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一、教學(xué)內(nèi)容分析

比例線段作為滬教版九年級(jí)第一冊(cè)“相似三角形”章節(jié)中的重要知識(shí)點(diǎn)，不僅是探究相似三角形基本理論及應(yīng)用的出發(fā)點(diǎn)，更是中考綜合題的高頻考點(diǎn)。本課為初三專題復(fù)習(xí)課，比例線段特別是平行線分線段成比例定理在知識(shí)內(nèi)容上困難不大。通過(guò)習(xí)題練習(xí)，學(xué)生對(duì)解決含有平行線的圖形中比例線段問(wèn)題具有一定的熟練度。然而，比例線段并不作為單一考點(diǎn)出現(xiàn)，常常與函數(shù)或幾何圖形相結(jié)合，許多學(xué)生感到很難找到思路，無(wú)法做到融會(huì)貫通。本文的專題教學(xué)針對(duì)以上情況，由簡(jiǎn)單圖形入手，與學(xué)生共同探索圖形的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，合理引入添加輔助線轉(zhuǎn)化問(wèn)題的思想。同時(shí)結(jié)合2020中考?jí)狠S題，并巧妙運(yùn)用變式練習(xí)讓學(xué)生在類比中得到啟發(fā)，加深學(xué)生對(duì)比例線段的理解。

二、學(xué)情分析

本堂課在兩個(gè)班進(jìn)行授課，兩個(gè)班的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，解題時(shí)簡(jiǎn)單題目可以解決，但對(duì)大題有畏懼心理?！断嗨迫切巍氛鹿?jié)內(nèi)容已授課完畢，進(jìn)入本章的復(fù)習(xí)階段，“A”字型與“8”字型等基本圖形在平時(shí)授課已提及，學(xué)生對(duì)此有一定認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，然而當(dāng)本章知識(shí)點(diǎn)與其他題目相融合，學(xué)生不易識(shí)別出基本圖形，解題較無(wú)頭緒。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：復(fù)習(xí)鞏固平行線分線段成比例定理，并能熟練構(gòu)造“A”字型和“8”字型基本圖形處理比例線段問(wèn)題，解決綜合題中線段長(zhǎng)度以及線段之比等計(jì)算。

過(guò)程與方法：學(xué)生經(jīng)歷解決幾何或函數(shù)綜合題中含有比例線段，總結(jié)輔助線常見添法的過(guò)程，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力，對(duì)比和概括的邏輯思維能力，體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化、方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想。

情感態(tài)度價(jià)值觀：學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值以及解題過(guò)程中的思維方法，樹立解決綜合題的信心。

教學(xué)重難點(diǎn)：對(duì)幾何圖形或函數(shù)中給定的條件進(jìn)行分析，添加輔助線求出比例線段相關(guān)問(wèn)題。在知識(shí)的生成過(guò)程中達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比的能力，確定比例線段綜合題的解決思路。

四、課程實(shí)錄

本節(jié)課在兩個(gè)班進(jìn)行了教學(xué)，完成第一個(gè)班級(jí)試講后，針對(duì)課堂實(shí)際出現(xiàn)的問(wèn)題對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了修改，之后在第二個(gè)班級(jí)完成了教學(xué)?，F(xiàn)將兩次授課中的一些片段重現(xiàn)，并對(duì)此進(jìn)行反思和評(píng)析。

教法一：

（一）復(fù)習(xí)舊知，引入課題

1.平行線分線段成比例定理復(fù)習(xí)

師：課前練習(xí)1的圖中DE∥BC，請(qǐng)列出圖中所有的比例線段。

大部分學(xué)生都能回答全面。

師：大家觀察一下這兩個(gè)平行相似模型，根據(jù)圖形特征我們可以稱作什么型？

生：這兩個(gè)常見的平行相似模型，我們可以根據(jù)圖形特征稱為“A”字型與“8”字型。

2.課前練習(xí)2

師：請(qǐng)大家看課前練習(xí)2，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上且DE=2AE，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，則線段AF長(zhǎng)為_____。

