構(gòu)造微分方程組的線性哈密頓結(jié)構(gòu)

吳 俊，章 海

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

在經(jīng)典力學(xué)中，有限自由度的力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程通?？梢员硎緸槔窭嗜樟縇=T-U的歐拉-拉格朗日方程，其中，T表示動(dòng)能，U表示勢(shì)能。運(yùn)動(dòng)方程也可以用哈密頓方程形式表示，即={f,H}，其中，f是相空間上的任意不顯含時(shí)間的函數(shù)，{,}是泊松括號(hào)，H是系統(tǒng)的哈密頓量，常對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的總能量，但也有反例[1-2]。哈密頓量通?？赏ㄟ^(guò)勒讓德變換從拉格朗日量獲得。一個(gè)給定的力學(xué)系統(tǒng)有無(wú)窮多個(gè)哈密頓量，它們不需要從拉格朗日量推導(dǎo)出。對(duì)于每一個(gè)選定的哈密頓量，都有無(wú)窮多個(gè)泊松括號(hào)使得哈密頓正則方程等價(jià)于系統(tǒng)的原始運(yùn)動(dòng)方程[3-5]。

本文展示了辛結(jié)構(gòu)在構(gòu)造微分方程的哈密頓結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，對(duì)于給定的守恒量可以當(dāng)作哈密頓量，且通過(guò)求解辛結(jié)構(gòu)滿足的充分必要方程可以得到適當(dāng)?shù)男两Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以構(gòu)造出系統(tǒng)的一組正則變量，從而得到力學(xué)系統(tǒng)的新的哈密頓量。利用勒讓德變換得到系統(tǒng)拉格朗日量，從而把原始微分方程表示為變分問(wèn)題的歐拉-拉格朗日方程。Torres del Castillo在哈密頓系統(tǒng)專(zhuān)著[6]中闡述了辛結(jié)構(gòu)與哈密頓正則變換的密切關(guān)系，[7]研究了可積哈密頓系統(tǒng)辛積分算法的數(shù)值不變環(huán)面。

本文具體介紹了辛結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)，揭示了辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)之間的密切關(guān)系；同時(shí)考慮了四類(lèi)具體的微分方程，在知道守恒量后尋找適配的辛結(jié)構(gòu)和正則變量，從而得到系統(tǒng)的哈密頓表示和拉格朗日表示。此外，對(duì)于幾個(gè)可積系統(tǒng)，本文推導(dǎo)了額外守恒量在正則坐標(biāo)下的表達(dá)式。

1 辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)

自由度為n的系統(tǒng)可由廣義坐標(biāo)q=(q1,q2,q3…,qn)和廣義動(dòng)量p=(p1,p2,p3…,pn)來(lái)描述，這些變量的全體構(gòu)成了系統(tǒng)的相空間{(q,p) }。通常相空間是位形空間M={q}的余切從T*M[6]。在T*M上坐標(biāo)(q,p)下，β=dpi∧dqi為T(mén)*M上的一個(gè)辛形式，于是T*M具有一個(gè)辛結(jié)構(gòu)，其中(T*M,β)為辛流形。正則變換保持相空間的辛形式不變[8-11]。在正則坐標(biāo)下，哈密頓方程形式如

式中H為力學(xué)系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)。如果（1）式右側(cè)不顯含時(shí)間，那么可以假設(shè)函數(shù)H不明顯地依賴(lài)于時(shí)間，則利用方程式（1）和求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒傻?0，可見(jiàn)H是系統(tǒng)的一個(gè)守恒量。

類(lèi)似地，對(duì)于任意可微函數(shù)f=f(qi,pi)，有

這里{ ·,· }是泊松括號(hào)。如果xμ(μ=1,2,3,…,2n)是相空間的任意坐標(biāo)系，則兩個(gè)任意函數(shù)f和g的泊松括號(hào)表示如

泊松括號(hào)滿足Jacobi恒等式，即對(duì)于相空間上任意函數(shù)φ,ψ,χ，有

通過(guò)方程（2）和（3）可得

從方程（4）可以看出，τμν是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣，即τμν=-τνμ，必須服從非線性偏微分方程（5）。若取坐標(biāo)為正則坐標(biāo)(x1,x2,x3,…,x2n)=(q1,q2,q3,…qn,p1,p2,p3,…,pn)，則矩陣

為標(biāo)準(zhǔn)辛矩陣，其中I是n階單位矩陣，此時(shí)方程（5）也成立。另一方面，根據(jù)達(dá)布定理，如果τμν是一個(gè)滿足方程（5）的非奇異反對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正則坐標(biāo)使得τμν具有（7）的形式[12]。如果2n×2n矩陣(τμν)可逆，其逆矩陣(ωμν)也是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)可逆矩陣，則方程（5）等價(jià)于下列偏微分方程：

任何滿足這些條件的矩陣(ωμν)都是一個(gè)辛結(jié)構(gòu)，則哈密頓方程等價(jià)于

在力學(xué)中，通常可以借助于勒讓德變換來(lái)實(shí)現(xiàn)由力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日量得到系統(tǒng)的哈密頓量。換一種觀點(diǎn)看，力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)守恒量可以當(dāng)作哈密頓函數(shù)，再適當(dāng)?shù)囟x泊松括號(hào)即辛結(jié)構(gòu)，就可以得到系統(tǒng)的哈密頓表示。進(jìn)一步可以構(gòu)造系統(tǒng)在這種辛結(jié)構(gòu)下的共軛正則變量，并用正則變量來(lái)表示系統(tǒng)的哈密頓量和拉格朗日量。

