一個二面角公式的應(yīng)用與推廣

湖北省武漢市常青第一中學(xué) (430024) 葉 莉

立體幾何中求解二面角問題是高考中比較重要的考查內(nèi)容,主要考察學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力,備受命題者的青睞.因此,掌握求二面角的一些特殊方法或公式是快速解決立體幾何問題的關(guān)鍵.本文是從一個公式出發(fā),通過例題解析的方式探究二面角問題的解法,以期對讀者有所幫助.

圖1

cosγ=cosα·cosβ②.

下面以一道例題來說明公式的應(yīng)用.

例1 (2022年湖北聯(lián)考題節(jié)選)如圖2,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E在CC1上,且CE=2EC1=2．試求二面角A-BE-A1的余弦值．

圖2

由例題1的計(jì)算過程可知,利用公式①求解,需要求3個角的三角函數(shù)值.然而有些題目中的三角函數(shù)值并不是很好求取.為此,我們需要把公式①進(jìn)行一般化處理.

如圖3所示,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平BCD,AB=AD,G為BD中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)E在棱AD上,且DE=λEA.若二面角E-BC-D的平面角θ,GA=h,GD=m,∠CBD=β,則

圖3

根據(jù)題意,可知二面角E-BD-C的平面角等于90°,因此由公式②可得cosα=cosβ·cosγ.

對二面角E-BC-D,應(yīng)用公式①,可得

圖4

(1)求證:平面OAC⊥平面ABC;

(2)若E為OC中點(diǎn),求二面角E-AB-C的余弦值．

(2)由(1)知OD=1=h,DC=1=m,∠CAB=60°=β,因?yàn)镋為OC中點(diǎn),所以CE=EO,即λ=1.設(shè)二面角E-AB-C為θ,代入公式③得

例3 如圖5,在三棱錐S-ABC中,SA=SC,D為AC的中點(diǎn),SD⊥AB.

圖5

(1)證明:平面SAC⊥平面ABC;

(2)若△BCD是邊長為3的等邊三角形,點(diǎn)P在棱SC上,PC=2SP,且二面角P-AB-C為30°,求VS-ABC的體積.

解:(1)因?yàn)镾A=SC,D為AC的中點(diǎn),所SD⊥AC, 又由于SD⊥AB,且AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC,又SD?平面SAD,從而平面SAC⊥平面ABC.