張慧峰 鄒德旋 劉樹趙 李夢(mèng)迪

摘? 要： 提出一種融合反向?qū)W習(xí)和黃金正弦的改進(jìn)粒子群算法。通過反向?qū)W習(xí)策略優(yōu)化初始種群的質(zhì)量，提高算法的收斂速度；結(jié)合黃金正弦算法優(yōu)化位置更新公式，并通過雙面鏡理論處理邊界外的粒子，使粒子在搜索空間內(nèi)分布更均勻，增強(qiáng)算法的搜索能力；利用柯西變異的方法對(duì)全局最優(yōu)粒子的位置進(jìn)行擾動(dòng)，提高粒子跳出局部最優(yōu)的能力。對(duì)8個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與其他的五種算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明，本文改進(jìn)之后的粒子群優(yōu)化算法有著更快的收斂速度和更高的尋優(yōu)精度。

關(guān)鍵詞： 粒子群算法； 反向?qū)W習(xí)； 黃金正弦算法； 雙面鏡理論； 柯西變異

中圖分類號(hào)：TP391? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2023）04-48-05

Abstract： Aiming at the shortcomings that particle swarm optimization is easy to fall into local optimum and the search accuracy is not high， an improved particle swarm optimization algorithm combining opposition-based learning and golden sine is proposed. The quality of the initial population is optimized by the opposition-based learning strategy to improve the convergence speed of the algorithm. The golden sine algorithm is used to optimize the position updating formula of the algorithm， and the particles outside the boundary are processed with the double-faced mirror theory to make the particles more evenly distributed in the search space and enhance the search ability of the algorithm. Finally， the Cauchy mutation method is used to perturb the position of the global optimal particle to improve the ability of particles to jump out of the local optimum. Eight test functions are tested and compared with other five algorithms. The results show that the improved particle swarm optimization algorithm has faster convergence speed and higher optimization accuracy.

Key words： particle swarm optimization; opposition-based learning; golden sine algorithm; double-faced mirror theory; Cauchy mutation

0 引言

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization， PSO）于1995年由Kennedy和Eberhart提出，是一種模擬鳥群覓食行為而發(fā)展起來的集群體協(xié)作和信息共享的群體智能優(yōu)化算法[1]。具有參數(shù)較少、操作簡(jiǎn)單、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度、工程技術(shù)的優(yōu)化和最優(yōu)控制等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。但是在粒子群算法的搜索后期，由于種群多樣性的降低，算法容易面臨局部最優(yōu)的問題，從而影響尋優(yōu)效果。

為了解決上述問題，針對(duì)粒子群算法的改進(jìn)主要在于以下幾方面：算法的參數(shù)調(diào)整、學(xué)習(xí)策略、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、結(jié)合其他優(yōu)化算法。Shahgholian等[2]采用改進(jìn)的自適應(yīng)慣性權(quán)重的方法，平衡算法的全局開發(fā)能力和局部搜索能力。蘇攀等[3]在初始化種群時(shí)，引入Logistic混沌映射，提高了初始種群的質(zhì)量，優(yōu)化了算法的性能。Zou等[4]對(duì)粒子進(jìn)行柯西變異，利用柯西分布的特性來提高種群的多樣性，降低了粒子群算法陷入局部最優(yōu)的可能性。梁田等[5]利用了萊維飛行策略來改進(jìn)算法的位置更新公式，能有效地幫助粒子逃離局部最優(yōu)。Lu等[6]提出了一種自適應(yīng)模擬退火粒子群優(yōu)化算法，結(jié)合退火操作，提高了算法尋找最優(yōu)解的能力。

以上的改進(jìn)策略在一定程度上提高了粒子群優(yōu)化算法的性能，但依舊有所不足。為了增強(qiáng)算法的搜索能力，提高種群多樣性，本文提出了一種融合反向?qū)W習(xí)和黃金正弦算法的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法（IPSO）。采用反向?qū)W習(xí)策略優(yōu)化初始種群，提升收斂速度；結(jié)合黃金正弦算法更新個(gè)體的位置，能有效提升算法的局部搜索和全局開采能力；結(jié)合雙面鏡反射理論，處理超出邊界之外的個(gè)體，使其均勻地分布在邊界內(nèi)；利用柯西變異策略，對(duì)最優(yōu)個(gè)體的位置進(jìn)行擾動(dòng)，提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。

