王海軍
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2022版)明確提出,“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生要逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.在2022年的全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題中,出現(xiàn)了不少考查上述“三會(huì)”的試題,充分體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的上述理念.下面舉例說明.
例2.(2022·甘肅·蘭州)如圖5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC
=3cm,BC=4cm,M為AB邊上一動(dòng)點(diǎn),BN⊥CM,垂足為N.設(shè)A,M兩點(diǎn)
間的距離為xcm(0≤x≤5),B,N兩點(diǎn)間的距離為ycm(當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合
時(shí),B,N兩點(diǎn)間的距離為0).
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)因變量y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)
行了探究.下面是小明的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
(1)列表:下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A,M兩點(diǎn)間的距離x進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量,分別得到了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值:
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
請(qǐng)你通過計(jì)算,補(bǔ)全表格:a= ? ? ;
(2)描點(diǎn)、連線:在平面直角坐標(biāo)系中,描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y),并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象(圖6);
(3)探究性質(zhì):隨著自變量x的不斷增大,函數(shù)y的變化趨勢(shì): ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;
(4)解決問題:當(dāng)BN=2AM時(shí),AM的長(zhǎng)度大約是?cm.(結(jié)果保留兩位小數(shù))
分析:(1)當(dāng)x=1.8時(shí),通過觀察或測(cè)量可猜想此時(shí)CM⊥AB,為此,求出AB邊上的高CM',進(jìn)而求出AM',判斷出點(diǎn)M與M'重合,即可得出答案;(2)先描點(diǎn),再連線,即可畫出圖象;(3)觀察圖象的增減性,直接得出結(jié)論;(4)利用表格和圖象估算出AM的長(zhǎng)度.
解:(1)如圖7,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,則AC=5.過點(diǎn)C作
CM'⊥AB于M,∴S△ABC= AC·BC= AB·CM',∴CM'= .在Rt△ACM'中,根據(jù)勾股定理得AM'=1.8,當(dāng)x=1.8時(shí),點(diǎn)M與點(diǎn)M'重合,∴CM⊥AB,∴點(diǎn)M,N重合,∴a=BN=BM=3.2;(2)如圖8所示;(3)由圖象知,y隨x的增大而減?。唬?)借助表格,觀察圖象,可知當(dāng)BN=2AM時(shí),AM的長(zhǎng)度大約是1.67cm.
點(diǎn)評(píng):本題是用學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)來探究幾何圖形中兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系,這里用數(shù)學(xué)的眼光觀察(測(cè)量)出當(dāng)x=1.8時(shí)CM⊥AB,函數(shù)圖像的增減性,當(dāng)BN=2AM時(shí)AM的大約長(zhǎng)度;用數(shù)學(xué)的思維確定用重合法求BN(或BM),繪制函數(shù)圖像,估算AM的長(zhǎng)度;用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)求a的過程,描述函數(shù)的增減性等,都體現(xiàn)了中考對(duì)“三會(huì)”核心素養(yǎng)考查的基本要求,我們要從中去感悟、體會(huì),領(lǐng)會(huì)中考對(duì)“三會(huì)”核心素養(yǎng)考查的角度與尺度,進(jìn)而進(jìn)行高效備考.
例3.(2022·貴州·畢節(jié))2022北京冬奧會(huì)期間,某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣,進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表:(注:利潤(rùn)=銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià))
類別
價(jià)格 A款鑰匙扣 B款鑰匙扣
進(jìn)貨價(jià)/(元/件) 30 25
銷售價(jià)/(元/件) 45 37
(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件,求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù);
(2)第一次購(gòu)進(jìn)的冰墩墩鑰匙扣售完后,該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件(進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變),且進(jìn)貨總價(jià)不高于2200元.應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案,才能獲得最大銷售利潤(rùn),最大銷售利潤(rùn)是多少?
(3)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí),網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售,如果按照原價(jià)銷售,平均每天可售4件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每降價(jià)1元,平均每天可多售2件,將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí),才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元?
分析:(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系“第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件”,構(gòu)造一元一次方程組,即可獲解;(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)m件A款鑰匙扣,則購(gòu)進(jìn)(80﹣m)件B款鑰匙扣,根據(jù)數(shù)量關(guān)系“總價(jià)不超過2200元”,構(gòu)造關(guān)于m的一元一次不等式,解之可得m的取值范圍.設(shè)再次購(gòu)進(jìn)的A、B兩款冰墩墩鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元,根據(jù)總利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量,即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再利用一次函數(shù)的性質(zhì),即可解決最值問題;(3)設(shè)B款鑰匙扣的售價(jià)定為a元,則每件的銷售利潤(rùn)為(a﹣25)元,平均每天可售出(78﹣2a)件,根據(jù)平均每天銷售B款鑰匙扣獲得的總利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)×平均每天的銷售量,構(gòu)造關(guān)于a的一元二次方程,求解即得結(jié)論.
解:(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣x件,則購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣(30-x)件,依題意得30x+25(30-x)=850,解得x=20,30-x=10.即購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣20件,B款鑰匙扣10件.
(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)m件A款鑰匙扣,則購(gòu)進(jìn)(80﹣m)件B款鑰匙扣,依題意得:30m+25(80﹣m)≤2200,解得:m≤40.設(shè)再次購(gòu)進(jìn)的A、B兩款冰墩墩鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元,則w=(45﹣30)m+(37﹣25)(80﹣m)=3m+960.∵3>0,∴w隨m的增大而增大,∴當(dāng)m=40時(shí),w取得最大值,最大值=3×40+960=1080,此時(shí)80﹣m=80﹣40=40.
因此,當(dāng)購(gòu)進(jìn)40件A款鑰匙扣,40件B款鑰匙扣時(shí),才能獲得最大銷售利潤(rùn),最大銷售利潤(rùn)是1080元.
(3)設(shè)B款鑰匙扣的售價(jià)定為a元,則每件的銷售利潤(rùn)為(a﹣25)元,平均每天可售出4+2(37﹣a)=(78﹣2a)件,依題意得:(a﹣25)(78﹣2a)=90,解得:a1=30,a2=34.
因此,將銷售價(jià)定為每件30元或34元時(shí),才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元.
點(diǎn)評(píng):本題是日常生活中常見的實(shí)際問題,首先要用數(shù)學(xué)的眼光去審讀,將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,其次要用數(shù)學(xué)的思維去思考,構(gòu)造怎樣的數(shù)學(xué)模型來解決問題,這里涉及到方程、不等式和函數(shù)這三種初中數(shù)學(xué)中的重要模型;再次要用數(shù)學(xué)得語言去規(guī)范表達(dá),設(shè)、列、解、檢、答一應(yīng)俱全,特別是第(3)小題中的兩解均符合題意,不可偏廢.
(作者單位:江蘇省泰州市姜堰區(qū)勵(lì)才實(shí)驗(yàn)學(xué)校)