師：線段AF為線段AC上的一段，線段AC長(zhǎng)度已知，若能求出線段AC上各線段之比，線段AF長(zhǎng)度可求。運(yùn)用什么方法可以將邊AC各段之比表示出來(lái)？

生：利用平行相似模型求線段比值。（只有少數(shù)幾個(gè)同學(xué)作答）

師：找一找圖中有基本圖形嗎？

生：沒(méi)有，需要自己構(gòu)造。

師：我們?nèi)绾翁砑虞o助線構(gòu)造基本圖形呢？

生沉默了較長(zhǎng)一段時(shí)間，考慮到時(shí)間關(guān)系，師只能先提出并演示圖4這種方法。

師：除了老師的這種方法，你還有其他構(gòu)造方法嗎？

少數(shù)學(xué)生提出可以過(guò)點(diǎn)D往另一邊作平行線，但基本沒(méi)有學(xué)生想到過(guò)其他節(jié)點(diǎn)作平行線。老師粗略地提示了其他輔助線作法后，進(jìn)入例題講解。

（二）師生互動(dòng)，講解例題

1.例題1：在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D。

（1）求證：∠BAC=2∠ABD；

（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大??；

（3）當(dāng)AD=2，CD=3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)。

老師分析：第（1）問(wèn)考查圓與等腰三角形的基本性質(zhì)，第（2）問(wèn)需對(duì)等腰三角形情況進(jìn)行分類討論，前兩問(wèn)由學(xué)生獨(dú)立完成，老師給出了解析并評(píng)價(jià)。前兩問(wèn)上學(xué)生所花時(shí)間比預(yù)期更長(zhǎng)，格式也沒(méi)有詳細(xì)地書寫與強(qiáng)調(diào)。

師：請(qǐng)大家先獨(dú)立思考完成第（3）問(wèn)，給大家5分鐘的小組討論時(shí)間，同組之間交流一下不同的解法。

學(xué)生進(jìn)行討論，巡視過(guò)程中發(fā)現(xiàn)大部分小組探討并不激烈，沒(méi)有思路的情況較多，需要老師點(diǎn)撥才能動(dòng)起來(lái)。

師根據(jù)課堂情況再次提示：大家觀察一下這一問(wèn)的圖形與課前練習(xí)2的圖形有什么關(guān)聯(lián)嗎？

部分學(xué)生：這一問(wèn)就是把課前練習(xí)的三角形放到了圓當(dāng)中，圖形是類似的。

師：討論時(shí)間到，現(xiàn)在小組代表為我們解說(shuō)一下輔助線及做法。

兩個(gè)小組較為積極，匯報(bào)了多種情況。然而其余小組反應(yīng)不積極，只是聽同學(xué)匯報(bào)。

師：無(wú)論是哪種方法，根本出發(fā)點(diǎn)是什么？

生：添加平行線促成分線段成比例。

師：通常我們能構(gòu)造什么基本圖形？

生：通常是構(gòu)造“A”與“8”字型。

2.例題2：矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD=3，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M，N，求MN的長(zhǎng).

師：要求MN的長(zhǎng)度，我們可以首先通過(guò)求什么得到？

生：線段AF的長(zhǎng)度容易求，只需要知道線段AF各段之比就可以了。

師：那么我們就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成比例線段問(wèn)題了。圖中的矩形有什么特征？

生：矩形的對(duì)邊是互相平行的，可以構(gòu)造平行相似模型求比例線段。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上完成，一名同學(xué)展示結(jié)果。

師在巡視過(guò)程中發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)在輔助線添法上就被困住了，獨(dú)立完成較為困難。大部分同學(xué)基本完成后，師挑選一名同學(xué)的結(jié)果進(jìn)行多媒體展示。

師：例題2將例題1中的圖形與矩形相結(jié)合了，你能說(shuō)一說(shuō)這種類型題的解題思路嗎？

生：求線段比值或長(zhǎng)度等比例線段問(wèn)題，可以通過(guò)添加平行線構(gòu)造基本圖形。

鞏固練習(xí)與課堂小結(jié)等環(huán)節(jié)略。

教法二：

（一）復(fù)習(xí)舊知，引入課題

1.平行線分線段成比例定理復(fù)習(xí)

