曹友成 王興成 周世建

［摘? 要］ 初中平面幾何的基礎知識、核心知識可以用“模型”來表達，“模型”簡潔、直觀，能突出核心［1］. 如果學生能準確理解“模型”，善于運用“模型”，就能有效地避免機械刷題，實現(xiàn)“雙減”. 但一味地依賴“模型”，也會導致思維定式，核心素養(yǎng)缺失. 所以需要教師引導學生通過深刻理解、深層思考、探究操作等方式抓住數(shù)學“本質”，這便是提高學生核心素養(yǎng)的具體方式和教學路徑.

［關鍵詞］ 模型；基礎；本質；素養(yǎng)；教學導航

“雙減”是時代的迫切要求，提升學生的核心素養(yǎng)是落實立德樹人的根本途徑. 既要“雙減”，又要有效提升學生的核心素養(yǎng)，初中數(shù)學教師應該樹立什么觀念，應在初中數(shù)學課堂教學中如何操作？ 這些問題一直縈繞在筆者腦海里，揮之不去，驅之不散. 筆者喜出望外地從2022年重慶中考題A卷第25題中找到了答案，認真研究后筆者發(fā)現(xiàn)，該題是在為初中數(shù)學教師的數(shù)學教學導航，也在為學生的數(shù)學學習導航.

試題呈現(xiàn)

（2022年重慶市中考數(shù)學A卷第25題）在銳角三角形ABC中，∠A=60°，D，E兩點分別是邊AB，AC上的動點，連接BE交直線CD于點F.

（1）如圖1所示，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù).

（2）如圖2所示，若AB=AC，且BD=AE，在平面內將線段AC繞點C順時針旋轉60°后得到線段MC，連接MF，N是MF的中點，連接CN，在D，E兩點運動的過程中，猜想線段BF，CF，CN之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想.

（3）若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面得到△ABP，H是AP的中點，K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面得到△QHK，連接PQ. 在D，E兩點運動的過程中，當線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出的值.

試題品鑒

本題是以三角形為背景的幾何題，設計了三個問題，三個問題層次分明，所涉及的知識由淺入深，對能力要求循序漸進，由知識立意與能力立意，潤物細無聲地過渡到素養(yǎng)立意. 本題是中考卷的最后一題，也是全卷的壓軸題，有知識的復雜性、能力的靈活性、素養(yǎng)的綜合性，有效地體現(xiàn)了中考題的甄別功能和教學導向性. 下面，筆者從試題剖析、解法賞析、試題變式三個角度進行品鑒.

（一）試題剖析

本題將“四基”“四能”與幾何問題有機融合，以旋轉、翻折兩種基本幾何變換為線索設計問題串，不僅考查全等三角形的判定、全等三角形的性質、三角形的內角和等基礎知識，還考查了學生的幾何作圖能力、直觀想象能力、邏輯推理能力. 本題看似是一道靜態(tài)幾何題，實際上從第（1）問到第（3）問都是動態(tài)變化的，動中有靜，變中有定.

《義務教育數(shù)學課程標準》指出，初中階段圖形與幾何包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題. “圖形的性質”強調通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形；“圖形的變化”強調從運動變化的觀點來研究圖形，理解圖形的軸對稱、旋轉和平移時的變化規(guī)律，以及變化中的不變量；“圖形與坐標”強調數(shù)形結合，用代數(shù)的方法研究圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標分析和解決問題［2］.

因此，從課程標準的角度審視本題，發(fā)現(xiàn)本題是將“圖形的性質”“圖形的變化”兩個主題有機融合，將課程標準中這兩個主題對學生的要求體現(xiàn)得淋漓盡致.

