何因子以及與水平和垂直電導(dǎo)率關(guān)聯(lián)的縱向微分幾何因子(f=400 kHz)(a1—a3) 長源距幅度比； (b1—b3) 長源距相位差； (c1—c3) 短源距幅度比； (d1—d3) 短源距相位差.Fig.7 Vertical differential geometrical factors of Att and PS to total conductivity, horizontal, and vertical conductivity in homogeneous TI formations with dips of 0, 60 and 89 degrees (f=400 kHz)(a1—a3) Att of long spacing; (b1—b3) PS of long spacing; (c1—c3) Att of short spacing; (d1—d3) PS of short spacing.

圖8 均勻TI地層中傾角為89°時長短源距幅度比和相位差總空間靈敏度分布(y=0和f=400 kHz)(a) 長源距幅度比； (b) 長源距相位差； (c) 短源距幅度比； (d) 短源距相位差.Fig.8 Total spatial sensitivity of Att and PS in homogeneous TI formation at dip of 89 degree (y=0 and f=400 kHz)(a) for PS of short spacing.

2.3 兩層模型中幅度比和相位差總空間靈敏度函數(shù)

為進一步研究考查軸向接收線圈Rz1/Rz2上幅度比和相位差總空間靈敏度函數(shù)的變化特征、分析儀器的探邊能力，本節(jié)將分別給出各向同性和各向異性兩層模型中，儀器位于兩個不同位置時幅度比和相位差的總空間靈敏度.圖9是兩層地層模型示意圖，其水平地層邊界位置zb=0 m，而儀器位置分別為d=±1.0 m，且傾角固定為89°，為減少文章篇幅，這里僅給出低頻情況下y=0的垂直截面xfOzf上總空間靈敏度.

圖9 兩層地層模型示意圖(a) 各向同性； (b) TI.Fig.9 Two-layer formation model(a) Isotropic; (b) TI.

2.3.1 兩層各向同性地層模型

圖10 兩層各向同性地層中傾角為89°、測點d=±1.0 m時幅度比和相位差總空間靈敏度分布(y=0和f=400 kHz)(a) d=-1.0 m時； (b) d=-1.0 m時； (c) d=-1.0 m時； (d) d=-1.0 m時； (e) d=1.0 m時； (f) d=1.0 m時； (g) d=1.0 m時； (h) d=1.0 m時.Fig.10 Total spatial sensitivity of Att and PS in two-layer isotropic formation with dip of 89 degree and measuring position of d=±1.0 m (y=0 and f=400 kHz)

2.3.2 兩層TI地層模型

圖9b是兩層TI模型，其水平電導(dǎo)率與圖9a相同，而上下層垂直電導(dǎo)率分別為σV1=0.2 S·m-1和σV2=0.025 S·m-1.圖11是儀器在該模型中分別位于d=-1.0 m和d=1.0 m時低頻長(短)源距幅度比和相位差總空間靈敏度分布圖.其中，圖11(a—d)為d=-1.0 m時的總空間靈敏度，而圖11(e—h)是d=1.0 m時的總空間靈敏度.對比圖10中各向同性模型與圖11中TI模型結(jié)果可以看出，地層電導(dǎo)率各向異性對空間靈敏度的影響很大，TI模型中儀器的探邊能力減弱.但從圖11仍然可以看出，當儀器位于上部低阻層(d=-1.0 m)時，地層邊界與儀器之間區(qū)域的空間靈敏度是明顯增強的，且在高阻層中靈敏度快速減小.而當儀器位于下部高阻層(d=1.0 m)時，在儀器與層邊界之間的高阻區(qū)域中空間靈敏度值明顯變小，儀器在高阻地層時具有更強的探邊能力.

圖11 兩層TI模型中傾角為89°、測點d=±1.0 m時幅度比和相位差總空間靈敏度分布(y=0和f=400 kHz)(a) d=-1.0 m時； (b) d=-1.0 m時；(c) d=-1.0 m時； (d) d=-1.0 m時；(e) d=1.0 m時； (f) d=1.0 m時；(g) d=1.0 m時； (h) d=1.0 m時.Fig.11 Total spatial sensitivity of Att and PS in two-layer TI formation with dip of 89 degree and measuring position of d=±1.0 m (y=0 and f=400 kHz)

2.4 均勻地層中交叉分量總空間靈敏度函數(shù)

圖12是均勻各向同性和均勻TI地層中交叉分量空間靈敏度分布圖，其中，圖12(a,b)是電導(dǎo)率為0.1 S·m-1的各向同性地層中的數(shù)值結(jié)果，而圖12(c,d)是水平電導(dǎo)率為σH=0.1 S·m-1、各向異性系數(shù)為λ=2的TI地層中的結(jié)果.與幅度比和相位差不同，交叉分量總空間靈敏度在空間上呈正負相間分布，特別是對圖12(a,b)中數(shù)值結(jié)果進行積分時發(fā)現(xiàn)，各向同性地層中的空間靈敏度的體積分等于零，說明在各向同性均勻地層中交叉分量對地層電導(dǎo)率變化不敏感，實際正演結(jié)果值始終等于零.而圖12(c,d)的均勻TI地層中空間靈敏度雖然也呈正負相間分布，但對其進行積分并不等于零，因此，在均勻地層傾斜井眼中，根據(jù)交叉分量是否等于零能夠判斷出地層電導(dǎo)率是否存在各向異性.

