黃麗麗(福建省廈門市實驗中學小學部 361100)

模型可以用來解決一類問題,是數(shù)學應用的基本途徑。小學數(shù)學建模一般要經(jīng)過五個環(huán)節(jié),即:模型準備(從生活情境中抽象出一個比較清晰的數(shù)學問題)——模型假設與驗證(針對問題特點和建模目的作出假設,并予以驗證)——模型求解與確立(運用適當?shù)臄?shù)學工具,進行數(shù)學抽象,確定數(shù)學結構)——模型解釋與應用(用數(shù)學模型解決實際問題,用數(shù)學語言刻畫實際問題)——模型拓展(適度生成、派生新模型)。其中,模型準備是學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,模型假設、求解等是學生用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,模型解釋應用環(huán)節(jié)是學生用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界。

一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系,各種數(shù)學公式、各種方程以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)等,都可稱之為數(shù)學模型。如“1重2移3畫4標”簡單幾個字就是畫高的步驟,也可以說是畫高方法的模型。如果把數(shù)學課按類型進行分類,有概念課、計算課、圖形課、解決問題課、規(guī)律課等,每種課型都有其模型。小學數(shù)學的概念課很多,有數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念等,它們互相聯(lián)系,是構成小學數(shù)學基礎知識的重要組成部分。概念教學往往比較抽象,教師應引導學生從身邊的數(shù)學問題著手,根據(jù)所要解決的現(xiàn)實問題,將這個問題當中的特征抽象出來,作為概念進行理解和應用。這其實就是將現(xiàn)實數(shù)學問題概括抽象為數(shù)學模型,讓學生感悟數(shù)學與生活之間的緊密聯(lián)系,培養(yǎng)學生的模型意識與抽象概括能力。

一、生活材料助力概念建模

教材描述概念的語句較為枯燥,有的距離學生生活較遠,學生接受起來往往較為困難,因此教師要適時變更教材,提供合適的學習材料,使學生能夠自然參與概念的生成過程,了解知識的來龍去脈,這有利于培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題和探究新事物的能力。

以四年級下冊“小數(shù)的意義”這節(jié)概念課為例。教材給出的是大段的文字,在以往的教學中,教師往往牽著學生亦步亦趨地開展一問一答式的教學活動,這種教學方式使學生的思維受阻,并沒有真正地體現(xiàn)小數(shù)的內(nèi)涵。教師不妨拋開教材,為學生提供一些真實情境的學習材料,如一瓶木糖醇高度約1dm,拇指寬約1cm,一支鋼筆長約15cm,一顆花生重約1g,一個雞蛋重約45g,一包小零食的價格為5角……小組合作任選一個數(shù)量,將其用一個分數(shù)和一個小數(shù)表示出來。給學生充足的時間觀察分析探討,之后匯報交流:將1m 平均分成10份,1dm 是它的,就是m,即0.1m;1m 平均分成100份,1cm 是它的,就是m,即0.01m;15cm 是1m 的,就是m,即0.15m;1g 是1kg的,就是kg,即0.001kg;45 克是1kg的,就是kg,即0.045kg;5 角是1元的,就是元,即0.5元……學生在對學習材料進行整理、轉化、分享及評價中發(fā)現(xiàn),將數(shù)改寫成分數(shù)或小數(shù)時,需將低級單位所對應的高級單位按進率進行平均分,再取其中的一份或幾份。待學生理解了轉化的原理之后,再讓學生將以上物品分類并說說自己的發(fā)現(xiàn)。學生可以按分母不同分為三類,也可以按小數(shù)位數(shù)進行分類。再對比觀察不難得出結論:分母是10、100、1000……的分數(shù)都可以用小數(shù)表示,一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾……這就是小數(shù)的意義。至此,小數(shù)的概念模型建立。學生通過自主學習、探究學習、合作學習等多種學習方式完成了對小數(shù)的認識和理解。真實情景中的學習材料幫助學生真實學習,助力小數(shù)概念模型的建構。

教師要從學生身邊入手創(chuàng)設真實情境,幫助學生更好地理解概念。如在學習一年級下冊“認識人民幣”時,教師可為學生提供合適的學幣,采用項目式學習方式來助力人民幣概念建模。在課堂上,同桌之間相互介紹認識的人民幣,了解人民幣的特征以及辨認方法。其次,小組合作對人民幣進行簡單分類,在分類中認識人民幣的單位元角分。教師再適時介紹“元”的由來,豐富學生對人民幣的認識。課下學生走進超市,調查商品價格,讀懂小數(shù)表示的價錢,進行商品價格的比較與計算。通過了解不同物品的價格,懂得每件物品都有其各自的價值,從而培養(yǎng)正確的金錢觀和價值觀。第二課時小組之間模擬購物:一人當售貨員,其他三人買東西,計算并付錢,第一輪付正好的錢數(shù),第二輪需要售貨員進行找錢。兩輪下來再交換角色進行購物。如此,學生都有機會體驗買賣東西的樂趣,在模擬購物活動中熟悉人民幣的面值和應用。師生精心策劃愛心義賣活動。教師、家長化身為導購員、售貨員,學生化身為一個個小顧客,購物、換幣、比較、計算,與此同時,學生還要做好記錄,最后分享交流購物過程中遇到的問題及解決方法,進行自我評價與反思,在這樣的學習過程中學生能深刻體會到人民幣的意義和蘊含的學問。