1 基本粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法屬于進(jìn)化算法的一種，通過適應(yīng)度值來評(píng)價(jià)解的品質(zhì)，追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來更新個(gè)體[7]?；玖Ｗ尤簝?yōu)化算法的步驟主要有以下幾步。

步驟1 初始化種群，給定算法的各個(gè)參數(shù)。

步驟2 通過已有的目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值。

步驟3 更新個(gè)體的速度和位置。更新公式：

步驟4 更新個(gè)體最佳位置和群體最佳位置。并判斷是否滿足終止迭代條件，若滿足，則停止并輸出最終結(jié)果；若不滿足，則返回繼續(xù)執(zhí)行算法。

2 融合反向?qū)W習(xí)與黃金正弦算法的改進(jìn)粒子群算法

2.1反向?qū)W習(xí)策略

進(jìn)化算法的執(zhí)行時(shí)間與初始種群中個(gè)體和最優(yōu)個(gè)體的距離有關(guān)，若是個(gè)體在最優(yōu)位置附近產(chǎn)生，那么此次迭代過程中種群會(huì)快速地收斂。隨機(jī)生成的個(gè)體，它的收斂速度是未知的，若是考慮其反向個(gè)體[8]，那么個(gè)體更靠近最優(yōu)粒子的概率和反向個(gè)體更靠近最優(yōu)粒子的概率都是50%，選擇更靠近最優(yōu)粒子的個(gè)體放入初始種群中，這樣初始種群的質(zhì)量得到提高，算法的收斂速度得到提升。反向個(gè)體的計(jì)算公式：

其中，[X]是隨機(jī)產(chǎn)生的個(gè)體位置，[X]是反向個(gè)體的位置，lb和ub分別是搜索范圍的邊界。

初始化種群的具體步驟為：

步驟1 隨機(jī)生成種群大小為N的種群IP；

步驟2 通過公式⑶生成每個(gè)個(gè)體的反向個(gè)體，組成反向種群OP；

步驟3 計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度值，按照從大到小的方式排序，選取適應(yīng)度值靠前的N個(gè)個(gè)體組成參與優(yōu)化的初始種群。

2.2 位置更新方式改進(jìn)

⑴ 黃金正弦算法

Tanyildizi于2017年提出了黃金正弦算法（Golden Sine Algorithm，Golden-SA）[9，10]。根據(jù)正弦函數(shù)和單位圓的關(guān)系，黃金正弦算法可以遍歷正弦函數(shù)上所有的點(diǎn)，對(duì)整個(gè)單位圓的掃描類似于優(yōu)化問題中對(duì)空間的搜索。同時(shí)，在搜索的過程中使用黃金分割法以便掃描產(chǎn)生較好結(jié)果的區(qū)域，縮小搜索空間，既能提高收斂速度，也能夠平衡全局搜索能力和局部搜索能力，提高求解的精度。

融合黃金正弦算法的位置更新公式⑷如下：

式⑸、式⑹中，[τ]是黃金分割數(shù)，取值為[1-5/2]，a和b是黃金分割搜索方法的范圍，文中[a=2-2（2?t）/T]，b的值為1。

⑵ 雙面鏡反射理論邊界優(yōu)化

一般優(yōu)化算法處理超出邊界的個(gè)體時(shí)，會(huì)直接賦予個(gè)體上邊界或下邊界的值，這也導(dǎo)致了解在邊界處聚集，在其他區(qū)域分布稀疏。算法的個(gè)體分布不均，也會(huì)直接影響算法的性能。

