摘要：從隨機(jī)變量的觀點(diǎn)看，線性回歸方程的推導(dǎo)實(shí)際上是根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量的兩組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，估計(jì)它們的相關(guān)關(guān)系。這就和根據(jù)一個(gè)隨機(jī)變量的一組數(shù)據(jù)建立模型，估計(jì)它的大小一樣，都是用實(shí)際的頻率估計(jì)理論的概率這樣的概率與統(tǒng)計(jì)“一體兩面”思想的體現(xiàn)。由此，可以推動(dòng)概率與統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)，并打通有關(guān)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。相應(yīng)的教學(xué)啟示有：區(qū)分不同情境下的數(shù)學(xué)建模；樹立由問題選擇方法的意識(shí)；強(qiáng)調(diào)技術(shù)進(jìn)步的重要性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；隨機(jī)變量；線性回歸模型；統(tǒng)計(jì)建模；概率與統(tǒng)計(jì)

本文系教育部人文社會(huì)科學(xué)研究2022年度規(guī)劃基金課題“‘雙減’政策落地的教師教學(xué)知識(shí)研究”（編號(hào)：22YJA88068）的階段性研究成果。

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來臨，統(tǒng)計(jì)的作用愈發(fā)明顯。順應(yīng)這種時(shí)代潮流，在高中數(shù)學(xué)課程中增加概率與統(tǒng)計(jì)主題的內(nèi)容是恰當(dāng)?shù)?。特別是統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，不應(yīng)被當(dāng)作一種應(yīng)試的知識(shí)來學(xué)習(xí)，而應(yīng)被當(dāng)作一種認(rèn)識(shí)世界的方法來學(xué)習(xí)。按照這種觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)教材中的線性回歸模型（方程）內(nèi)容，其處理方式，或者說其中應(yīng)該滲透的一些思想觀念，是可以進(jìn)一步考慮的。

各版高中數(shù)學(xué)教材在推導(dǎo)線性回歸方程（確定其中的參數(shù)）時(shí)，主要從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出發(fā)，采用高斯、勒讓德等數(shù)學(xué)家提出的最小二乘法。最小二乘法在解構(gòu)模型時(shí)，主要從誤差最小的角度考慮，這符合中學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和經(jīng)驗(yàn)。但是，這種處理方法沒有滲透隨機(jī)變量的思想，可能導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)了線性回歸方程后，仍然不知道如何用概率與統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看待復(fù)雜的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)問題中的隨機(jī)現(xiàn)象。

從隨機(jī)變量的觀點(diǎn)看，線性回歸方程的推導(dǎo)實(shí)際上是根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量的兩組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，估計(jì)它們的相關(guān)關(guān)系。這就和根據(jù)一個(gè)隨機(jī)變量的一組數(shù)據(jù)建立模型，估計(jì)它的大小一樣，都是用實(shí)際的頻率估計(jì)理論的概率這樣的概率與統(tǒng)計(jì)“一體兩面”思想［1］的體現(xiàn)，都有著最大可能性的意義［2］。

下面，用隨機(jī)變量的觀點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)與線性回歸模型有關(guān)的統(tǒng)計(jì)建模，以推動(dòng)概率與統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)，并打通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

一、 從隨機(jī)變量的觀點(diǎn)看單一數(shù)據(jù)的模型

科學(xué)研究始于測(cè)量，測(cè)量不可避免地存在誤差，誤差從根本上說是由隨機(jī)性導(dǎo)致的，因?yàn)槭澜缡请S機(jī)的［3］。于是，人們通常會(huì)通過多次測(cè)量，得到被測(cè)物體被測(cè)屬性的一組數(shù)據(jù)，然后取其平均值，當(dāng)作真實(shí)值（理論值）。為什么會(huì)建立平均值這個(gè)模型來估計(jì)？

