單雪昀

摘? 要：數(shù)學(xué)教師具備“高觀點(diǎn)”認(rèn)知水平，有利于窺探初等數(shù)學(xué)教材背后的緣起，進(jìn)而正確解讀教材、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、形成完整的教學(xué)體系。文章對(duì)新疆地區(qū)高中數(shù)學(xué)教師和某大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向研究生“初等教材背后的高觀點(diǎn)知識(shí)”現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查，分析其中存在的問題，并從數(shù)學(xué)概念、命題與解題三個(gè)知識(shí)維度的典型問題進(jìn)行剖析，總結(jié)對(duì)策，希望對(duì)數(shù)學(xué)教師專業(yè)化培養(yǎng)有所啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；初等教材；高觀點(diǎn)；理解水平

一、問題提出

“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”對(duì)于高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)來說意味著：要站得高、看得遠(yuǎn)，才能將初等數(shù)學(xué)問題剖析得簡單明了。事實(shí)上，自菲利克斯·克萊因提出這一觀點(diǎn)后，中國的數(shù)學(xué)教育也在經(jīng)歷著改革，最直觀可見的是高中數(shù)學(xué)教材新增以大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的內(nèi)容，選修教材居多。因此，研究高中數(shù)學(xué)教師的“高觀點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)”理解水平現(xiàn)狀是有必要的。下面以新疆地區(qū)高中數(shù)學(xué)教師和某大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向研究生為測試對(duì)象，分成三個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)維度（如表1），擬從初等數(shù)學(xué)問題與大學(xué)數(shù)學(xué)“what”思想或方法有聯(lián)系的問題入手，探究新疆地區(qū)高中數(shù)學(xué)教師對(duì)“高觀點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)”的理解水平的現(xiàn)狀。

二、研究設(shè)計(jì)

1. 研究對(duì)象

為方便調(diào)查師范類準(zhǔn)教師與預(yù)備教師，針對(duì)準(zhǔn)高中教師（新疆某大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向研究生），以及新疆高中在職數(shù)學(xué)教師，包括新疆烏魯木齊市某高中教師、新疆南疆地區(qū)暑期國培班高中教師（2018年），采取分層抽樣方法，共計(jì)發(fā)放問卷40份，具體如表2、表3所示。

2. 研究工具

（1）評(píng)價(jià)框架建構(gòu)。

為建構(gòu)合理的評(píng)價(jià)模型，將CIPP教育評(píng)價(jià)模型作為評(píng)價(jià)理論基礎(chǔ)，以研究問題“高觀點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)”為核心驅(qū)動(dòng)目標(biāo)，擬劃分三個(gè)理解水平維度：操作性、初概念性和探究性，如圖1、圖2所示。

這里針對(duì)圖2中數(shù)學(xué)理解水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行解釋。一級(jí)操作性理解水平：教師知道數(shù)學(xué)的某個(gè)事實(shí)、概念與方法，但受制于數(shù)學(xué)教材的初等方法，僅能合情推理，缺乏數(shù)學(xué)宏觀意識(shí)。二級(jí)初概念性理解水平：教師了解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等，能演繹推理，但易犯循環(huán)論證而不自知，無法運(yùn)用高觀點(diǎn)思想窺探初等數(shù)學(xué)本質(zhì)。三級(jí)探究性理解水平：教師已具備初概念性理解，并能遷移大學(xué)數(shù)學(xué)方法揭示本質(zhì)解決初等問題，進(jìn)而縱橫地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。

（2）“高觀點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)”水平測試卷。

測試內(nèi)容選擇與確定考慮最基本問題，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》為依據(jù)，將內(nèi)容劃分為集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列與不等式、解析幾何、立體幾何與空間向量、統(tǒng)計(jì)與概率、其他部分，又基于彭翕成《從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)（第1卷）》的觀點(diǎn)，將考查視角轉(zhuǎn)到初等數(shù)學(xué)教材本身，選擇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與不等式、解析幾何、立體幾何與空間向量、其他部分（二項(xiàng)式定理）5個(gè)模塊重點(diǎn)考查。采用Microsoft Office Excel數(shù)據(jù)處理器對(duì)被試進(jìn)行編碼錄入、匯總，運(yùn)用SPSS數(shù)據(jù)軟件計(jì)算被試關(guān)于概念、命題、解題三個(gè)方面“高觀點(diǎn)數(shù)學(xué)認(rèn)知”分別劃分探究性、初概念性和操作性層次水平并進(jìn)行分析。