此部分與教法一相同。

2.課前練習(xí)2：已知：點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，AE交BD于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)G；求證：AF2=FE·FG。

3.課前練習(xí)3：已知：E是正方形ABCD的邊AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE交BC于F，F(xiàn)G∥DC交EC于G；求證：FG= FB。

通過(guò)兩道含有平行線的簡(jiǎn)單習(xí)題，大部分學(xué)生都能運(yùn)用基本圖形解決。

師：這兩道習(xí)題中包含了什么基本圖形？

生：課前練習(xí)2中包含了“8”字型，課前練習(xí)3中包含了“A”字型。

（二）例題精講

1.例題1：△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上且DE=2AE，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F。

（1）求AF：FC的比值；（2）求AF的長(zhǎng)度。

師：線段AD與BD上各段之比已知，如何將這些比例轉(zhuǎn)化到線段AC上？

生：可以利用相似模型求出線段比值。

師：尋找一下圖中有我們常見的相似基本圖形嗎？

生：沒(méi)有，需要自己構(gòu)造。

師：如何構(gòu)造基本圖形呢？想一想我們課前練習(xí)是如何完成的？

生：課前練習(xí)的圖中都包含平行線，可以添加平行線構(gòu)成相似基本圖形。

師：我們過(guò)什么點(diǎn)作平行線比較合適？觀察圖中哪個(gè)點(diǎn)比較特殊？

生：點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作平行線不會(huì)破壞比例關(guān)系。

師：根據(jù)同學(xué)們的想法，老師過(guò)點(diǎn)D作BF的平行線，接下去怎么完成？

絕大多數(shù)學(xué)生都有思路，請(qǐng)一名學(xué)生進(jìn)行作答，并板書詳細(xì)過(guò)程。

師：除了這種方法，還有其他輔助線作法嗎？試一試過(guò)其他點(diǎn)作平行線可行嗎？

學(xué)生根據(jù)提示發(fā)掘出多種輔助線作法，學(xué)生交流展示思考結(jié)果，鼓勵(lì)一題多解。

2.例題2：（中考鏈接—2020中考卷25題）：在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D，當(dāng)AD=2，CD=3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)。

師：觀察例題2與例題1的圖形和條件，可以通過(guò)什么方法求出線段長(zhǎng)度？

生：例題2的圖形，就是例題1的三角形放入了圓中。仍舊可以構(gòu)造平行相似基本模型得到線段比值和長(zhǎng)度。

師：請(qǐng)大家先獨(dú)立思考，之后給大家3分鐘時(shí)間小組討論，交流不同的解法。

老師巡視完成情況，基本每名學(xué)生都能有2種及以上的方法，小組討論過(guò)程中氣氛比較熱烈。討論結(jié)束后，師代表匯報(bào)輔助線及做法，并給予肯定的評(píng)價(jià)。

師：大家的方法非常豐富，無(wú)論哪種方法，我們解決這類問(wèn)題的根本出發(fā)點(diǎn)是什么？

生：添加平行線促成分線段成比例，且通常是構(gòu)造“A”與“8”字型。

五、課程反思與評(píng)析

（一）教學(xué)反思

通過(guò)兩堂課的對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)第一堂課是失敗的，針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行修改完善之后，第二堂課才達(dá)到了一定的效果。經(jīng)過(guò)這兩節(jié)課的教學(xué)，我對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂環(huán)節(jié)進(jìn)行了如下反思。

首先，第一次試講的課前引入環(huán)節(jié)，只是回顧了兩個(gè)平行相似基本模型，就急于讓學(xué)生直接進(jìn)入添加輔助線的解題中，沒(méi)有過(guò)渡習(xí)題，學(xué)生很難將基本圖形與實(shí)際運(yùn)用結(jié)合到一起，間接影響到后面的上課效果與進(jìn)度。第二次授課我在課前引入中增加了兩道相關(guān)習(xí)題，讓學(xué)生逐漸進(jìn)入狀態(tài)，不再是突兀地引出輔助線作法。

