李必船

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力的提高有重要意義，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必要教學(xué)形式。但是數(shù)學(xué)研究對(duì)象往往比較復(fù)雜和抽象，加之實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ碗y以構(gòu)建，以致數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在中學(xué)課堂上難以開展?！爸腔壅n堂”系統(tǒng)和GeoGebra軟件的應(yīng)用為包括立體幾何在內(nèi)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)帶來了新契機(jī)。在智慧課堂環(huán)境下，教師可以科學(xué)應(yīng)用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)，通過手、眼、腦的配合完成知識(shí)的生成。筆者以一道立體幾何習(xí)題為例，介紹高中數(shù)學(xué)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)思路和實(shí)施方法。

一、研究背景

傳統(tǒng)教學(xué)模式下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要是重現(xiàn)和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論。而現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以信息技術(shù)和專業(yè)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為特征，通過構(gòu)建實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，在信息化和智能化環(huán)境下開展的探究性教學(xué)模式，旨在培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。數(shù)字化實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主實(shí)踐和獨(dú)立操作，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展，它是一種適應(yīng)課程改革與發(fā)展、體現(xiàn)立德樹人精神的新型數(shù)學(xué)教學(xué)模式。

章建躍在《課程改革呼喚數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》一文中指出：以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)的課改訴求，主要體現(xiàn)在調(diào)動(dòng)各種感官參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用的活動(dòng)，教師借助于適當(dāng)?shù)墓ぞ?，讓學(xué)生通過動(dòng)手試驗(yàn)、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考等全方位的活動(dòng)，經(jīng)歷“事實(shí)—概念—性質(zhì)（關(guān)系）—結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）—應(yīng)用”的完整學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，形成“做數(shù)學(xué)”的體驗(yàn)和意識(shí)，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，為發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。很多教師的數(shù)學(xué)教學(xué)有所欠缺，特別是缺少概括概念所必需的“事實(shí)”、歸納性質(zhì)所需要的素材、訓(xùn)練應(yīng)用能力所需要的好問題，以及以反映真實(shí)的問題情境為載體的過程性教學(xué)，為此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可謂是正當(dāng)其時(shí)。

廣大教師對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要性是充分認(rèn)同的，經(jīng)常在“情境創(chuàng)設(shè)”和“探究”等教學(xué)環(huán)節(jié)中應(yīng)用信息技術(shù)演示實(shí)驗(yàn)。但僅憑演示，學(xué)生還是沒有機(jī)會(huì)動(dòng)手操作，只能獲得間接經(jīng)驗(yàn)，效果大打折扣。造成這種現(xiàn)象的原因有兩點(diǎn)：一是缺少用于指導(dǎo)教師開展學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)的一般模式，完全依靠教師設(shè)計(jì)與研究，費(fèi)時(shí)費(fèi)力；二是開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要較多教學(xué)時(shí)間，在“提升核心素養(yǎng)”和“刷題提高考試成績(jī)”的選擇中，教師多傾向于后者。

二、智慧課堂環(huán)境下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?/p>

智慧課堂的普及和數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新創(chuàng)造了條件。智慧課堂系統(tǒng)支持教室內(nèi)多種終端設(shè)備的互聯(lián)互通，具備實(shí)時(shí)的數(shù)據(jù)收集和分析能力，便于師生間、生生間的立體化互動(dòng)，使教學(xué)環(huán)境更為開放，進(jìn)而使以學(xué)定教的差異化“精準(zhǔn)教學(xué)”成為可能，促進(jìn)個(gè)性化教學(xué)和因材施教的真正實(shí)現(xiàn)。

教師開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)需要專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件支持，其中GeoGebra軟件就是比較理想的選擇。GeoGebra軟件尤其在立體幾何方面功能強(qiáng)大，是立體幾何實(shí)驗(yàn)的好工具。

筆者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ阶隽巳嫜芯?，基本?nèi)容包括：明確實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，確定實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)步驟，建立實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，組織學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)，提交實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析實(shí)驗(yàn)原理，總結(jié)與拓展。

