變系數(shù)(2+1)維Sawada-Kotera方程的多孤子解

耿 勇,張金玉,王 丹,李春暉,王曉麗

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 數(shù)學(xué)與人工智能學(xué)部,山東 濟南 250353

孤立子理論的提出和發(fā)展[1-3],極大地促進(jìn)了非線性偏微分發(fā)展方程的研究。學(xué)者們提出了一系列求孤子方程的經(jīng)典方法,如Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法[4]、B?cklund變換法[5]、CK直接法[6]、Darboux變換法[7]、Wronskian 行列式法[8]、冪級數(shù)法[9]、Lie對稱法[10]等。其中Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)法是日本數(shù)學(xué)家Hirota在1972年提出的,其思想是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將偏微分方程化為雙線性形式,并用攝動法求得其孤子解。

1996年,Lambert、Gilson、Nimmo在Bell多項式的理論基礎(chǔ)上,建立了Hirota雙線性算子和Bell多項式之間的聯(lián)系[11],解決Burgers等方程的雙線性化問題。本文將利用Bell多項式和雙線性算子之間的關(guān)系,研究(2+1)維變系數(shù)Sawada-Kotera(S-K)方程的多孤子解。

該方程在亞臨界弦、量子引力規(guī)范場論、共形場論等物理分支[12-14],例如Dresselhous自旋軌道耦合體系[15-17]中具有廣泛的應(yīng)用。當(dāng)α=1,β=-5,γ=5時,方程(1)可化為(2+1)維Sawada-Kotera(S-K)方程[12]

該方程是著名劉維爾場論中的一類守恒流方程,精確孤子解已由Hirota雙線性法求出[18-19]。

下面給出Bell多項式和雙線性算子的關(guān)系,并且求解方程(1)的孤子解。

1 Bell多項式和雙線性算子

定義1[20]假設(shè)f=f(x1,x2,…,xn)是一個定義在C∞上的n元函數(shù),稱

為f的Bell多項式。

例如,若f=f(x,y),則f的Bell多項式為:

Yx,y(f)=fxy+fxfy。 (6)

定義2[21]假設(shè)v=v(x1,x2,…,xn),w=w(x1,x2,…,xn)是兩個定義在C∞上的n元函數(shù),稱

Yn1x1,n2x2,…,nlxl(v,w)≡Yn1x1,n2x2,…,nlxl(f)|f, (7)

例如,若v=v(x,y),w=w(x,y),則(v,w)的雙Bell多項式為:

特別地,當(dāng)v=0,w=ln(f2(x,y))時,(8)和(9)式化簡為:

Y3x,y(v,w)=2(fxxxyf-3fxxyfx+3fxyfxx-fyfxxx)f-2; (10)

定義3[22]假設(shè)f=f(x,t)和g=g(x,t)都是關(guān)于變量x和t的可微函數(shù),引入新的微分算子,稱

為作用在函數(shù)f和g上的雙線性算子,其中m和n是非負(fù)整數(shù)。

性質(zhì) 1[23]設(shè)f=f(x,t)和g=g(x,t)都是關(guān)于變量x和t的可微函數(shù),雙線性算子具有如下性質(zhì):

定理 1[24]設(shè)f=f(x,t)和g=g(x,t)都是關(guān)于變量x和t的可微函數(shù),雙Bell多項式和雙線性算子之間存在如下等價轉(zhuǎn)換關(guān)系

特別地,當(dāng)f(x,t)=g(x,t)時,有

f-2DxDy(f·f)=Yx,y(v=0,w=ln(f2)), (14)

f-2D6x(f·f)=Y6x(v=0,w=ln(f2))。 (15)

2 變系數(shù)(2+1)維S-K方程孤子解

定理2 設(shè)u=6(lnf)xx,變系數(shù)(2+1)維S-K方程(1)的雙線性形式為:

證明:在方程(1)中,令u=3qxx,在等式的兩邊對x進(jìn)行積分并取積分常數(shù)為0,化簡得到:

