對關(guān)聯(lián)矢量問題的思考

張麗 劉杭州 尚振玉

摘? ?要：關(guān)聯(lián)矢量問題在高中階段涉及到了兩個問題，一是解決關(guān)聯(lián)速度問題，二是求解勻強(qiáng)電場場強(qiáng)。從揭示關(guān)聯(lián)矢量問題的內(nèi)因出發(fā)，總結(jié)關(guān)聯(lián)矢量問題的特點，尋找解決該類型問題的方法，以期快捷地解決關(guān)聯(lián)矢量問題。

關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián)矢量問題；合成分解法；解決方法

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）5-0063-3

一般來說，矢量的分解和合成只要服從矢量運算法則，就可以在任意方向進(jìn)行分解和合成。但在受約束的問題中，矢量的分解和合成必須在約束的規(guī)則下應(yīng)用，這與學(xué)生對矢量的基本認(rèn)識有所違背，造成了學(xué)生的思維障礙。在解決關(guān)聯(lián)矢量問題時必須解釋清楚該問題的內(nèi)因，讓學(xué)生找到其特點，才能更好地解決該問題。高中階段關(guān)聯(lián)矢量問題重點針對關(guān)聯(lián)速度和勻強(qiáng)電場的合成分解法求解，下面具體分析。

1? ? 關(guān)聯(lián)速度問題

在繩、桿及接觸面約束（牽連）下的運動分解合成問題是運動分解合成問題的難點，教學(xué)的困難主要來源于學(xué)生對約束條件的認(rèn)識和建立正確的速度關(guān)系。只有從學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲備及認(rèn)知水平出發(fā)，合理地解釋該問題，才能讓學(xué)生很好地理解關(guān)聯(lián)速度問題。

1.1? ? 單一輕繩關(guān)聯(lián)速度問題

中學(xué)階段常用三種方法解釋關(guān)聯(lián)速度問題，分別為等效運動法、導(dǎo)數(shù)法、能量傳遞法。

例1 如圖1所示，纖夫以速度v0在河岸上勻速地繞過定滑輪向岸邊拉船，當(dāng)拉船的繩子與水平面成α角時，船的運動速度v為多大？

（1）等效運動法

運動分解的主要方法是把合運動分解成兩個方向的分運動。船的真實運動是合運動，可將其分解為沿繩子方向的勻速直線運動和繞滑輪的勻速圓周運動。

如圖2—圖4所示，若船從P點運動至Q點，可等效為繩子先以速度v0收縮至P'點，再沿著切線做勻速圓周運動至Q點，顯然船的速度可分解為沿著繩子和垂直于繩子的兩個分速度，易得到v=■。

（3）能量傳遞法

從功能關(guān)系角度看，關(guān)聯(lián)物體發(fā)生運動的過程中，連接物的作用本質(zhì)是傳遞能量［2］。即人拉繩的功率與繩拉船的功率相等，則有

上述三種方法分別從等效運動、位移關(guān)系、能量關(guān)系角度尋找關(guān)聯(lián)速度的速度關(guān)系，顯然必須把船的速度分解為沿著繩子和垂直于繩子的兩個分速度。在高中階段都是可行的，但在學(xué)生初學(xué)該內(nèi)容時還有沒有學(xué)習(xí)具體的功能問題及導(dǎo)數(shù)，教學(xué)時可采取學(xué)習(xí)進(jìn)階的方式在學(xué)習(xí)的不同階段逐步應(yīng)用，讓學(xué)生能深入地理解該問題。

在實際教學(xué)中，哪怕知道了上述處理方法，學(xué)生仍有兩個困惑：一是為什么不分解端點繩子的速度，二是為什么非得正交分解。不分解端點繩子的速度是因為分解的必須是合速度，而沿繩子方向的速度不是船運動的合速度。必須正交分解的原因是，如果一個分速度沿著繩子，另一個速度沿任意方向，那么當(dāng)沿繩子方向的運動結(jié)束后，另一方向的運動一定會引起繩子長度的變化，從而使沿繩子方向的運動發(fā)生變化，而沿繩子方向的運動一定是勻速的，這相互矛盾了。

1.2? ? 多段輕繩關(guān)聯(lián)速度問題

僅研究在單一輕繩牽連下的關(guān)聯(lián)速度問題不能使學(xué)生感受到關(guān)聯(lián)速度問題的特點，通過對多段繩子牽連下的學(xué)習(xí)才能體會到受約束矢量問題的正確解決方法。

例2 如圖6所示，平靜的海面上，兩艘拖船A，B通過不可伸長的纜繩拖著駁船C運動，某時刻兩根纜繩的夾角為θ，兩拖船A，B的速度大小均為v0。已知兩拖船的運動方向始終沿纜繩方向，則此時駁船C的速度大小為多少？

解決該問題時大多數(shù)學(xué)生會犯的錯誤是直接應(yīng)用平行四邊形定則將兩個速度合成（圖7），這是因為沒有把握住關(guān)聯(lián)速度問題的“關(guān)聯(lián)”特征。關(guān)聯(lián)速度問題的主要特征是獨立關(guān)聯(lián)，即各自關(guān)聯(lián)各自的，各分速度沒有直接關(guān)系，且合速度是唯一的，不能分別關(guān)聯(lián)分解后合成（圖8）。正確的方法應(yīng)該是，若知道合速度方向，只需選取任意分速度進(jìn)行關(guān)聯(lián)正交分解合成；若不知道合速度方向，如圖9所示，過兩關(guān)聯(lián)速度矢量箭頭分別作垂線，兩垂線交于一點，合速度為速度交點與垂線交點的連線。可以這樣操作的原因是合速度具有唯一性，而合速度與兩關(guān)聯(lián)速度又是獨立關(guān)聯(lián)的，應(yīng)用三角形法則獨立關(guān)聯(lián)尋找合速度時，圖9中的合速度是唯一獨立關(guān)聯(lián)后的相同速度。此時形成的四邊形對應(yīng)一個外接圓，根據(jù)正弦定理和余弦定理可得

2? ? 分解合成法求勻強(qiáng)電場場強(qiáng)問題

3? ? 總? 結(jié)

關(guān)聯(lián)矢量問題的特征和方法實際上是統(tǒng)一的，分解時只能正交分解，合成時只有兩分量垂直時才能直接合成，但這只是一種巧合，因為只有兩分量垂直時彼此是獨立關(guān)聯(lián)分解的另一個量。若兩分量不垂直則不能直接合成，可以作垂線，應(yīng)用四邊形的外接圓的特征，根據(jù)正弦定理和余弦定理求解。誤解是學(xué)習(xí)的常態(tài)，只有深入思考才能達(dá)到理解的狀態(tài)，通過引導(dǎo)學(xué)生對關(guān)聯(lián)矢量問題進(jìn)行深度分析才能有效提高學(xué)生對物理知識的認(rèn)知程度，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］范財政.淺析教學(xué)中的關(guān)聯(lián)速度問題［J］.物理通報，2021（2）：122-123，135.

［2］楊欣.從連接物的運動特征與作用本質(zhì)分析關(guān)聯(lián)速度［J］.物理通報，2022（S2）：76-77.

［3］段石峰.對“合成法”求解勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度的修正［J］.物理教學(xué)，2022，44（6）：48-50.

（欄目編輯? ? 蔣小平）