圖12 均勻各向同性與TI地層中傾角為89°時交叉分量實部和虛部總空間靈敏度分布(y=0和f=400 kHz)(a) 各向同性Re[]； (b) 各向同性Im[]； (c) TI地層中Re[]； (d) TI地層中Im[].Fig.12 Total spatial sensitivity of real and imaginary parts of cross-components in both isotropic and TI homogeneous formation with dip of 89 degree (y=0和f=400 kHz)

2.5 兩層模型中交叉分量總空間靈敏度函數(shù)

圖13 兩層各向同性與TI地層中傾角為89°、測點d=±1.0 m時交叉分量實部和虛部總空間靈敏度分布(y=0和f=400 kHz)(a)和(b)各向同性地層中d=-1.0 m時Re[]和Im[]；(c)和(d)TI地層中d=-1.0 m時Re[]和Im[]；(e)和(f)各向同性地層中d=1.0 m時Re[]和Im[]； (g)和(h)TI地層中d=1.0 m時Re[]和Im[].Fig.13 Total spatial sensitivity of real and imaginary parts of cross-components in both isotropic and TI two-layer formation with dip of 89 degree and measuring position of d=±1.0m (y=0和f=400 kHz)(a) and (b) in TI formation at d=-1.0 m;(e) and (f) in TI formation at d=1.0 m.

3 結(jié)論

本文針對中國科學院地質(zhì)與地球物理研究所自主研發(fā)的新型隨鉆方位電磁波測井儀器，基于感應(yīng)測井中的幾何因子理論與一階Born 近似理論，結(jié)合柱坐標系下耦合勢Helmholtz方程三維有限體積算法，提出了一種各向異性非均勻地層中隨鉆方位電磁波測井儀器的空間靈敏度函數(shù)以及各個分量的徑向和縱向微分幾何因子算法.數(shù)值結(jié)果模擬考查了不同頻率、儀器傾角條件下，各向同性、各向異性以及縱向成層地層中的幾何因子，分析考查了儀器的探測特性和探邊能力.

數(shù)值結(jié)果表明：(1)頻率越低、源距越長，線圈的徑向探測深度越大，幅度比比相位差具有更大的探測深度；相反的，頻率越高、源距越短，線圈的縱向分辨能力越強，相位差比幅度比縱向分辨力強；(2)均勻各向異性地層中，儀器傾角越大，與垂直電導(dǎo)率關(guān)聯(lián)的微分幾何因子越大，與水平電導(dǎo)率關(guān)聯(lián)的微分幾何因子越??；在大傾角的井眼中，相位差曲線更能夠反應(yīng)出地層垂直電導(dǎo)率的變化；(3)兩層模型中，測點位置距離層邊界較近時，空間靈敏度分布在層邊界處明顯分層；儀器在高阻地層時具有更強的探邊能力；交叉分量的探邊能力好于幅度比和相位差.

附錄A

軸向感應(yīng)電動勢的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)：

從方程(6)不難看出軸向接收線圈Rz1/Rz2上感應(yīng)電場強度的變化量與方位角無關(guān)，所以其感應(yīng)電動勢變化量可以表示為δVzz(rz,j;rs,i)=2πρrδEφ(rz,j;rs,i).

將方程(3)代入(6)并經(jīng)適當整理，得到軸向接收線圈上感應(yīng)電動勢微小變化量與地層水平和垂直電導(dǎo)率相對攝動間的關(guān)系

(A1)

其中，bm表示鉆鋌外半徑，而右端項被積函數(shù)中Szz,H和Szz,V表達式為

(A2)

其中，上角標f表示地層坐標系.該表達式稱為軸向感應(yīng)電動勢對于水平電導(dǎo)率(或垂直電導(dǎo)率)的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子).

橫向感應(yīng)電動勢的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)：

橫向接收線圈Rx1/Rx2上的感應(yīng)電動勢變化量為δVxz(rx,k;rs,i)=iωμSxδHρ(rx,k;rs,i)，其中Sx是橫向接收線圈的面積.

將(3)代入式(8)中，得到發(fā)射線圈(Tz1/Tz2和Tz3/Tz4)在橫向接收線圈Rx1/Rx2上感應(yīng)電動勢的變化量與水平和垂直電導(dǎo)率相對攝動量的關(guān)系

(A3)

其中，右端被積函數(shù)中的Sxz,H和Sxz,V分別稱為橫向感應(yīng)電動勢的空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)并具有表達式

(A4)

附錄B

補償長源距幅度比和相位差的總徑向微分幾何因子：

補償短源距幅度比和相位差的總徑向微分幾何因子：

補償長源距幅度比和相位差的總縱向微分幾何因子：

(B3)

補償短源距幅度比和相位差的總縱向微分幾何因子：

(B4)

幅度比和相位差的總空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)：

(B5)

補償長源距幅度比和相位差的總空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)：

(B6)

補償短源距幅度比和相位差的總空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)：

(B7)

補償長源距幅度比和相位差對水平(垂直)電導(dǎo)率的徑向微分幾何因子：

(B8)

補償短源距幅度比和相位差對水平(垂直)電導(dǎo)率的徑向微分幾何因子：

(B9)

補償長源距幅度比和相位差對水平(垂直)電導(dǎo)率的縱向微分幾何因子：

(B10)

補償短源距幅度比和相位差對水平(垂直)電導(dǎo)率的縱向微分幾何因子：

(B11)

交叉分量Vx1和Vx2的總空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)：

(B12)

補償交叉分量的總空間靈敏度函數(shù)(或三維幾何因子)：

(B13)