教師根據(jù)教材的特點和學生的發(fā)展水平,創(chuàng)設學生熟悉的真實情境,有利于提高學生學習的積極性,降低數(shù)學概念教學的難度。

二、學法指導探究概念模型

概念課的抽象性決定了要想讓學生深刻理解數(shù)學概念,就要變教師的教為學生的主動探究,這就需要教師給予學生一定的學法指導。如四年級上冊“平行與相交”這節(jié)課就是在學生動手實踐親歷知識的形成過程中建模的。數(shù)學源于生活,數(shù)學概念的學習要在真實世界中發(fā)生?；诖?教師先呈現(xiàn)一幅籬笆圖,讓學生從圖片中任選兩條邊描出來,并在小組間交流描出的兩條線長什么樣。稍后將學生的作品選擇性地展示在黑板上,讓學生觀察、分類并說說分類依據(jù)。A 生分三類:相交的、垂直的、不相交的。“分得對嗎?”教師輕輕地問一句,“小組再討論一下?！盉 生:可以只分兩類,直線可無限延長,所以沒相交的延長后也會相交?！巴鈫? 誰再來說一說?”“觀察相交和垂直,你認為它們有關系嗎? 把你的想法在小組內(nèi)交流一下?！盋生:垂直也是相交。具體來說相交是指兩條直線交于一點,組成四個角;垂直也是這樣,只是四個角都是直角。D 生:垂直是相交的特殊情況?！霸僮屇惴诸?你怎么分?”E生:只分一類,它們都是相交。學生在多次的分類、討論、質疑中明晰了相交線的模型:兩條直線可交于一點即為相交。平行線的本質是同一平面內(nèi)兩條直線的距離不變,即永不相交。教師可引導學生動手操作并思考:①在兩條平行線間作垂線段;②量這些垂線段的長度;③思考工人是如何使兩條鐵軌保持平行的? 在對相交和平行的概念建模過程中,學生在教師的指導下經(jīng)歷多次觀察、討論、操作、交流等活動,對相交線和平行線的概念有了本質的認識,也深刻認識到垂直是相交的特殊情況。

以五年級上冊“數(shù)學廣角——植樹問題”教學為例。教師可出示校園情境圖,植樹節(jié)快到了,學校準備將校園里長100 米的小路的一邊每隔5 米種1棵樹,需要買多少棵樹呢? 教師先引導學生針對問題特點和建模目的提出合理的假設。不管學生的假設如何,教師先不做評判,重點關注假設背后的思想。如果學生假設“100÷5=20 棵(間隔數(shù))”,教師再引導學生質疑假設的正確性以及用自己的方法來證明觀點。如可采用化繁為簡的策略把總長100米改為10米;也可采用數(shù)形結合的策略畫出植樹的情境圖,化抽象為直觀。引導學生用分析、比較、猜想、驗證、概括等思維方法自主構建數(shù)學模型:“兩端都栽”的模型為“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”,“只栽一端”的模型為“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)”以及“兩端都不栽”的模型為“植樹的棵數(shù)=間隔數(shù)-1”。教師再引導學生利用抽象的模型解決實際問題以及拓展新的數(shù)學模型。如環(huán)形操場插小旗活動。植樹模型變化多元,切不可讓學生死記模型公式,而應該指導方法,讓其親歷模型的建構過程,這樣學生才能真的領會并靈活運用。

三、系列活動深化概念模型

模型的建立不是一蹴而就的,需要一個循序漸進的過程。在教學中,教師要設計一系列由淺入深的活動,幫助學生慢慢感受模型的生成過程。以三年級上冊“分數(shù)的初步認識”教學為例。教師往往從分數(shù)意義開展教學,順勢給出分數(shù)的表示方法。但是“為什么要用分數(shù)表示? 為什么分數(shù)要這樣寫?”學生困惑不消除,理解就難到位。教師可以創(chuàng)設一些合理的活動,讓學生在活動中認識分數(shù)、理解分數(shù)的意義。

活動一:初步感受分數(shù)的意義

教師提供一些生活素材:七點半的“半”是什么意思? 長方形的紙沿中線對折,一部分與整張紙的關系? “100元”和“50元”的關系? 學生獨立思考、小組交流,最后絕大多數(shù)學生的落腳點在“半”字。那“半”在數(shù)學上能怎樣簡潔地表示呢? 由生活中的需要引出探究的欲望。

活動二:表示“半”