教師設(shè)定實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)要考慮以下兩點(diǎn)：一是明確知識(shí)與技能目標(biāo)，使之起到輔助常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用，即針對(duì)常規(guī)教學(xué)中的難點(diǎn)，用實(shí)驗(yàn)的方法在真實(shí)的情境中分析和解決問題；二是明確核心素養(yǎng)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)先要有令學(xué)生感興趣的形式與內(nèi)容，讓學(xué)生在真實(shí)情境中觀察、思考、總結(jié)、交流討論，這個(gè)過程就是學(xué)生素養(yǎng)提升的過程。學(xué)生獲得的直接經(jīng)驗(yàn)對(duì)素養(yǎng)的提升作用遠(yuǎn)超傳統(tǒng)教學(xué)模式下獲得的間接經(jīng)驗(yàn)。教師在選擇實(shí)驗(yàn)內(nèi)容時(shí)，要將素養(yǎng)提升作為主要因素考慮。

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕⒂袃煞N形式：對(duì)于平面上的函數(shù)與幾何問題，宜以學(xué)生自主建立模型為主，既提升學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng)，又保證實(shí)驗(yàn)過程的完整性；對(duì)于立體幾何等其他實(shí)驗(yàn)，則以教師建立實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蠓窒斫o學(xué)生的形式為主，以提高實(shí)驗(yàn)的效率和準(zhǔn)確性。

智慧課堂系統(tǒng)的應(yīng)用為實(shí)驗(yàn)結(jié)果的提交、交流討論提供了便利：教師在系統(tǒng)中發(fā)布“主觀題作業(yè)”；學(xué)生截圖或拍照提交作業(yè)，提交后可以與同伴的實(shí)驗(yàn)作品進(jìn)行對(duì)比。接下來的實(shí)驗(yàn)原理分析還是以學(xué)生講評(píng)為主，教師要做好串聯(lián)、并聯(lián)和總結(jié)。智慧課堂系統(tǒng)中“學(xué)生講”的功能支持學(xué)生將平板電腦信息投影至教室主屏幕，學(xué)生只需在自己的平板電腦上操作就可以在全班范圍內(nèi)展示實(shí)驗(yàn)操作與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

三、習(xí)題呈現(xiàn)

2019年人教A版《普通高中教科書 數(shù)學(xué)??必修 第二冊(cè)》習(xí)題8.5“拓廣探索”第15題如下。

如圖1所示，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器-內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器傾斜。隨著傾斜程度的不同，有下面五個(gè)命題：

（1）有水的部分始終呈棱柱形；

（2）沒有水的部分始終呈棱柱形；

（3）水面所在四邊形的面積為定值；

（4）棱始終與水面所在平面平行；

（5）當(dāng)容器傾斜如圖1（3）所示時(shí)，·是定值。

其中所有正確命題的序號(hào)是____________，為什么？

簡(jiǎn)析：答案是（1）、（2）、（4）、（5）。旋轉(zhuǎn)過程中，棱與地面的夾角從90°減小到0°，有水的部分和沒有水的部分始終是棱柱，且棱柱高為定值，底面積為定值。

受版面限制，教材只能展現(xiàn)個(gè)別場(chǎng)景，此題還有很大的發(fā)揮空間。教師將這道習(xí)題改編為一項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以進(jìn)一步挖掘該題的思維價(jià)值，發(fā)現(xiàn)并提出更多的問題。旋轉(zhuǎn)過程中水的形狀除了與旋轉(zhuǎn)的角度有關(guān)，還與圖1中水面的高度有關(guān)，教師基于此，設(shè)圖1（1）中容器高度為，水的高度為，引導(dǎo)學(xué)生分三種情況討論：0<<0.5；=0.5；0.5<<。此實(shí)驗(yàn)可以在兩個(gè)層次上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。一是提升“直觀想象”素養(yǎng)，這是學(xué)生學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)，也是提升其他素養(yǎng)的基礎(chǔ)。教師讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)環(huán)境中觀察與體驗(yàn)，獲得直接經(jīng)驗(yàn)，逐步使所有學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)達(dá)到培養(yǎng)要求。二是提升“數(shù)學(xué)計(jì)算”素養(yǎng)，習(xí)題本身并沒有復(fù)雜的運(yùn)算問題，教師只需追問：水面什么時(shí)候經(jīng)過點(diǎn)或點(diǎn)，就得到一個(gè)有趣的計(jì)算問題。但這需要較高的直觀想象素養(yǎng)作為基礎(chǔ)，學(xué)生需要通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中，有水部分的形狀和沒有水部分的形狀都是棱柱，且兩個(gè)棱柱的底面積和高都是定值。