具體地，第（1）問以“求∠CFE的度數(shù)”這一問題為導向考查全等三角形的構造、判定、性質. 這一問相對簡單，屬于基礎知識與基本技能的考查，是典型的軸對稱全等三角形模型結構的構造，學生容易從這一模型結構產生想象，進而作出輔助線解決問題. 第（2）問以“猜想線段BF，CF，CN之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想”這一問題為驅動，考查學生提出問題、分析問題、解決問題的能力. 提出問題，即猜想三條線段之間的數(shù)量關系；分析問題，即通過觀察圖形，聯(lián)想模型，理清證明猜想的思路；解決問題，即嚴格的邏輯推理論證. 這與“會用數(shù)學的眼光觀察、會用數(shù)學的語言表達、會用數(shù)學思維思考”高度契合. 第（3）問是一個復合問題，需要先探究線段PF取得最小值時的本質條件及圖形結構，進而求出的值. 前者是探究性問題，無模可想，無模可套，考查學生的核心能力、核心素養(yǎng)，要求學生對問題進行深層思考，并深入問題的本質. 后者可視為求線段的長，解三角形. 盡管后者看似思路簡單，但必須以前面的探究為前提，所以探究成為本問的重點和關鍵點.

（二）解法賞析

1. 單一模型，暢通無阻

分析題目的已知條件，結合第（1）問的直觀圖形，很容易發(fā)現(xiàn)其中隱藏著一對軸對稱結構的全等三角形，其基本模型如圖3或圖4所示.

所以，第（1）問的解答思路是，在射線CD上截取CI=BE，并連接BI，如圖5所示. 易證△BCI≌△CBE，所以BI=CE=BD. 所以∠BID=∠BDI=∠CEF. 所以∠CFE=∠A=60°. 當然，也可以按圖6所示的方式構造對稱全等模型來解答問題，兩種證明方法相同.

2. 雙重模型，巧架橋梁

第（2）問的突破口是“N是MF的中點”. 從原題中抽出這一基本結構如圖7所示，由此可展開直觀想象構造第一層模型，即倍長CN構造“X型”全等圖形，如圖8所示，或者倍長MC構造中位線基本模型，如圖9所示.

由此可得到2CN=CL=FR，再進一步比一比、量一量，可直觀想象CL，BF，CF或FR，BF，CF之間的數(shù)量關系為CL=BF+CF，F(xiàn)R=BF+CF. 顯然此時需要構造第二層模型將BF+CF變?yōu)橐粭l線段. 由結論∠CFE=∠BFD=60°，可直觀想象到將線段CF繞點F逆時針旋轉60°后得到圖10，或者將線段BF繞點F順時針旋轉60°后得到圖11，實現(xiàn)變兩條線段之和為一條線段的目的，在旋轉的同時也構造了等邊三角形.

此時只需要證明這兩個基本模型中的BC′=CL=FR=B′C即可，于是這里需要架設連接兩個模型的橋梁. 現(xiàn)以融合圖8、圖11的模型證明CL=B′C為例. 如圖12所示，因為△B′BF與△ABC都是等邊三角形，所以易證△B′BA≌△FBC，所以有AB′=CF，∠B′AB=∠FCB=α. 進一步可得∠B′AC=60°+α，∠FCM=120°-α. 易證FL∥CM，所以∠CFL=60°+α，所以∠B′AC=∠CFL. 又BC=AC=MC=FL，所以△B′AC≌△CFL. 所以B′C=CL，即BF+CF=2CN. 由此可見，連接兩個模型的橋梁就是△B′BA≌△FBC，進而通過推理可得到∠B′AC=∠CFL=60°+α.

當然，從第一層模型的兩種構圖中任選一個與第二層模型的兩種構圖中任選一個進行組合，會得到四種不同的組合. 第一層模型中連線的方式不同，第二層模型中旋轉的方向不同，所以兩層模型組合會有多種不同的情形. 由此也輕松理解了本問解法的多樣性，但萬變不離其宗——根據(jù)已知和問題構建雙重模型并架設橋梁解決問題，其中“?！眮碓从诨A，“橋”來源于能力.

