面向毫米波大規(guī)模極化敏感陣列的多徑信號(hào)二維快速測(cè)向算法*

張喆，文方青**，師俊朋

（1.三峽大學(xué)水電工程智能視覺(jué)監(jiān)測(cè)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，湖北 宜昌 443002；3.國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037）

0 引言

未來(lái)6G 的世界是一個(gè)萬(wàn)物互聯(lián)的世界，空天地的一體化通信讓人們可以隨時(shí)隨地地進(jìn)行便捷、安全、快速、智能的信息交互。DOA（Direction-of-Arrival，波達(dá)角）估計(jì)是通信、定位和傳感的核心任務(wù)。因此，它是6G 通信網(wǎng)絡(luò)無(wú)線通信的規(guī)范任務(wù)[1]。由于無(wú)線信道的復(fù)雜性（如反射、二次反射等），電磁波在傳播途中往往會(huì)產(chǎn)生多徑信號(hào)，即相干源。多徑信號(hào)往往會(huì)造成無(wú)線信號(hào)的衰落，對(duì)其進(jìn)行DOA 估計(jì)是一個(gè)重要的課題。此外，B5G/6G 中的大規(guī)模MIMO 天線陣列一般會(huì)帶來(lái)巨大的計(jì)算復(fù)雜度，故高效率的天線技術(shù)也是DOA 算法研究需要突破的問(wèn)題之一[2]。

2D-DOA（Two-Dimensional Direction-of-Arrival，二維波達(dá)方向）估計(jì)作為陣列信號(hào)處理領(lǐng)域中的重要問(wèn)題之一，已經(jīng)涌現(xiàn)出許多基于傳統(tǒng)標(biāo)量傳感器進(jìn)行測(cè)向的算法。針對(duì)非相關(guān)信號(hào)，Wu[3]等人提出的適用于均勻線陣的PM（Propagator Method，傳播算子法），利用數(shù)據(jù)之間的線性關(guān)系進(jìn)行高精度測(cè)向，但缺陷是只適用于均勻陣列。Xi[4]等人提出的適用于L 型陣列的子空間算法，通過(guò)重排特定的向量得到噪聲子空間，再進(jìn)行二維的搜索，導(dǎo)致該算法計(jì)算量較大。對(duì)于更符合實(shí)際的相干信源場(chǎng)景，Chen[5]等人提出了SS（Spatial Smoothing，空域平滑）算法對(duì)相關(guān)信號(hào)進(jìn)行去相關(guān)，構(gòu)造子矩陣并取各子矩陣的平均來(lái)恢復(fù)協(xié)方差矩陣的秩，但此方法損失了陣列的有效孔徑。Kwong[6]等人提出通過(guò)協(xié)方差矩陣重構(gòu)來(lái)恢復(fù)其秩，但此方案對(duì)陣列的要求必須是均勻的。劉[7]等人提出的適用于L 型陣列的二維MUSIC 算法，但此方案由于要構(gòu)造Toeplitz 矩陣，并在Toeplitz 矩陣基礎(chǔ)進(jìn)行矩陣重排，最后進(jìn)行二維搜索，所以計(jì)算量非常大。更值得一提的是，傳統(tǒng)標(biāo)量傳感器輸出只是標(biāo)量，包含的信息較少，分辨率低[8]。

近年來(lái)，伴隨著EMVS（Electromagnetic Vector Sensor，電磁矢量傳感器）這一新型分支的興起，基于EMVS 陣列進(jìn)行信號(hào)處理得到了廣泛的關(guān)注。EMVS 通過(guò)相互正交的偶極子和磁環(huán)感知來(lái)波信號(hào)，單個(gè)EMVS 不僅能感知來(lái)波的2D-DOA 信息，還能感知來(lái)波信號(hào)的極化特征。所以與傳統(tǒng)標(biāo)量傳感器組成的陣列相比，EMVS 組成的陣列在理論上具有明顯的優(yōu)勢(shì)，體現(xiàn)在較高分辨率、較強(qiáng)抗干擾、較穩(wěn)定檢測(cè)能力和極化多址能力這四個(gè)方面[9]，因而引起國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注。2D-DOA和極化估計(jì)也相應(yīng)成為目前電磁矢量傳感器陣列研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。經(jīng)過(guò)近幾十年的發(fā)展，已涌現(xiàn)大量?jī)?yōu)秀的估計(jì)算法，如2013 年Ren[10]等人提出的適用于URA的酉變換算法，及2019 年Ahmed[11]等人提出的適用于矩形陣列的PARAFAC（Parallel Factor，平行因子）算法。