一般優(yōu)化算法在處理邊界問題時(shí)的方法如下：

其中，y是邊界處理后的個(gè)體的位置，ub是上邊界，lb是下邊界，通過公式⑺將所有超出邊界的個(gè)體投影至邊界上。

本文采用的雙面鏡反射邊界處理方法[11]，把上下邊界ub、lb當(dāng)作兩面鏡子，y當(dāng)作傳播的光束，y的大小為光強(qiáng)。光束經(jīng)過多次反射后，由于中間介質(zhì)損耗，最終在邊界內(nèi)的[y']處消失，如圖1所示。因此，[y']就是y在邊界內(nèi)的投影。通過此方法，可以有效解決邊界處理時(shí)分布不均的問題。

雙面鏡反射邊界處理方法為公式⑻：

2.3 柯西變異

在算法的迭代后期，由于種群多樣性的減少，粒子群優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)。本文采用柯西變異[12]對(duì)最優(yōu)粒子的位置進(jìn)行擾動(dòng)，提高其跳出局部最優(yōu)的能力。如圖2所示，相比于高斯變異，柯西變異的兩端有著更長(zhǎng)的分布，這增加了種群個(gè)體之間的差異性，使算法有更大的可能跳出局部最優(yōu)。同時(shí)，柯西分布的峰值相較于高斯分布的峰值更小，這意味著在搜索空間的時(shí)候，柯西變異所花費(fèi)的時(shí)間更少。

個(gè)體變異的概率計(jì)算：

其中，[w2，w1]取值分別為0.5和0.1，T為最大迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)。

個(gè)體最優(yōu)位置擾動(dòng)由公式⑽計(jì)算而來：

其中，[Gbest]為當(dāng)前群體最優(yōu)位置，[Gbest]為經(jīng)柯西變異后的群體最優(yōu)位置，[rCauchy]為柯西隨機(jī)數(shù)，通過公式⑾計(jì)算而來。通過適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算變異后的群體最優(yōu)粒子的適應(yīng)度，與原本的群體最優(yōu)粒子的適應(yīng)度作對(duì)比，若是效果更好，則保留；反之，則舍棄，保持原本的結(jié)果。

2.4 算法實(shí)現(xiàn)

算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1 初始化參數(shù)。包括種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)T，維度D，搜索空間的上下邊界ub和lb，速度限制Vmax和Vmin；

步驟2 隨機(jī)生成一個(gè)種群IP，利用反向?qū)W習(xí)策略生成它的反向種群OP，計(jì)算IP與OP中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度并排序，選擇排名靠前的N個(gè)個(gè)體組成初始種群；

步驟3 結(jié)合黃金正弦算法對(duì)粒子群優(yōu)化算法的位置更新公式進(jìn)行改進(jìn)，利用雙面鏡反射原理，處理超出邊界之外的個(gè)體；

步驟4 通過柯西變異策略對(duì)群體最優(yōu)位置進(jìn)行擾動(dòng)，計(jì)算擾動(dòng)之后的適應(yīng)度，若得到的結(jié)果更好，則替換原本的群體最優(yōu)；否則，保持原本的結(jié)果；

步驟5 更新個(gè)體最優(yōu)與群體最優(yōu)的位置；

步驟6 判斷算法是否滿足終止條件，若滿足，則停止算法，輸出最終結(jié)果；若不滿足，則返回步驟2。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 基本測(cè)試函數(shù)

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，選取8個(gè)不同特性的基本測(cè)試函數(shù)，與粒子群優(yōu)化算法（PSO）、均值粒子群優(yōu)化算法（MPSO）[13]、基于競(jìng)爭(zhēng)學(xué)習(xí)的粒子群優(yōu)化算法（CLPSO）[14]、一種自適應(yīng)模擬退火粒子群算法（ASAPSO）[15]和具備自糾正和逐維學(xué)習(xí)能力的粒子群算法（SCDLPSO）[16]在30維、60維、100維不同維度上進(jìn)行對(duì)比。8個(gè)測(cè)試函數(shù)的詳細(xì)信息如表1所示。其中，[f1、f2、f3、f4、f5]是單峰函數(shù)，主要用于檢驗(yàn)改進(jìn)之后算法的收斂性能和尋優(yōu)性能；[f6、f7、f8]是多峰函數(shù)，目的是檢驗(yàn)算法逃離局部最優(yōu)的能力。