3. 無?？商祝仞B(yǎng)當?shù)?/p>

本題第（3）問是一個復合問題：需要先確定線段PF的長度最小時的圖形狀態(tài)，再確定QK⊥PF時的圖形，最后求的值. 顯然前者是關鍵，它既是解決問題的前提，又是化動為靜的關鍵. 其中P是定點，F(xiàn)是動點，要求線段PF長度的最小值，就要確定點F的軌跡，這是本題的難點，沒有模型，無?？商? 這就需要學生保持冷靜，理性思考，深層思考，把握現(xiàn)象背后的本質. 通過分析容易發(fā)現(xiàn)∠CFE=60°恒定不變，所以其鄰補角∠BFC=120°也恒定不變，由角的大小不變判定∠BFC是圓周角，從而點F的軌跡是弦BC所對的劣弧. 由圓周角與圓心角的關系可進一步確定點F的軌跡及所在圓的圓心（O）、半徑，如圖13所示. 顯然，如圖14所示，當P，F(xiàn)，O三點共線時，線段PF的長度取得最小值，再當QK⊥PF時，得∠PKH=∠QKH=45°. 至此，問題已經轉化為靜態(tài)問題：已知BC的長，求PQ的長. 于是，過點P作PR⊥PA，過點O作OR⊥PR，垂足為R，過點H作HT⊥PK，垂足為T，如圖15所示. 不妨設OB=a，則BC=PA=a，PR=2a. 所以tan∠POR=. 所以tan∠HPT=. 又PH=PA=a，所以在Rt△PHT中可解得PT=a，HT=a. 所以PK=PT+KT=PT+HT=a+a. 所以PQ=PK=a+a. 所以=+.

（三）試題變式

變式幾何題首先需要教師對試題結構有深刻的理解，可通過架設研究背景，確定一般化的推廣方向，歸納結構，這樣不僅可以極大地提高學生對圖形結構的理解與認知，還可以助力學生邏輯推理能力與數(shù)學建模能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1. 建構背景，追本溯源

【以動研靜，挖掘隱圓，找到本質】

第（2）問的本質是定角對定邊可定隱藏圓. 若固定△ABC的邊長，改變點E的位置，則點F在以點O為圓心、BO的長為半徑的圓周上運動，如圖13所示，其中BO=OC，∠BOC=120°. 因此在圓的背景下，BF，F(xiàn)C為☉O的弦.

【聯(lián)動核心，統(tǒng)一背景，深化理解】

為關聯(lián)點F的運動背景，可依托中點N，構造中位線，即倍長CN（FQ∥CN，F(xiàn)Q=2CN），易知B，F(xiàn)，C，Q四點共圓，因此2CN也為☉O的弦，如圖16所示. 由此，本題變成在☉O中研究共圓上一點的三條弦之間的數(shù)量關系. 由對角互補的四邊形BFCQ有一組鄰邊相等，可構造旋轉全等，即△FCQ≌△PBQ，如圖17所示，于是可快速找到解題方法，最終證得△PFQ為等邊三角形，得到BF+FC=2CN. 另外，在B，F(xiàn)，C，Q四點共圓的背景下，由托勒密定理，可得2CN·BC=BF·CQ+CF·BQ，化簡后即為待證結論. 在△BQC為等邊三角形的背景下，線段BC=BQ=CQ，若改變△BCQ的形狀，即改變△ABC的形狀，則可以改變問題中線段的數(shù)量關系.

2. 特殊化引路，一般化推廣

變式思路1：保持△ABC為等腰三角形，改變∠BAC的大小，將條件“BD=AE”變?yōu)椤啊螧AC+∠BFC=180°”.

變式1：如圖18所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，D，E兩點分別是邊AB，AC上的動點，連接BE交直線CD于點F. 若∠BAC+∠BFC=180°，在平面內將線段AC繞點C順時針旋轉30°后得到線段MC，連接MF，N是MF的中點，求證：（-）CN=BF+CF.