將q=2lnf代入(17),得到

由(10)式和(11)式,化簡(18)式得到方程(1)的雙Bell多項式形式為:

Yx,t(v=0,w=lnf2)+αY6x(v=0,w=lnf2)+βY2y(v=0,w=lnf2)+γY3x,y(v=0,w=lnf2)=0。 (19)

由(14)式和(15)式,化簡(19)式得到方程(1)的雙線性形式為:

定理3 變系數(shù)(2+1)維S-K方程(1)的N孤子解為:

特別地,當(dāng)N=1時,單孤子解為:

當(dāng)N=2時,雙孤子解為:

u=6[ln(1+eη1+eη2+a12eη1+η2)]xx, (25)

當(dāng)N=3時,三孤子解為:

u=6(lnf)xx=6[ln(1+eη1+eη2+eη3+a12eη1+η2+a13eη1+η3+a23eη2+η3)]xx, (27)

證明:將f=f(x,y,t)按參數(shù)ε展開

f(x,y,t)=1+f(1)ε+f(2)ε2+…+f(j)εj+…, (29)

并把(29)式代入雙線性方程(16)中,再按參數(shù)ε冪次整理排列

……

由雙線性算子的性質(zhì)1(3)相容性,方程(30)等價于偏微分方程

該方程有解

f(1)=exp(η1), (34)

可取f(2)=f(3)=…=0滿足方程組(30)、(31)和(32),則f的展開式截斷為有限項的和

f=1+εf(1)。 (36)

下面求解變系數(shù)(2+1)維S-K方程(1)的雙孤子解和N孤子解。方程(30)有解

f(1)=exp(η1)+exp(η2), (38)

=-2((P1-P2)(Ω1-Ω2)+α(P1-P2)6+β(Q1-Q2)2+γ(P1-P2)3(Q1-Q2))eη1+η2。 (39)

設(shè)(39)式的一個解f(2)=a12eη1+η2,代入(39)式得a12為:

將得到的f(1)和f(2)代入(32)中,取f(3)=f(4)=…=0滿足方程組(30)、(31)和(32),因此f可以截斷為有限項

f=1+ε(eη1+eη2)+ε2a12eη1+η2。 (41)

f=1+eη1+eη2+a12eη1+η2。 (42)

因此變系數(shù)(2+1)維S-K方程(1)的雙孤子解為:

u=6(lnf)xx=6[ln(1+eη1+eη2+a12eη1+η2)]xx, (43)

同理變系數(shù)(2+1)維S-K方程(1)的三孤子解為:

u=6(lnf)xx=6[ln(1+eη1+eη2+eη3+a12eη1+η2+a13eη1+η3+a23eη2+η3)]xx, (45)

歸納可得變系數(shù)(2+1)維S-K方程(1)的N孤子解可表示為:

3 孤子解圖像分析

對于變系數(shù)(2+1)維S-K方程(1),取α=3,β=-2,γ=2,t=1時方程為:

圖1 色散關(guān)系

再根據(jù)(24)式得到方程(50)的雙孤子解為:

又根據(jù)(26)式得到方程(50)的三孤子解為:

具體圖像如下:

從圖2中發(fā)現(xiàn),S-K方程的孤立波在傳播時,波發(fā)生彈性碰撞,可以線性疊加,其波的位置互相作用之后發(fā)生偏移,但其形狀不變,波速不變。

4 結(jié) 論

本文對于變系數(shù)S-K方程(1),在方法上借助了Bell多項式,先對變系數(shù)S-K方程進(jìn)行約化,再轉(zhuǎn)化成可雙線性化的Hirota算子形式,從而將變系數(shù)S-K方程轉(zhuǎn)化成雙線性算子形式,進(jìn)而求得其多孤子解;在結(jié)果上,孤子解體現(xiàn)傳統(tǒng)粒子在非全局劉維爾守恒流中的分布情況,可以更好的理解傳統(tǒng)粒子的運動情況。