文／陳冠軍

在2022 年中考中，江蘇省多個(gè)市以操作活動(dòng)為問(wèn)題背景來(lái)考查圓的相關(guān)知識(shí)，呈現(xiàn)形式較為新穎。限于文章篇幅，本文僅對(duì)宿遷市的一道題做研究。

例題

如圖1，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、M均為格點(diǎn)。

圖1

【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖1 的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫(huà)了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點(diǎn)P并給出部分說(shuō)理過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：

解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE。

在Rt△ABC中，tan∠BAC=

在Rt△CDE中，_______，

所以tan∠BAC=tan∠DCE。

所以∠BAC=∠DCE。

因?yàn)椤螦CP+∠DCE=∠ACB=90°，

所以∠ACP+∠BAC=90°。

所以∠APC=90°，即AB⊥CD。

【拓展應(yīng)用】（1）如圖2 是以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在上找出一點(diǎn)P，使寫(xiě)出作法，并給出證明；

圖2

（2）如圖3 是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，在弦AB上找出一點(diǎn)P，使AM2=AP·AB，寫(xiě)出作法，不用證明。

圖3

解析

【操作探究】tan∠DCE=

【拓展應(yīng)用】（1）作法：取格點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，見(jiàn)圖4。

圖4

證明：由作圖可知OM⊥AP，且OM過(guò)圓心，根據(jù)垂徑定理，得

（2）作法一：連接OA，取格點(diǎn)C，連接MC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)M＇，交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，見(jiàn)圖5。

圖5

證明：可證OA⊥MM＇，

∴

∴∠AMP=∠ABM。

又∠MAP=∠BAM，

∴△APM∽△AMB。

∴AM2=AP·AB。

作法二：取格點(diǎn)C、D，連接CD交AB于P，則點(diǎn)P即為所求，見(jiàn)圖6。

圖6

總結(jié)

本題用到的知識(shí)較為廣泛，有全等三角形、垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等，是一道以操作活動(dòng)為背景的綜合題。

除這道題外，各地2022 年中考題中，還有常州市第28 題、揚(yáng)州市第26 題、鹽城市第27 題，它們都是操作活動(dòng)背景下的圓的綜合題，大家不妨去做一做。