變式2：在“變式1”的基礎上，將“∠BAC=30°”變?yōu)椤霸凇鰽BC中，sin=”，將“線段AC繞點C順時針旋轉30°”變?yōu)椤熬€段AC繞點C順時針旋轉∠BAC的度數(shù)”，則結論變?yōu)椤扒笞C：CN=BF+CF”.

一般化推廣1：如圖19所示，在“變式1”的基礎上，將等腰三角形ABC一般化，即不固定∠BAC的大小，將“∠BAC=30°”變?yōu)椤皊in=”，將“線段AC繞點C順時針旋轉30°”變?yōu)椤熬€段AC繞點C順時針旋轉∠BAC的度數(shù)”，則結論變化為“求證：4nCN=mBF+mCF”.

分析：解題時，保持輔助線構法不變的情況，如圖20所示，可得△BCQ∽△PFQ，有=，其中PF=BF+CF，F(xiàn)Q=2CN，=2sin=. 結合上述分析，問題的本質是對△BCQ∽△PFQ這組旋轉相似的刻畫. 此問題也可以由托勒密定理直接得到，本質相同.

一般化推廣2：如圖21所示，在“變式1”的基礎上，將△ABC一般化，即BC ∶ AC ∶ AB=a ∶ b ∶ c，且把“在平面內將線段AC繞點C順時針旋轉30°后得到線段MC”變?yōu)椤斑^點C沿BA方向作射線CG∥AB，在CG上取一點M，使得CM=AB”，于是結論可變化為“求證：2aCN=cBF+bCF”.

變式思路2：在B，F(xiàn)，C，Q四點共圓的背景下，托勒密定理與三弦定理是統(tǒng)一的，BF，F(xiàn)C，2CN均為弦，此題也可由三弦定理展開變式，將邊與角結合起來考慮.

結語

數(shù)學模型是參照某種事物的特征或數(shù)量依存關系，采用數(shù)學語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學結構，其中包括幾何模型. 用數(shù)學模型來解決問題的方法就是數(shù)學模型方法. 數(shù)學模型方法能簡化解決問題的過程，能提高解決問題的效率. 在教學中，教師應引導學生自主建構模型，準確理解“模型”，熟練應用“模型”，這樣既有利于深刻認識相關內容的核心，又能少走彎路，切實“減負”. 但一味地依賴模型會形成思維定式，而且現(xiàn)實世界不是所有的問題都有模型可用，所以，教師還得引導學生變化思維，探究問題的本質.

“數(shù)學本質”是指數(shù)學教學內容本身所固有的根本屬性，是數(shù)學內容區(qū)別于其他學科內容的基本特質，數(shù)學內容的數(shù)學本質決定了該內容在解決相應數(shù)學問題時運用的方法、規(guī)律及作用. 所以，在教學中，教師引導學生抓住數(shù)學內容的數(shù)學本質，就是在引導學生掌握與該教學內容相關聯(lián)的根本方法，理解其中的基本規(guī)律及作用［3］，這就是關鍵能力、核心素養(yǎng).

筆者認為，通過抓數(shù)學本質提升核心素養(yǎng)的基本途徑有：以概念教學為載體，抓概念的內涵就是抓本質；以變式教學為載體，從變化中抓不變，不變的就是本質；以動態(tài)問題為載體，從動中抓靜，靜止或不變的就是本質；以抽象、歸納為手段，從不同中抽象出相同的內容，其中相同的內容就是本質. 只有抓住本質才能應萬變，才能解決未知世界的問題，才能實現(xiàn)創(chuàng)新.

參考文獻：

［1］蘇明海，曹友成. 平面幾何中的邏輯思維與“無?！彼季S［J］. 中學數(shù)學教學參考，2021（30）：65-68.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］石志群. 數(shù)學教學如何突出數(shù)學本質［J］. 數(shù)學通報，2019，58（06）：23-26.