已有部分研究關(guān)注EMVS 陣列中的相干信號(hào)測(cè)向問(wèn)題。2004 年，徐[12]等人提出的適用于單一陣元或多陣元的空間平滑算法。2004 年，Rahamim[13]等人提出的適用于任意幾何形狀的PS（Polarization Smoothing，極化平滑）算法。2010 年，He[14]等人提出的適用于均勻矩形陣列的PDS（Polarization Difference Smoothing，極化差分平滑）算法。隨著大規(guī)模MIMO（Multiple-in Multipleout，多輸入多輸出）技術(shù)的出現(xiàn)，利用大規(guī)模EMVS 解決DOA 估計(jì)問(wèn)題成為人們新的研究熱點(diǎn)，Wen[15]等人提出了CS（Compressive Sampling，壓縮采樣）框架，對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行降維處理后特征分解得到信號(hào)子空間，最后利用旋轉(zhuǎn)不變性和歸一化向量叉積技術(shù)得到2D-DOA估計(jì)。Wan[16]等人則基于四元數(shù)理論，在MUSIC 的基礎(chǔ)上，提出一種QNC-MUSIC（Quaternion Non-Circular MUSIC，四元數(shù)非圓形MUSIC）的新算法，雖然DOA估計(jì)仍需要進(jìn)行頻譜搜索，但極化估計(jì)有閉式解。

本文聚焦現(xiàn)存算法的優(yōu)點(diǎn)和不足，本文提出了一種改進(jìn)的多徑效應(yīng)背景下2D-DOA 與極化參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的快速方法。本文方法通過(guò)對(duì)EMVS 陣列數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單重排即可消除由于相干源引起的秩虧問(wèn)題，再利用PM 算法從重排的數(shù)據(jù)中獲得2D-DOA 信息，最后通過(guò)最小二乘算法獲得極化特征。所提算法無(wú)須高維特征分解，且其適用于單快拍場(chǎng)景。相比現(xiàn)有算法，本文算法具有計(jì)算復(fù)雜度低、估計(jì)精度高的優(yōu)勢(shì)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的性能優(yōu)勢(shì)。

1 信號(hào)模型與問(wèn)題描述

考慮圖1 所示的接收陣列，該URA（Uniform Rectanglearray，均勻矩形陣列）由M×N個(gè)EMVS 組成（單個(gè)電磁矢量傳感器由三個(gè)正交的電偶極子加上三個(gè)正交磁環(huán)組成[17]，本文假設(shè)它們共置于空間中一點(diǎn)），d表示陣元間距，λ為信號(hào)波長(zhǎng)。假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶的平面橫波入射到該陣列，令θk，φk，γk，ηk分別為第k個(gè)（k=1,2,……,K）信源相對(duì)于接收陣列的俯仰角、方位角、輔助極化角和極化相位差，(θk,φk)也被稱(chēng)為信源的2D-DOA。接收陣列（L次采樣）輸出可以表示為[18]：

圖1 極化URA示例

式中，uk=sinθkcosφk，vk=sinθksinφk，bk為單個(gè)EMVS輸出的具體形式，其前三行元素代表入射電場(chǎng)的所有三個(gè)笛卡爾分量，后三行元素則表示入射磁場(chǎng)的所有三個(gè)笛卡爾分量。當(dāng)估計(jì)2D-DOA 時(shí)，EMVS 陣列不僅可以利用入射信號(hào)的空間分集，而且可以利用它們的極化分集，因此它們可以提供比傳統(tǒng)標(biāo)量傳感器陣列更精確的角度估計(jì)。

