從三個視角看冪的運算

王憲成

“冪的運算”是蘇科版數(shù)學七（下）第8章的內(nèi)容。在此之前，我們已經(jīng)學習了“有理數(shù)”，知道了有理數(shù)的乘方運算的結(jié)果叫冪，還認識了冪的底數(shù)、指數(shù)、讀法、性質(zhì)，科學記數(shù)法，有理數(shù)的混合運算等。同學們，你們有沒有思考過如下問題，比如冪是乘方運算的結(jié)果，也是一個數(shù)，可以進行加、減、乘、除、乘方等運算嗎？冪的指數(shù)只能是正整數(shù)嗎？等等?？磥?，我們有必要全面地認識本章內(nèi)容，并站在前后知識聯(lián)系、發(fā)展的角度來深入學習。

一、從數(shù)的運算視角看冪的運算

經(jīng)歷過小學數(shù)學運算，我們知道了，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算。在七年級上學期，我們學習了“有理數(shù)”。求相同因數(shù)積的運算叫作乘方，冪是乘方運算的結(jié)果，也是一個數(shù)，自然有同學會問：乘方的結(jié)果“冪”，可以繼續(xù)進行加、減、乘、除、乘方運算嗎？這是從數(shù)學內(nèi)部角度進行的思考，值得重視。

同學們可以展開討論，如24×23、（24）3、（2×3）3、24÷23、23÷24如何運算？我們從乘方運算的視角不難理解上述運算?？墒菫槭裁匆攸c研究同底數(shù)冪的運算呢？經(jīng)歷過不同底數(shù)冪的運算之后，我們會發(fā)現(xiàn)，同底數(shù)冪的運算更具有一般規(guī)律性，更便于表達，所以更有研究的價值。

從生活與數(shù)學的聯(lián)系中，我們也能感受到研究冪的運算的必要性。本章的章頭圖里有這樣幾個問題，光在真空中的速度約是3×108m/s，光在真空中穿行一年的距離稱為1光年，請你算算：（1）一光年約是多少千米（1年以3×107s計算）？（2）銀河系的直徑達10萬光年，約是多少千米？（3）如果一架飛機的飛行速度為1000km/h，那么光的速度是這架飛機速度的多少倍？帶著這些問題，我們將學習同底數(shù)冪的乘法、除法以及冪的乘方和積的乘方。

二、從數(shù)到式的發(fā)展視角看冪的運算

同學們已經(jīng)知道，同底數(shù)冪的乘、除、乘方等運算更容易開展研究。那么，仍然以24×23、（24）3、（2×3）3、24÷23、23÷24這些冪的運算為例，我們能否將其進行一般化歸納呢？從特殊到一般，歸納表達一般性，這是我們常見的研究路徑，也應該成為同學們的數(shù)學素養(yǎng)。于是，用字母表示數(shù)就自然產(chǎn)生了。從數(shù)到式的發(fā)展，合情合理，自然發(fā)生。同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法法則就出現(xiàn)了。基于乘方的意義，推理法則的形成過程，可以發(fā)展同學們的代數(shù)推理能力。

從整式的運算視角來看，我們在整式加減的基礎上，又有了新的研究方向，即整式乘法如何運算。如a4b3?ab2、a4b3·（ab2-a2b）、（a+b）·（ab2+a2b）……這就有了“整式乘法與因式分解”的研究內(nèi)容。這樣，后續(xù)的學習就有了“根”。

三、從指數(shù)的變化視角看冪的運算

冪的指數(shù)難道就只能是正整數(shù)嗎？顯然不是。那么，負整數(shù)、零、分數(shù)都可以嗎？有時，數(shù)學學習需要我們大膽地提出問題，大膽猜想，細心分析問題。

計算24÷23、23÷23、23÷24時，我們就可以思考一個問題：對于同底數(shù)冪的除法法則（am÷an=am-n），正整數(shù)m、n有什么限制？24÷23=24-3=21，23÷23=1=23-3=20，23÷24=23-4=2-1，這樣書寫計算過程是否合理？結(jié)合數(shù)軸，我們經(jīng)歷猜想、驗證，20=1，2-1=[12]，于是，可以理解上述計算過程的合理性。

我們再來看另一個生活情境，1個細胞分裂1次變?yōu)?個，分裂2次變?yōu)?個……分裂后的細胞個數(shù)與分裂次數(shù)的關系可以寫成2=21，4=22，8=23，16=24……那么，當細胞沒有分裂（即分裂次數(shù)為0）時，細胞的個數(shù)是幾？

于是，冪的指數(shù)進行了數(shù)的擴充，更加豐富了同學們對冪的認識。指數(shù)可以是正整數(shù)、0和負整數(shù)。有的同學會進一步大膽思考：指數(shù)有沒有可能是分數(shù)呢？任意有理數(shù)呢？任意無理數(shù)呢？等等。隨著同學們的不斷追問，數(shù)學就這樣自然“生長”起來了。

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖實驗中學）