如果把不準(zhǔn)確的、帶有隨機(jī)誤差的一組測(cè)量數(shù)據(jù)［設(shè)為xi（i=1，2，…，n）］看作被測(cè)物體被測(cè)屬性這個(gè)隨機(jī)變量（記為X）的多個(gè)取值，人們往往期望從中選取一個(gè)代表。這個(gè)代表要具有誤差最小的特點(diǎn)。于是，考慮總的測(cè)量誤差，它既可以表示為S=∑ni=1（X-xi）2（偏差平方和），也可以表示為S=∑ni=1|X-xi|（偏差絕對(duì)值和）。因?yàn)榻^對(duì)值不太好處理，所以選擇平方和的形式。由柯西不等式不難推得：當(dāng)X=1n∑ni=1xi時(shí)，S=∑ni=1（X-xi）2取最小值。同時(shí)，如果有兩組測(cè)量數(shù)據(jù)，要判斷哪一組數(shù)據(jù)更合理，則顯然應(yīng)該在兩個(gè)總測(cè)量誤差的基礎(chǔ)上消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響。順著這個(gè)思路，樣本的平均值x和隨機(jī)變量的期望E（X）自然被引入，樣本方差的定義s2=1n∑ni=1（xi-x）2和隨機(jī)變量方差的定義D（X）=E［X-E（X）］2的合理性也自然得到了解釋。同時(shí)，這里不難推出：s2=1n∑ni=1x2i-x2，D（X）=E（X2）-E2（X）。

總之，在隨機(jī)變量的觀點(diǎn)下，平均值（期望）是一組測(cè)量數(shù)據(jù)的最佳代表，方差則是衡量一組測(cè)量數(shù)據(jù)好壞的標(biāo)準(zhǔn)。而由單個(gè)隨機(jī)變量（單一數(shù)據(jù)）經(jīng)概率（統(tǒng)計(jì)）思想建立的期望（平均值）與方差模型，則是建立兩個(gè)隨機(jī)變量（成對(duì)數(shù)據(jù)）之間關(guān)系的模型的基礎(chǔ)。

二、 從隨機(jī)變量的觀點(diǎn)看成對(duì)數(shù)據(jù)的模型

（一） 判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否相關(guān)

事物之間存在著普遍的聯(lián)系?？茖W(xué)研究不只關(guān)心單個(gè)變量，更關(guān)心多個(gè)變量之間的關(guān)系。兩個(gè)變量相關(guān)主要表現(xiàn)為一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量也隨之變化。如果變化趨勢(shì)一致，即同增或同減，則兩個(gè)變量正相關(guān)；如果變化趨勢(shì)相反，即一個(gè)增另一個(gè)減，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)。隨機(jī)變量的理論值是其期望，隨機(jī)變量的變化可以看成圍繞期望產(chǎn)生的波動(dòng)——從統(tǒng)計(jì)的角度看，就是實(shí)際值對(duì)理論值的誤差。因此，判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否相關(guān)，需要綜合考慮兩個(gè)隨機(jī)變量圍繞各自期望產(chǎn)生的波動(dòng)（誤差）。

回頭來看教材給出的決定系數(shù)R2，代入b∧的估計(jì)公式，可以發(fā)現(xiàn)它就是相關(guān)系數(shù)的平方r2。從理論的角度看，即R2=r2=b2D（X）D（Y）。也就是說，決定系數(shù)（相關(guān)系數(shù)的平方）是（確定性視角下）因變量變化與自變量變化的比的平方（反映的是平方意義下的變化率）和（隨機(jī)性視角下）自變量方差與因變量方差的比（反映的也是平方意義下的變化率）的積。

由此，可以認(rèn)識(shí)到R2（r2）表示自（原因、解釋）變量對(duì)因（結(jié)果、預(yù)計(jì)）變量變化的貢獻(xiàn)率。比如，R2（r2）=0.64，表示因變量的變化（偏差）有64%是由自變量的變化（偏差）引起的。顯然，R2（r2）越接近1，越能說明自變量變化是引起因變量變化的重要原因。對(duì)此，反過來思考，更容易明白：如果無(wú)論自變量如何變化，因變量都“巋然不動(dòng)”，那么，這兩種因素之間就不存在相關(guān)（因果）關(guān)系了。

三、 教學(xué)啟示

“線性回歸模型”這種說法強(qiáng)調(diào)的是“模型”，而不是“方程”（“函數(shù)”），也就強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模，即具體的實(shí)踐研究，而不是抽象的理論研究。從數(shù)學(xué)建模的角度看，通過對(duì)“線性回歸模型”有關(guān)內(nèi)容的分析、挖掘、串聯(lián)，可以獲得以下幾點(diǎn)教學(xué)啟示。