本文聚焦于多徑環(huán)境中信號(hào)相干問(wèn)題，由于電磁波信號(hào)的反射與折射，使入射到陣列的信源中既包括需要識(shí)別的信號(hào)本身，又包括頻率相同但相位不同的多徑信號(hào)，相位互相疊加使得原來(lái)的信號(hào)產(chǎn)生失真或者錯(cuò)誤。更進(jìn)一步地，相干信號(hào)會(huì)造成陣列輸出的信號(hào)協(xié)方差矩陣秩虧，導(dǎo)致基于特征值分解的算法性能下降甚至失效。

2 本文算法

下面討論如何在由EMVS 組成的URA 中利用矩陣重排的方法進(jìn)行信號(hào)的解相干，并進(jìn)一步利用PM 完成二維DOA 的估計(jì)。

2.1 基于矩陣重排的秩虧消除

本文首先將式(1) 中的陣列輸出Y進(jìn)行矢量化得到一組新的數(shù)據(jù)Z∈C6MNL×1，其具體的形式如下：

式中，Unvec6N()即把y這一包含6×M×N×L個(gè)元素的列向量從上到下取每6N個(gè)元素為一列，依次從第一列排到最后共M×L列，得到一個(gè)維度為6N×ML的矩陣。且容易得到(ST⊙Ax)T為滿秩矩陣，證明如下：

令ci，cJ(i,j∈ {1,2,…,K})分別是(ST⊙Ax)中不同 的兩列，即：

定義By(ST⊙Ax)T+Unvec6N(Nz)，X相應(yīng)的 協(xié)方差矩陣R為：

式中，Rx是(ST⊙Ax)T的協(xié)方差矩陣，I6N為6N× 6N的單位矩陣。

2.2 2D-DOA進(jìn)行估計(jì)

在本節(jié)，推導(dǎo)出一種基于PM 的高效2D-DOA 測(cè)向算法，它不需要進(jìn)行譜峰搜索。PM 是一種基于轉(zhuǎn)向矢量劃分的線性算子，并且可以很容易地從數(shù)據(jù)中確定[19]。所提出的PM 算法基于以下劃分：

式中，Q1由By的前K行組成，Q2由剩下的6N-K行組成。易知Q1為K×K維的范德蒙德矩陣，所以它是滿秩的，即By的前K行是線性獨(dú)立的，剩余的6N-K行Q2可以由這K行的線性組合表示。由此，定義一個(gè)(6N-K)×K維的矩陣為傳播算子P[20]，且它滿足以下關(guān)系：

進(jìn)一步的，令P1，P2分別代表PH的前(6N-1)-K行與最后的(6N-1)-K行，則有以下關(guān)系[14]：

為了得到P，將R與By進(jìn)行類(lèi)似的劃分：

同樣地，R1為R的前K行，R2為R的剩余6N-K行。通過(guò)觀察R=ByRxBy+σ2I6N，不難發(fā)現(xiàn)By中的線性關(guān)系對(duì)R也適用。即有：

此關(guān)系只適用于無(wú)限樣本的情況。對(duì)于有限的采樣，給出P的最小二乘估計(jì)：

式中，arg{}表示取對(duì)應(yīng)的相位角。由于相對(duì)于x軸的方向余弦估計(jì)與對(duì)估計(jì)相似，這里就不再重復(fù)贅述。有了估計(jì)的和，通過(guò)Van[21]所提出的矩陣擾動(dòng)法得到正確的2D-DOA 對(duì)。

最后，2D-DOA 估計(jì)即為：

3 算法分析

3.1 可辨識(shí)性

本文所提方法的可識(shí)別性受到K的最大可能值的約束，它等于無(wú)噪聲X的最大秩。很明顯，無(wú)噪聲X的最大秩為min{6N,ML}。從式(8) 中可知，要想Q2存在，需滿足K＜6N，又由(10) 中P1、P2的劃分，必須滿足K＜6(N-1)。因此綜合上述來(lái)看，K=min{6(N-1)-1,ML}。另外，在表1 中，列出了本文所對(duì)比方法的可識(shí)別性。