學生用自己的方式表示“半”:比如1-2;1/2;1○2;1·2 等。在肯定學生奇思妙想的同時,教師要引導學生思考:“一個‘半’字,用這么多不同的符號表示,行嗎?”學生經(jīng)過討論,達成共識:只能用一個符號表示。師生共同了解數(shù)學史“分數(shù)的產(chǎn)生過程”,感受古人因生活生產(chǎn)需要而探求摸索、銳意進取的求知精神。至此學生明白:一半是二中取一,它有很多種表示方式,而“”這種表示方式是經(jīng)過摸索后達成的共識,為了溝通方便而采用。

活動三:再次理解分數(shù)的意義

在經(jīng)歷了由生活需要而產(chǎn)生探究的欲望、由表示符號多元到達成統(tǒng)一共識、由感悟一種新數(shù)到理解這種新數(shù)的意義這樣的建模過程之后,學生對分數(shù)模型的認知是飽滿和豐富的。

在認識圖形系列教學中,教師往往也是設計多種活動來探究圖形的特征,這些活動能很好地幫助學生認識和辨析圖形。

以五年級下冊“長方體和正方體”教學為例。教師可設計如下活動來幫助學生探究長方體和正方體的特征?；顒右?搭一搭。利用小棒、硬紙條等搭一個長方體、正方體框架,觀察這些棱,說說發(fā)現(xiàn)。進而推導出棱長和公式?；顒佣?想一想,拆一拆。把小棒拆成什么樣子還能想象出原長方體的框架? 從而感悟長方體的框架特征主要由長、寬、高三個要素決定?；顒尤?補一補。用合適的紙張把長、正方體的框架補上面,觀察面的特征,為后續(xù)學習表面積做鋪墊?；顒铀?想一想,剪一剪。至少需要剪開幾條棱,能得到長方體、正方體的展開圖,以及展開圖是什么樣的?；顒游?折一折。把展開圖標上序號,折一折看看哪些面是相鄰的哪些面是相對的。概念教學不必拘泥于教材的課時設定,學生能真正地投入教學活動并能在活動中理解深化概念模型才是最重要的。

四、本質屬性結構概念模型

很多概念課的建模過程類似,可做結構化教學,比如圖形的高。三角形的高是從三角形任意一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線;平行四邊形的高是從平行四邊形一條邊上的任一點向它的對邊所在的直線做垂線;梯形的高是從梯形底上的任一點向另一底所在的直線做垂線;圓柱的高是兩個底面圓心之間的距離……“作高”是小學數(shù)學“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容,教師上課講解、示范,學生模仿操作,看似完整、扎實的教學過程,結果卻是錯誤頻出,究其原因是學生對“高”的本質沒有厘清。像這種本質屬性統(tǒng)一的概念,教師要進行結構統(tǒng)整,在第一節(jié)課時花力氣讓學生明白,之后教學中不斷強化其本質。學生理解了“高”的概念本質,再以“1重2移3畫4標”模型方法鞏固作圖技巧,就無須談“高”色變了。

五、學以致用發(fā)展概念模型

學生雖然建構了數(shù)學概念模型,但是如果不應用于實踐,它就失去了意義,而且很快會被淡忘。如果生活數(shù)學化的過程是“建?！边^程,那么數(shù)學生活化的過程就是“用模”過程。模型需要在應用中不斷鞏固理解、深化發(fā)展。

在學習一年級下冊“解決問題(誰比誰多幾或少幾)”時,教材出示套圈游戲情境圖:小雪套中7個,小華套中12 個。學生根據(jù)信息自行提出問題:“小華比小雪多套幾個或者小雪比小華少套幾個?”之后,教師組織學生畫圖并列式解答,學生們無一例外列式:12-7。而在問到為什么用減法時,學生面面相覷,回答不出來。其實教師可以引導學生回憶減法的意義:知道了總數(shù)和一部分,求另一部分用減法。借助示意圖再來理解:知道了總數(shù)(小華套中的個數(shù)12)和一部分(小華和小雪同樣多的部分7),求另一部分(小華比小雪多的部分),故而用減法。這就是用減法的意義來解決實際問題,在解決問題的過程中強化和發(fā)展減法的概念模型。

再如,學習六年級上冊“圓的面積”后,除進行一些必要的計算練習,還可以設計一些實踐問題:“怎么計算學校中庭榕樹樹干的橫截面面積?”學生思考討論匯報交流:有的認為需要將榕樹沿橫截面砍伐,量出半徑從而計算面積;有的認為只需要量出樹干的周長,就能算出半徑,進而算出橫截面面積。在解決這樣復雜的實際問題中,學生抓住圓的面積公式中半徑這個關鍵概念,便可輕松解決問題。數(shù)學概念源于現(xiàn)實生活,又可用于解決現(xiàn)實問題,在這種數(shù)學與現(xiàn)實世界的雙向聯(lián)系中,概念建?？色@得進一步發(fā)展。

在這樣的教學策略下,學生對概念的理解越發(fā)清晰,越發(fā)明確,越發(fā)肯定。在學習類似的概念課時,學生就有徑可循,會從生活中找素材來緩解陌生感,會通過探討交流來推開迷霧,接近事實真理。這樣從“學”到“用”恰恰反映的是學生真正學會了概念建模。