重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)(401220) 田 鵬

1. 試題呈現(xiàn)

試題(安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2022 年秋季聯(lián)賽第21題)如圖1,A,B為橢圓的左,右頂點(diǎn),焦距為,點(diǎn)P在橢圓E上,直線PA,PB的斜率之積為.

圖1

(1)求橢圓E的方程;

(2) 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C(?2,2),直線PC交橢圓E于點(diǎn)M(M,P不重合),直線BM,OC交于點(diǎn)G. 求證:直線AP,AG的斜率之積為定值,并求出該定值.

試題第(1)問考查橢圓方程的求法,屬于基礎(chǔ)知識(shí). 由直線PA,PB的斜率之積為,以及焦距為,不難求得橢圓E的方程為. 第(2)問設(shè)計(jì)巧妙,結(jié)論優(yōu)美,背景豐富. 條件中涉及的點(diǎn)、線位置關(guān)系較多,具有一定的綜合性. 能有效考查學(xué)生的直觀想象,邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本文重點(diǎn)探究第(2)問.

2. 解法探究

3. 拓展探究

如果A,B不是橢圓的左、右頂點(diǎn),而是橢圓上任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),結(jié)論是否成立? 經(jīng)過(guò)研究,有下述定理2.

定理2如圖2, 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓,A,B是橢圓E上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn). 橢圓E在點(diǎn)A處的切線為l,點(diǎn)C是l上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)A). 點(diǎn)P在橢圓E上,直線PC交橢圓E于點(diǎn)M(M,P不重合). 直線BM,OC交于點(diǎn)G,則直線AP,AG的斜率之積為定值,且AG//PB.

圖2

4. 結(jié)語(yǔ)

文章立足于一道模擬試題的解法,挖掘試題背景,并將結(jié)論推廣到一般的橢圓和雙曲線中,得到了定理1-3. 在解析幾何的教學(xué)過(guò)程中,教師要善于啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用類比思想和特殊到一般的思想發(fā)現(xiàn)新結(jié)論,幫助學(xué)生理清試題的來(lái)龍去脈,培養(yǎng)學(xué)生勇于數(shù)學(xué)探索的科學(xué)精神,不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.