（一） 區(qū)分不同情境下的數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言作用的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)建模還是一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)模型賦予意義的過程，各種變量、參數(shù)都有實(shí)際意義。這完全不同于純粹的數(shù)學(xué)研究，也是數(shù)學(xué)建模難以開展的原因之一。在教學(xué)中，應(yīng)區(qū)分不同情境下的數(shù)學(xué)建模。傳統(tǒng)意義下的數(shù)學(xué)建模更多地指建立確定性的數(shù)學(xué)模型，比如利用方程、函數(shù)等從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，最終解決問題。這種方法在物理等學(xué)科中有成功的應(yīng)用。與傳統(tǒng)意義下的數(shù)學(xué)建模不同，統(tǒng)計(jì)視角下的數(shù)學(xué)建模（統(tǒng)計(jì)建模）更多的是從問題、數(shù)據(jù)出發(fā)，建立的是非確定性的數(shù)學(xué)模型。因此，統(tǒng)計(jì)建模常常被稱為數(shù)據(jù)分析。傳統(tǒng)意義下的數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)先有研究設(shè)計(jì)，再通過數(shù)據(jù)驗(yàn)證研究設(shè)計(jì)的合理性；而統(tǒng)計(jì)建模更強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的分析，即先有數(shù)據(jù)，再有模型，而不是相反。比如，確定線性回歸模型時(shí)，先通過畫散點(diǎn)圖，看到點(diǎn)大致分布在一條直線附近，才提出用直線來擬合，而不先提出一個(gè)線性回歸模型，讓所有的點(diǎn)都適應(yīng)這個(gè)模型。

（二） 樹立由問題選擇方法的意識(shí)

數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)，所以，需要深刻把握數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，根據(jù)問題、數(shù)據(jù)選擇模型。比如，回歸分析處理的是定距變量之間的回歸關(guān)系，獨(dú)立性檢驗(yàn)處理的是分類變量之間是否相關(guān)。這樣，就可以讓學(xué)生看到是問題、數(shù)據(jù)的類型決定模型的選取，因而，把問題中涉及的概念轉(zhuǎn)化為操作性變量（視作隨機(jī)變量），再針對(duì)變量收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)特點(diǎn)、建立數(shù)學(xué)模型，這種程序非常重要。而要獲得好的數(shù)據(jù)，就要把研究問題細(xì)化為研究?jī)?nèi)容，針對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行精巧的設(shè)計(jì)，特別是，處理有關(guān)心理、教育、管理等人文社科領(lǐng)域的問題時(shí)，首先要把復(fù)雜的概念轉(zhuǎn)換成可測(cè)量的變量，獲得沒有污染的數(shù)據(jù)（視為隨機(jī)變量的取值），才能進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。按照這樣的要求，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的統(tǒng)計(jì)案例其實(shí)離真實(shí)的基于數(shù)據(jù)而展開的研究工作還有相當(dāng)?shù)木嚯x，離“適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的需要，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)；積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”［6］的要求也有相當(dāng)?shù)木嚯x。因此，強(qiáng)調(diào)“問題驅(qū)動(dòng)—數(shù)據(jù)收集—方法選擇”具有重要意義。

（三） 強(qiáng)調(diào)技術(shù)進(jìn)步的重要性

“數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是‘互聯(lián)網(wǎng)+’相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會(huì)生活的各個(gè)方面?！保?］計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展大大改變了統(tǒng)計(jì)學(xué)的面貌，統(tǒng)計(jì)學(xué)在機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能等方面得到了廣泛的應(yīng)用。教授中小學(xué)生算法、編程、計(jì)算思維和軟件操作是整個(gè)基礎(chǔ)教育課程應(yīng)通盤考慮的事情。

總之，把基礎(chǔ)教育做好，支持學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，并不是一句空話，關(guān)鍵在于深入挖掘具體知識(shí)背后的“本質(zhì)”、蘊(yùn)含的“思想”等，并且通過這些具有一致性的大概念充分串聯(lián)有關(guān)的知識(shí)，形成良好的結(jié)構(gòu)，以真正實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值，提升遷移能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］［2］［3］ 張勁松.認(rèn)識(shí)隨機(jī)，把握生活——《醉漢的腳步》閱讀感悟與教學(xué)啟示［J］.教育研究與評(píng)論，2022（8）：115，116，110.

［4］ 徐章韜.從比例系數(shù)到相似比、三角函數(shù)——教育數(shù)學(xué)研究之八［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（3）：59.

［5］ 鄭毓信.數(shù)學(xué)教育及教育數(shù)學(xué)的幾點(diǎn)散思——“數(shù)學(xué)教育雜談”之七［J］.教育研究與評(píng)論，2022（9）：23.

［6］［7］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：7，7.