3.2 參數(shù)設(shè)置

本文采用Matlab軟件進(jìn)行仿真，每個(gè)算法設(shè)置相同的種群規(guī)模[N=30]，最大迭代次數(shù)[T=500]，維度D分別為30維、60維、100維，其余參數(shù)與原文保持一致，具體可見表2。每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行50次，取其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差兩項(xiàng)數(shù)據(jù)作對(duì)比，來評(píng)價(jià)算法的性能，具體見表3。為了更直觀地展示每個(gè)算法的優(yōu)劣，圖3～圖8給出了在[D=60]時(shí)，各個(gè)算法求解8個(gè)測(cè)試函數(shù)時(shí)的適應(yīng)度曲線。

3.3 與其他算法對(duì)比

從表3可以看出，當(dāng)維度是30時(shí)，在[f1、f2、f3、f4、f5]這幾個(gè)單峰函數(shù)測(cè)試上，IPSO算法的尋優(yōu)能力優(yōu)于其他5個(gè)對(duì)比算法，并且在[f1、f2、f3、f4]上有著不小提升；在[f6、f7、f8]這幾個(gè)多峰函數(shù)上， IPSO算法的搜索結(jié)果也都是最優(yōu)秀的，且在函數(shù)[f6、f7、f8]上都能尋找到最優(yōu)解。結(jié)合圖3至圖8可以看出，當(dāng)維度是60維時(shí)，相比于其余5種算法，IPSO算法在每一個(gè)測(cè)試函數(shù)上性能依舊都是最優(yōu)的。IPSO算法在[f6、f7、f8]這幾個(gè)函數(shù)上尋得最優(yōu)值的同時(shí)，收斂速度也更快，收斂性也更好。當(dāng)維度是100維時(shí)，多峰函數(shù)的局部極小值會(huì)隨著維度的增加而增加，相應(yīng)的求解難度也會(huì)增加，但I(xiàn)PSO算法仍然在這六種算法中保持著最佳的尋優(yōu)能力。從表3數(shù)據(jù)看，無(wú)論是對(duì)比平均值還是標(biāo)準(zhǔn)差，IPSO算法都證明了其優(yōu)秀的求解能力和較強(qiáng)的穩(wěn)定性，再結(jié)合仿真圖，不難看出在保證搜索精度的同時(shí)，算法也有著很好的收斂性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)原始粒子群算法的缺陷，提出一種融合反向?qū)W習(xí)和黃金正弦的改進(jìn)粒子群算法。算法利用反向?qū)W習(xí)策略優(yōu)化初始種群，引入黃金正弦算法改進(jìn)位置更新公式，并結(jié)合雙面鏡反射理論處理邊界問題，同時(shí)，采用柯西變異方法對(duì)最優(yōu)位置進(jìn)行擾動(dòng)。通過對(duì)八個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)仿真實(shí)驗(yàn)，證明改進(jìn)之后的粒子群算法，在面對(duì)低維度和較高維度的問題時(shí)，其在收斂速度和尋優(yōu)精度方面都有著良好的性能。在接下來的研究中，可以將改進(jìn)算法應(yīng)用在復(fù)雜的優(yōu)化問題當(dāng)中，擴(kuò)展本文算法的應(yīng)用領(lǐng)域。

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*基金項(xiàng)目：江蘇師范大學(xué)2022年度研究生科研與實(shí)踐創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目“一種用于熱電聯(lián)產(chǎn)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度的改進(jìn)粒子群算法研究”（2022XKT0186）

作者簡(jiǎn)介：張慧峰（1999-），男，江蘇省鹽城市人，碩士研究生，主要研究方向：群體智能優(yōu)化算法。

通訊作者：鄒德旋（1982-），男，遼寧省大連市人，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要研究方向：數(shù)字圖像處理、最優(yōu)化的算法研究。