第二，第一次試講中的課前練習(xí)2這道習(xí)題放在引入環(huán)節(jié)中不合適，講解得太過(guò)倉(cāng)促并且不夠細(xì)致，導(dǎo)致學(xué)生聽得也稀里糊涂，無(wú)法感受這道題的意義所在。因此第二次授課時(shí)，我將此題放入到例題講解中，引導(dǎo)學(xué)生充分剖析圖形，為引出“2020上海中考?jí)狠S題”解法做鋪墊。同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于一種解法，從交流成果中體會(huì)“一題多解”的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望。相比第一次試講，第二堂課在這道題上花了更多的時(shí)間，然而根據(jù)課堂效果來(lái)看，這道題的探索為后面的授課達(dá)到了事半功倍的效果。

第三，第二次授課時(shí)刪除了中考鏈接題中的前兩問(wèn)，由于前兩問(wèn)與本堂課的重難點(diǎn)關(guān)聯(lián)不大，因此主要將重心側(cè)重于第三問(wèn)的解答中。值得注意的是，通過(guò)例題1的分析，大部分學(xué)生能馬上反應(yīng)過(guò)來(lái)例題1與例題 2的關(guān)聯(lián)性，教學(xué)過(guò)程比第一次試講更加順暢，課堂氛圍更加熱烈。

最后，第二堂課中增加了一道例題，且此題是中考鏈接題的變式練習(xí)，在進(jìn)一步對(duì)比歸納，揭示解題思路的同時(shí)，還引導(dǎo)學(xué)生尋找做題過(guò)程中的問(wèn)題，共同探索解題技巧，優(yōu)化做題方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）課程價(jià)值

1.思維引導(dǎo)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是教學(xué)重要環(huán)節(jié)之一，如果只對(duì)單一習(xí)題進(jìn)行講解而不幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系，達(dá)不到在復(fù)習(xí)中吃透知識(shí)點(diǎn)并舉一反三的效果，學(xué)生在題海戰(zhàn)術(shù)中的積極性無(wú)法被調(diào)動(dòng)起來(lái)，甚至?xí)?duì)綜合題產(chǎn)生畏怯心理。第二次授課的設(shè)計(jì)不急于直接引入中考?jí)狠S題，為了讓學(xué)生更好地感知比例線段與其他知識(shí)點(diǎn)整合時(shí)的解題思路，由淺入深層層遞進(jìn)，從例題1的簡(jiǎn)單圖形入手，注重思維引導(dǎo)而非直接給出輔助線添法。與此同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和合作交流，在互動(dòng)中體會(huì)一題多解的樂(lè)趣，真正做到“新課標(biāo)”所要求的“讓學(xué)生成為課堂的主人”。基于對(duì)基礎(chǔ)圖形的深層次分析，例題2的中考鏈接題就迎刃而解，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)比例線段應(yīng)用中添加平行線構(gòu)造基本圖形的規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信。

2.巧用變式訓(xùn)練，提高核心素養(yǎng)

第二次課時(shí)旨在通過(guò)變式練習(xí)這一有效的教學(xué)方式，讓學(xué)生掌握比例線段應(yīng)用中的數(shù)學(xué)方法以及解決問(wèn)題的策略。例題1與例題2在圖形與條件上有不變也有變，利用類比可得出結(jié)論，讓學(xué)生在“變”中總結(jié)解題方法；例題2變式以及鞏固練習(xí)將圖形與函數(shù)或幾何相結(jié)合，是比例線段與等腰三角形、勾股定理的綜合運(yùn)用，逐步把問(wèn)題引向深處。學(xué)生通過(guò)變式訓(xùn)練不僅掌握了比例線段問(wèn)題中靈活解題的方法，在探究過(guò)程中還培養(yǎng)了學(xué)生類比歸納的邏輯推理能力，核心素養(yǎng)的提升將影響學(xué)生今后學(xué)習(xí)或生活的方方面面。