等差等比數(shù)列任意三項(數(shù)列之和)的等量關(guān)系及應(yīng)用

廣東省惠州市華羅庚中學(xué)(516000) 代 軍

文[1] 利用等差數(shù)列求和公式Sn=An2+Bn的特性, 用待定系數(shù)法證明了任意的n,p,q∈ N+, 有成立. 但這種方法計算量大,不利于把握與進一步學(xué)習(xí). 下面給出另一種簡潔的證明方法.

一、引理

平面向量三點共線定理: 若O為平面上任意一點,則A,B,C三點共線的充要條件是.

二、等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的另證

三、結(jié)論1 的推廣及延伸

四、應(yīng)用舉例

注從上面的證明可以看到,結(jié)論2 和結(jié)論3 具有很好的對偶關(guān)系,而結(jié)論1 和結(jié)論4 則沒有這種關(guān)系,實際上,這是我們考慮的重點不同所致, 本文的重點是探討等差數(shù)列(或等比數(shù)列)任意三項an,ap,aq(或者Sn,Sp,Sq)之間的直接等量關(guān)系(而非對偶關(guān)系). 實際上,根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的對偶關(guān)系,即加法對應(yīng)乘法,減法對應(yīng)除法,乘法對應(yīng)乘方,除法對應(yīng)開方,由結(jié)論1 是不難得到例4 的結(jié)果的,這也正是文[2]的成果之一,有興趣的讀者可以參考文[2]的具體證明,此處省略.