解直角三角形考題賞析

周貴勝

初中的三角函數(shù)知識是依托直角三角形呈現(xiàn)的，三角函數(shù)的實際應(yīng)用題也是先抽象出符合題意的幾何圖形，再解直角三角形而解決的.本文以中考題為例與同學(xué)們一起體會這類題目的解題思路與方法.

[真題剖析]

例 （2022·遼寧·錦州）如圖1，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上. 為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C. 求貨輪從A到B航行的距離.（結(jié)果精確到0.1海里. 參考數(shù)據(jù)：sin 50° ≈ 0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192.）

[思路分析]

抽象出數(shù)學(xué)模型：通過理解題意，容易認(rèn)識出圖中△ABC具有的條件和要求的量：∠BAC = 30°，∠ABC = 100°，BC = 20海里，求邊AB的長.

此題是鈍角三角形問題，需要作輔助線，構(gòu)造直角三角形解題.如圖2，已知∠BAC = 30°，∠ABC = 100°，BC = 20海里，過點B作BD⊥AC于D，構(gòu)造兩個直角三角形△ABD和△BCD，在Rt△BCD中利用三角關(guān)系先求出BD，再通過Rt△ABD中的邊角關(guān)系求出AB.

[詳細(xì)解答]

解：如圖2，過B作BD⊥AC于D，

由題意可知∠ABC = 100°，∠BAC = 30°，

則∠C = 180° - 30° - 100° = 50°，

在Rt△BCD中，∠C = 50°，BC = 20海里，

∴BD = ?BCsin 50° ≈ 20 × 0.766 = 15.32海里，

在Rt△ABD中，∠BAD = 30°，BD = 15.32海里，

∴AB = 2BD = 30.64 ≈ 30.6（海里）.

答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．

[圖形歸納]

三角函數(shù)應(yīng)用問題的實際背景是非常豐富的，如利用測量中常用的方位角、仰角、俯角、坡角、坡度等為呈現(xiàn)背景，來設(shè)計測高、測長度、速度等問題.

在這些問題中，通常能抽象出兩大類六個幾何圖形：

1.銳角三角形兩角一邊或兩邊一角

①如圖3，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，AB = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其夾邊.）

②如圖4，已知：在△ABC中，∠A = α，∠B = β，BC = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其一角的對邊.）

③如圖5，已知：在△ABC中，∠A = α，AB = m，AC = n.求△ABC的其他角或邊.（已知兩邊及其夾角.）

以上三種情況通常根據(jù)銳角三角形內(nèi)角的度數(shù)，過三角形一個頂點在三角形內(nèi)部作高構(gòu)造直角三角形解題.

2.鈍角三角形兩角一邊或兩邊一角

①如圖6，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，AB = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其夾邊.）

②如圖7，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，BC = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其一角的對邊.）

③如圖8，已知：在△ABC中，∠BAC = α，AB = m，AC = n.求△ABC的其他角或邊.（已知兩邊及其夾角.）

這三種情況通常根據(jù)鈍角三角形內(nèi)角的度數(shù)，過三角形一個頂點在三角形內(nèi)部作高或在三角形外部作高構(gòu)造直角三角形解題.

三角函數(shù)實際應(yīng)用題在各地中考中幾乎是必考的題目，需要同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)過程中形成抽象幾何圖形的能力，養(yǎng)成認(rèn)識幾何圖形的視角，學(xué)會構(gòu)造能解決問題的直角三角形.

（作者單位：東北育才學(xué)校）