三、研究結(jié)果

1. “高觀點(diǎn)”數(shù)學(xué)概念理解水平

如表4，從數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)角度看，被測問題屬于常規(guī)且高頻問題，教師理應(yīng)了解其背后的思想方法。

具體而言，“高觀點(diǎn)”數(shù)學(xué)概念理解水平：探究性理解平均水平較其他數(shù)學(xué)維度的水平高出10% ～ 18%，大部分教師“高觀點(diǎn)”意識(shí)高于實(shí)際水平。因此，在數(shù)學(xué)概念方面教師要注重強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解與呈現(xiàn)，以看似合理的常識(shí)性問題為起點(diǎn)，脫離書本的桎梏，反向思維構(gòu)建高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的橋梁，再認(rèn)識(shí)和解決初等問題。“高觀點(diǎn)”數(shù)學(xué)命題理解水平：呈現(xiàn)出被試的探究性和操作性理解水平極不穩(wěn)定，而初概念及以上理解水平穩(wěn)定在45%左右的狀態(tài)，差距大。因此，教師需打破長期教學(xué)方式表現(xiàn)的思維戀舊和循環(huán)邏輯定式錯(cuò)誤，如“導(dǎo)數(shù)正（負(fù)）則單增（減）的演繹證明”不證自明等現(xiàn)象，逐步培養(yǎng)深度學(xué)習(xí)，重視并解讀學(xué)生每一次隱蔽性的數(shù)學(xué)語言?！案哂^點(diǎn)”數(shù)學(xué)解題理解水平：處于初概念及以上水平的教師較之前兩個(gè)維度要高且穩(wěn)定，操作性理解水平相對(duì)居多。尤其幾何和代數(shù)這類高考核心問題，教師俯瞰數(shù)學(xué)問題的廣度和深度相對(duì)較強(qiáng)，因此“高觀點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)”理解呈現(xiàn)較高水平。

2. “高觀點(diǎn)”數(shù)學(xué)問題實(shí)例分析

四、總結(jié)與建議

1. 數(shù)學(xué)概念

“廣度—深度”同步理解：數(shù)學(xué)概念本身具有高度的抽象性，對(duì)于概念教學(xué)，需要有意識(shí)地還原數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)化語言，即從學(xué)生理解的水平層次交代字面含義，結(jié)合“高觀點(diǎn)”認(rèn)知，最大化地為學(xué)生的概念學(xué)習(xí)提高廣度，同時(shí)注意從具體簡單到抽象復(fù)雜的逐步延伸，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生明確概念、糾正錯(cuò)誤，避免元認(rèn)知導(dǎo)向錯(cuò)誤。

2. 數(shù)學(xué)命題

“內(nèi)修—教學(xué)”雙向提高：要實(shí)現(xiàn)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)，教師不應(yīng)將整理好的證明直接提供給學(xué)生。教師自身的理解水平能夠達(dá)到引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”，組織自然生成的教學(xué)，學(xué)生自主完成命題的發(fā)現(xiàn)與證明。

3. 數(shù)學(xué)解題

“創(chuàng)造—再創(chuàng)”一以貫之：以往教學(xué)注重問題解決方法上的“再創(chuàng)造”，但其實(shí)問題的本身更應(yīng)注意，如增添數(shù)學(xué)的為什么，探尋源問題的路上層層揭開數(shù)學(xué)的神秘之紗。另外，還可以跳出數(shù)學(xué)符號(hào)化，將文學(xué)藝術(shù)與數(shù)學(xué)符號(hào)或思想連通，在問題的根源實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”，豐富數(shù)學(xué)的問題形式和解題視角，增添趣味。

五、結(jié)束語

解釋“數(shù)學(xué)概念”、證明“數(shù)學(xué)命題”、探究“數(shù)學(xué)解題”，無不告訴教師提高自身理解水平亟待加強(qiáng)，觀點(diǎn)高了，才能看得深。另外，師范類院校數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生更要從入校起重視聯(lián)系“高觀點(diǎn)”對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)，避免教學(xué)斷層。

基金項(xiàng)目：新疆師范大學(xué)新疆高等教育發(fā)展研究中心文科基地2022年度智庫招標(biāo)課題一般項(xiàng)目——高等師范院校數(shù)學(xué)教師提高課程思政教育路徑研究及評(píng)價(jià)思考（ZK202285B）。

參考文獻(xiàn)：

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［6］楊軍. 追根溯源：數(shù)學(xué)中的為什么［M］. 西安：世界圖書出版西安有限公司，2016.