四、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

（一）建立實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

第1步：依次建立5個(gè)滑動(dòng)條、、、、，分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，底面在地面上時(shí)水的高度，旋轉(zhuǎn)角（側(cè)棱與軸的夾角），∈[0°，90°]。

第2步：輸入=（0，0，0），=（0，，0），=（- cos（），0， sin（）），=平移（，向量（，）），=（ sin（），0， cos（）），得到“3D繪圖區(qū)”的、、、、五個(gè)點(diǎn)。

第3步：選擇“棱柱”工具，依次點(diǎn)擊、、、、、，得到四棱錐。

第4步：輸入=如果（<=0.5， ，-）。是一個(gè)過渡變量，設(shè)置此變量的目的是將0.5?<<時(shí)的情況轉(zhuǎn)化為0<<0.5時(shí)的情況，減少制作的工作量。

第5步：輸入=如果（<=tan（2/）， cos（）+0.5?tan（）cos（）， 如果（<=tan（（2-2）/）， sqrt（2 cos（） sin（）），sin（）（（ ）/+ 0.5?tan（90°-））））。變量表示在0<<=0.5的情況下水面的高度。

第6步：輸入=（0，0，如果（<=0.5，，（）

-）），得到旋轉(zhuǎn)過程中水面與軸的交點(diǎn)。“如果”指令的運(yùn)用是配合第5步中的轉(zhuǎn)化。

第7步：輸入垂直平面（，軸），得到過點(diǎn)且垂直于軸的平面。

第8步：輸入相交路徑（，），得到平面與容器的交線，即旋轉(zhuǎn)過程中的水面。此處省略對(duì)后續(xù)視圖的美化。

至此，GeoGebra實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭谱魍瓿桑瑢W(xué)生可以在自己的平板電腦上開展實(shí)驗(yàn)活動(dòng)（如圖2）。

（二）指向“直觀想象”素養(yǎng)發(fā)展的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：任取一組變量、、、的值，改變的值控制容器旋轉(zhuǎn)，觀察有水的部分與沒有水的部分呈現(xiàn)的形狀分別是什么。完成下面的觀察報(bào)告：

當(dāng)=_______，=_______，=_______，=_______時(shí)，隨著旋轉(zhuǎn)角由0°增加到90°，有水部分的形狀依次是：_______、_______、_______；沒有水部分的形狀依次是：_______、_______、_______。

實(shí)驗(yàn)步驟：1.學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)，截圖提交實(shí)驗(yàn)結(jié)果。2.學(xué)生投屏主講分析實(shí)驗(yàn)原理。3.教師串聯(lián)、并聯(lián)、總結(jié)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

當(dāng)0<<0.5時(shí)，有水部分的形狀依次是：、、；沒有水部分的形狀依次是：、、。

當(dāng)=0.5時(shí)，有水部分的形狀依次是：、、；沒有水部分的形狀依次是：、、。

當(dāng)0.5?<<時(shí)，有水部分的形狀依次是：、、；沒有水部分的形狀依次是：、、。

（三）指向“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)發(fā)展的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

（四）指向“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)發(fā)展的課后拓展實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

五、結(jié)語

實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要形式，是常規(guī)教學(xué)的必要補(bǔ)充，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有不可替代的作用。教師要推進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與信息技術(shù)深度融合，要考慮學(xué)生的差異性，設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，在實(shí)驗(yàn)中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)和個(gè)別指導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)真正的手眼腦并用，避免流于形式的“表演”。立體幾何實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹谱髻M(fèi)時(shí)費(fèi)力，教師學(xué)習(xí)應(yīng)用新的軟件和技術(shù)能大大提高效率。對(duì)教師而言，提高信息素養(yǎng)是職業(yè)要求，也是成長(zhǎng)路徑。

注：本文系安徽省教育信息技術(shù)研究2022年度立項(xiàng)課題“智慧環(huán)境下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)校本課程的研究”（課題編號(hào)：AH2022031）的研究成果。

參考文獻(xiàn)

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（作者系安徽省合肥市廬陽高級(jí)中學(xué)教師）

責(zé)任編輯：祝元志