崔德全

山東省菏澤市定陶區(qū)第一中學(xué)

三角函數(shù)式的化簡與求值一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)基本考點(diǎn)，或單獨(dú)設(shè)置問題考查，或交匯融合其他知識輔助考查，或作為基本過程合理過渡，常考常新，變化多端，形式各樣；而且由于三角函數(shù)中公式眾多，切入點(diǎn)多維，破解方法多樣，對邏輯推理與代數(shù)運(yùn)算的能力與素養(yǎng)要求比較高，是考查考生綜合能力和核心素養(yǎng)的良好載體.

1 真題呈現(xiàn)

2 真題剖析

該題條件簡單，短小精悍，難度適中，以三角函數(shù)中單角的正切值為條件，通過單角、倍角的三角函數(shù)式的求值來巧妙設(shè)置，綜合考查三角恒等變換、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等相關(guān)基礎(chǔ)知識.

正確進(jìn)行三角函數(shù)求值的關(guān)鍵就是化同角，巧變換，妙求值.具體破解時(shí)，可以通過三角關(guān)系式的齊次化策略、統(tǒng)一化策略、各個(gè)擊破策略以及定義化策略等思維方式來處理，結(jié)合不同的思維方法來處理與求值，很好地考查學(xué)生對三角函數(shù)綜合知識的理解與掌握程度，進(jìn)一步強(qiáng)化思維的靈活性、多樣性、拓展性等.

3 真題破解

方法1：齊次化策略

解析：由tanθ=-2，得

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：由題意利用二倍角公式化簡所給的三角函數(shù)式，然后利用齊次式的特征進(jìn)行除“1”的齊次化處理，利用分式的分子分母同除相應(yīng)的余弦二次式，轉(zhuǎn)化為含有正切的關(guān)系式，代入即可求得三角函數(shù)式的值.齊次化處理，兩次化“1”處理，以及同除變形，是破解此類問題最常用的技巧方法.

方法2：統(tǒng)一化策略.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：利用題目條件中的正切值轉(zhuǎn)化為正弦與余弦之間的關(guān)系，代入平方關(guān)系得到余弦的平方值，結(jié)合所求的三角關(guān)系式統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為余弦表達(dá)式，代入余弦的平方值即可求得三角函數(shù)式的值.借助條件與平方關(guān)系確定余弦的平方值，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化，化同名變形，巧妙代換處理，簡捷有效.

方法3：分類討論策略.

=sinθ(sinθ+cosθ).

①

由tanθ=-2<0，可得θ的終邊在第二象限或第四象限.

點(diǎn)評：利用題目條件中的正切值為負(fù)，確定角θ所在的象限，通過分類討論，分別確定對應(yīng)角在相應(yīng)象限內(nèi)的正弦值與余弦值;代入分別求值，進(jìn)而求得三角函數(shù)式的值.根據(jù)題目條件確定對應(yīng)角的三角函數(shù)值，是破解三角函數(shù)求值中問題最常見的思維方式，必須借助角的不同象限進(jìn)行分類討論.

方法4：整體化策略.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：不分別計(jì)算正弦與余弦值，而是把正弦的平方以及正弦與余弦的乘積分別作為一個(gè)整體求值.整體化求值避免了分類討論，更加有效快捷.

方法5：定義化策略.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：結(jié)合三角函數(shù)的定義，利用題目條件中的正切值轉(zhuǎn)化為參數(shù)y與x的關(guān)系式，進(jìn)而確定正弦值及余弦值與r的關(guān)系式；由題意利用二倍角公式化簡所給的三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)定義代入，并對參數(shù)進(jìn)行變形與化簡，即可求得三角函數(shù)式的值.定義化破解三角函數(shù)問題，回歸問題本質(zhì)，也是破解三角函數(shù)求值問題中比較常見的一類技巧策略.

4 變式拓展

探究角度：改變問題的給出方式，變原來“tanθ=-2”為“角θ的終邊落在直線y=-2x上”，間接處理，可以進(jìn)一步融合相關(guān)數(shù)學(xué)知識，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識的理解與掌握以及數(shù)學(xué)能力的提升.

5 教學(xué)啟示

(1)在掌握常規(guī)破解方法的基礎(chǔ)上適度拓展

涉及三角函數(shù)式的化簡或求值問題，相關(guān)公式眾多，關(guān)系錯綜復(fù)雜，有利有弊.有利的一面是可以多角度多層面選擇三角函數(shù)的相應(yīng)公式加以應(yīng)用；有弊的一面是容易陷入三角函數(shù)的相應(yīng)公式無從選擇的困境.因此，在這部分的教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，除了要熟練掌握破解此類問題的常規(guī)方法外，還要有針對性地適度拓展對其他一些思維方法的理解與掌握，以防不時(shí)之需.

(2)回歸課本，挖掘潛能

充分回歸課本，挖掘課本的基本知識，有效拉近課本與高考之間的距離，架起兩者之間的橋梁，是平時(shí)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)的一個(gè)關(guān)鍵所在.特別要有意識地針對一些典型高考真題，就某一層面的知識體系加以“一題多解”“一題多變”“多題一解”等方面的剖析，結(jié)合課本基本知識與基本方法，從多個(gè)視角切入，到多個(gè)思維方法破解，真正達(dá)到“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的境界.Z