表1 可識(shí)別性比較

3.2 復(fù)雜度

表2 復(fù)雜度比較

3.3 CRB

根據(jù)Wen 等人[15]，2D-DOA 的確定性CRB 由下式給出：

4 計(jì)算機(jī)仿真

本節(jié)采用蒙特卡洛方法驗(yàn)證所提算法的有效性。在仿真中，假設(shè)接收陣列為M行N列的均勻矩形陣列，每個(gè)陣元都是完備的共址式EMVS。陣元間距為d=0.5λ，α為相關(guān)系數(shù)。假設(shè)有K=3 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，其參數(shù)分別為θ=(40°,10°,60°)，φ=(-15°,45°,20°)，γ=(12°,39°,63°)，η=(33°,47°,-21°)。此外，假設(shè)已收集L個(gè)樣本。仿真的每個(gè)圖的結(jié)果都依賴(lài)于200 次獨(dú)立的試驗(yàn)。在仿真中，信號(hào)與噪聲比（SNR）被定義為，Y與N均為表達(dá)式(1)中的數(shù)據(jù)矩陣。性能評(píng)估采用RMSE（Root Mean Square Error，均方根誤差）評(píng)價(jià)。值得一提的是，算法仿真對(duì)于相關(guān)信源強(qiáng)度的建模采用的是自回歸（auto regression）過(guò)程，相關(guān)系數(shù)矩陣定義為：

式中α∈ [0,1]為相關(guān)系數(shù)。這種相關(guān)形式更接近實(shí)際的情況，實(shí)用性強(qiáng)。

首先，所提相干估計(jì)器的2D-DOA 估計(jì)的散點(diǎn)圖結(jié)果由圖2 給出，其中M=6，N=6，SNR=20 dB，L=1，α=1。可以清楚地看到，所有的參數(shù)都正確估計(jì)和自動(dòng)配對(duì)。結(jié)果表明，本文方案可提供信源2D-DOA 估計(jì)的閉式解。

圖2 所提出方法的散點(diǎn)結(jié)果

其次，圖3 中給出了信源2D-DOA 估計(jì)在不同信噪比下 的平均RMSE 性 能，其中M=6，N=6，L=500，α=1。為了突出本發(fā)明方案的可靠性，將本方案同Spatial-Smoothing（SS）算法[12]、ESPRIT-Like（ES-like）算法[22]、Polarization-Smoothing（PS）算法[13]以及URA 的克拉美羅界（標(biāo)記為CRB）進(jìn)行比較。顯然當(dāng)信噪比逐漸變大時(shí)，所有算法都會(huì)提供更好的RMSE 性能。然而，本文所提的方法的RMSE 比所有對(duì)比的算法更低，且在低信噪比時(shí)仍有較高精度，這表明本文方案能提供更精確的估計(jì)性能。

圖3 不同SNR下的估計(jì)性能

此外，圖4 還給出了不同采樣次數(shù)下的平均RMSE性能，其中M=6，N=6，SNR=16 dB，α=1。值得注意的是，當(dāng)采樣次數(shù)增加時(shí)，所有算法都會(huì)提供更好的RMSE 性能。然而，本文所提的方法的RMSE 比所有對(duì)比的算法更高，特別是在采樣次數(shù)較少時(shí)（如L＜10），這表明本文方案的實(shí)用性更強(qiáng)。

圖4 不同L下的估計(jì)性能

最后，本文對(duì)比了不同相關(guān)強(qiáng)度下的RMSE 性能，其中M=6，N=6，L=500，SNR=5 dB。從圖5 可以看出，在信號(hào)相關(guān)強(qiáng)度較低和較高時(shí)，即非相關(guān)信號(hào)和相干信號(hào)兩種場(chǎng)景下時(shí)，PM 都能保持穩(wěn)定的低RMSE，且在α＞0.4的條件下性能優(yōu)于現(xiàn)有的方案。

圖5 不同相關(guān)強(qiáng)度下的估計(jì)性能

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于矩陣重排的多徑背景下的2D-DOA 估計(jì)算法。不同于主流的空間平滑和極化平滑算法，矩陣重排通過(guò)將空域信息和極化域信息結(jié)合起來(lái)解決因相干信號(hào)而導(dǎo)致的秩虧問(wèn)題，并利用線性算子得到了一種高效的2D-DOA 測(cè)向方法，相信該算法在下一代移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)中利用毫米波大規(guī)模敏感陣列得到DOA估計(jì)方向上會(huì)有較大的作用。