2 構(gòu)造四維系統(tǒng)的線性哈密頓結(jié)構(gòu)

2.1 中心力場(chǎng)中的粒子

考慮微分方程

其中，ε是任意常數(shù)，V(x)是任意可微函數(shù)。取相空間上的函數(shù)

其使用了演化方程（10）。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)上述方程的一組特解為

上述常值解亦滿足條件（8）中的偏微分方程。此外，對(duì)于任意的ε值，由方程（13）給出的反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)是非退化的，計(jì)算得到它的逆矩陣是

這意味著在原坐標(biāo)下所有不為零的泊松括號(hào)是

從而也可以得到系統(tǒng)（10）的變分表示。通過(guò)勒讓德變換，系統(tǒng)（10）的拉格朗日函數(shù)是

將上述拉格朗日量代入歐拉-拉格朗日方程，即可得到方程（10）的等價(jià)運(yùn)動(dòng)方程。

2.2 坐標(biāo)分離型系統(tǒng)

考慮運(yùn)動(dòng)方程（ε是任意常數(shù)）：

物理上這是雙擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。取函數(shù)

通過(guò)觀察可以得到上述方程的一組特解：

其也滿足方程（8）中的偏微分方程。由方程（19）給出的反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)是非退化矩陣，其逆矩陣是

可見(jiàn)在相空間坐標(biāo)下所有不為零的泊松括號(hào)為

顯然(x,y,px,py)不是辛結(jié)構(gòu)(ωμν)的正則坐標(biāo)?？梢则?yàn)證下述這組變量：

構(gòu)成辛結(jié)構(gòu)(ωμν)的正則坐標(biāo)，其中Q1和P1，Q2和P2分別是兩對(duì)共軛變量。在正則坐標(biāo)下哈密頓量（17）表示為H=-εP1P2-cos2πQ1-cos2πQ2。

通過(guò)勒讓德變換可推得相應(yīng)的拉格朗日量，即

將L代入歐拉-拉格朗日方程，即可得到原方程（16）。

2.3 具有四次多項(xiàng)式勢(shì)能的系統(tǒng)

考慮下述帶有四個(gè)任意參數(shù)的微分方程組：

其中a，b，c，ε是任意參數(shù)。取函數(shù)

可驗(yàn)證此函數(shù)H是方程的一個(gè)守恒量。同樣設(shè)(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py)，則方程（9）即為

通過(guò)觀察，可知上述方程有一組特解為

其自然滿足方程（8）。對(duì)于任意的ε值，反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)非退化，其逆矩陣是

2.4 一個(gè)具有超越守恒量的可積系統(tǒng)

考慮方程（ε是任意常數(shù)）：

同樣記變量(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py)，根據(jù)方程（9）可以得

上述方程有一組特解ω12=0，ω13=-，ω14=-，ω23=-，ω24=0，ω34=0，這組解也滿足方程（8）。反對(duì)稱(chēng)矩陣(ωμν)非退化，其逆矩陣為

由此得到相空間坐標(biāo)下不為零的泊松括號(hào)是{x,py}=2，{y,px}=3，{y,py}=-ε，顯然(x,y,px,py)不是辛結(jié)構(gòu)(ωμν)的正則坐標(biāo)，變量Q1=x，Q2=y，P1=構(gòu)成一組正則坐標(biāo)。利用它們可以將方程（26）的哈密頓量表達(dá)為

方程（26）的哈密頓量（27）屬于常規(guī)的動(dòng)能加勢(shì)能類(lèi)型，即自然型系統(tǒng)。此系統(tǒng)超可積，具有兩個(gè)額外守恒量，只能用拋物柱面函數(shù)來(lái)表示。對(duì)于方程[14]y″(x)+=0，兩個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)解是朗斯基行列式W+(a,x)，W-(a,x)=W+(a,-x)，其中W+和W-的朗斯基行列式等于1，方程中的W′+表示對(duì)px的微分，E表示哈密頓函數(shù)H。它的兩個(gè)額外守恒量是

同樣可利用上述定義的辛結(jié)構(gòu)的正則坐標(biāo)來(lái)表示系統(tǒng)（26）的額外守恒量，即（28）和（29）的守恒量

3 結(jié)論

ROUBTSOV等[15]和HOLM[16]介紹了泊松結(jié)構(gòu)和辛結(jié)構(gòu)、矩映射、哈密頓作用，還討論了相空間約化和泊松-李結(jié)構(gòu)，這些與可積系統(tǒng)都有密切聯(lián)系。給定一個(gè)n自由度的力學(xué)系統(tǒng)，至少存在(2n-1)個(gè)獨(dú)立的（局部）運(yùn)動(dòng)積分。本文對(duì)幾類(lèi)運(yùn)動(dòng)方程尋找首次積分，適當(dāng)定義相空間的辛結(jié)構(gòu)，并得到系統(tǒng)的哈密頓量。然后通過(guò)勒讓德變換找到系統(tǒng)的拉格朗日量，本文方法構(gòu)造系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵，辛結(jié)構(gòu)要滿足復(fù)雜的偏微分方程組（8）。這組方程的制約是研究工作的難點(diǎn)，也是今后進(jìn)一步調(diào)查研究的一個(gè)方向。