等腰三角形模型構(gòu)建及其應(yīng)用

孫衛(wèi)

等腰三角形是最常見(jiàn)的幾何圖形，有著許多特殊性質(zhì)，在中考試題中應(yīng)用比較廣泛. 有些問(wèn)題中即使并不存在明顯的等腰三角形，我們經(jīng)過(guò)運(yùn)用角平分線、垂線、平行線、倍角等知識(shí)構(gòu)建等腰三角形，都可順利求得相關(guān)結(jié)論.

模型構(gòu)建

模型一 ?角平分線 + ?平行線

如圖1①，若AD平分∠BAC，AD[?]EC，則△ACE是等腰三角形；如圖1②，AD平分∠BAC，DE[?]AC，則△ADE是等腰三角形；如圖1③，AD平分∠BAC，CE[?]AB，則△ACE是等腰三角形；如圖1④，AD平分∠BAC，EF[?]AD，則△AGE是等腰三角形.

模型二 ?角平分線 + ?垂線

如圖2，若AD平分∠BAC，AD⊥DC于點(diǎn)D，則△AEC是等腰三角形.

這種構(gòu)造模型的本質(zhì)是以角平分線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，其原理是軸對(duì)稱性質(zhì).

模型三 ?倍角型

如圖3①，若∠ABC = 2∠C，作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；如圖3②，若∠ABC = 2∠C，延長(zhǎng)CB到D，使BD = BA，連接AD，則△ADC是等腰三角形；如圖3③，若∠B = 2∠ACB，以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作∠ACD = ∠ACB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則△DBC是等腰三角形；如圖3④，若∠B = 2∠ACB，作AD⊥BC于點(diǎn)D，在DC上截取DE = BD，連接AE，則△ABE和△ACE都是等腰三角形.

模型應(yīng)用

例1 如圖4，在△ABC中，∠BAC = 90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交BC邊上的高AG于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)F. 求證：AE = FC.

解析：由∠BAC = 90°，BE平分∠ABC，AG⊥BC，可得∠BAG = ∠C，∠AEB = 90° - ∠ABE = 90° - ∠CBE = ∠BDG = ∠ADE，所以AE = AD，要證明AE = CF，只要證明AD = CF即可.

過(guò)點(diǎn)B作BN[?]AC，交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，F(xiàn)N交AB于點(diǎn)M，則∠NBA = ∠BAC = 90°. 因?yàn)镕N[?]BC，連接BF，可證△BFN ≌ △FBC，進(jìn)而得到BN = FC，因此只要證明BN = AD即可.

事實(shí)上，由BD平分∠MBG，DM[?]BG，根據(jù)模型一可知BM = DM，由∠AMD = ∠NMB，∠NBM = ∠ADM，根據(jù)“ASA”證得Rt△ADM ≌ Rt△NBM，則BN = AD，從而可得AE = CF.

例2 如圖5，已知等腰直角三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF的延長(zhǎng)線于D. 求證：BF = 2CD.

解析：由BF平分∠ABC，CD⊥BD，對(duì)照模型二可聯(lián)想到等腰三角形. 于是分別延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)E，則△BCE是等腰三角形，并有ED = CD，只需再證明BF = CE即可. 事實(shí)上，由∠BAC = 90°，CD⊥BD，∠AFB = ∠DFC，得∠ABF = ∠DCF，而AB = AC，所以△ABF ≌△ACE，則BF = CE，從而問(wèn)題獲解.

顯然，先構(gòu)造等腰三角形，再運(yùn)用其性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題是一種常用的解題策略，掌握上述常見(jiàn)模型有助于同學(xué)們巧構(gòu)等腰三角形，妙解數(shù)學(xué)題.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：5分鐘

在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC = 2∠C. 求證：CD = AB + BD.

（輔助線引法見(jiàn)第25頁(yè)）

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）