初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生知識遷移能力的培養(yǎng)路徑探析

【摘要】任何學(xué)習(xí)過程本身都可以看作是已有知識、已有經(jīng)驗(yàn)的遷移過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也不例外。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，知識遷移是一種較為普遍的現(xiàn)象，它是學(xué)習(xí)者獲取數(shù)學(xué)新知識的重要途徑和方法。將知識遷移理論運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力，還可以大大提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

【關(guān)鍵詞】知識遷移；初中數(shù)學(xué)；已有經(jīng)驗(yàn)；路徑

作者簡介：楊麗萍（1982—），女，南京理工大學(xué)附屬中學(xué)。

蘇霍姆林斯基曾說過：“教學(xué)就是教給學(xué)生借助已有知識去獲得新知識的能力，并使學(xué)習(xí)成為一種探索活動?！边@句話強(qiáng)調(diào)了知識遷移的重要性?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，教師應(yīng)以學(xué)生已有的知識水平和現(xiàn)有的知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，教學(xué)要面向全體學(xué)生，在教學(xué)過程中注重因材施教和啟發(fā)式教學(xué)。為此，在教學(xué)過程中，教師要發(fā)揮好引導(dǎo)作用，處理好內(nèi)容講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會獨(dú)立思考、自主探索以及合作交流，啟迪學(xué)生思維的火花，讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)技能，能體會并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法去解決問題，從而獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)［1］。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用知識遷移理論能夠較好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，加快學(xué)生接受和掌握新知識的速度。在這樣的教學(xué)模式中，學(xué)生會慢慢形成知識遷移能力，發(fā)展一定的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，這有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)新知識的理解與掌握。本文就知識遷移理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，從三個方面進(jìn)行論述。

一、構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)—培養(yǎng)知識遷移能力的前提

遷移能力指熟練進(jìn)行同類型知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)換和運(yùn)用的能力。若學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不能靈活地進(jìn)行知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化和遷移，主要原因是學(xué)生沒有形成知識點(diǎn)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。因此，構(gòu)建系統(tǒng)性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是知識遷移的必要條件，能夠讓已有知識與新問題之間建立起實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，使新問題、新情境與已有知識同化，通過同化、類化將新知識并軌到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。這樣，新的情境、新的問題變成了學(xué)生熟悉的知識，能夠減少學(xué)生對新知識的陌生感，讓學(xué)生在不知不覺中實(shí)現(xiàn)知識的遷移和運(yùn)用［2］。

例如，在教學(xué)一次函數(shù)的相關(guān)知識時(shí)，為了讓學(xué)生了解一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，筆者通過列表、描點(diǎn)和畫圖的方法在平面直角坐標(biāo)系中畫出了一次函數(shù)y = 2x - 1的圖像。通過圖像，學(xué)生可以較為直觀地看出函數(shù)y = 2x - 1的一些性質(zhì)。這是進(jìn)行函數(shù)研究的一般性步驟與方法。當(dāng)學(xué)生已經(jīng)了解了函數(shù)研究的一般流程，并在腦海中形成了一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)新的函數(shù)，如反比例函數(shù)、二次函數(shù)等將起到積極的作用。在研究新函數(shù)的過程中，學(xué)生要看到新函數(shù)與一次函數(shù)在表達(dá)式上的差異，在利用已有舊知解決新問題時(shí)，要抓住新舊知識的鏈接點(diǎn)，這樣學(xué)習(xí)才能事半功倍。當(dāng)然，學(xué)生也要看到新知識的“增長點(diǎn)”，不能一味地照抄照搬舊經(jīng)驗(yàn)。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的知識遷移，并鼓勵學(xué)生將舊的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再提升。

在剛開始研究二次函數(shù)y = x2的圖像和性質(zhì)時(shí)，有些學(xué)生感到無從下手。因此，在教學(xué)中，筆者首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧了一次函數(shù)y = 2x - 1的圖像與性質(zhì)的探討方法，喚醒學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，并在列表前引導(dǎo)學(xué)生思考二次函數(shù)與一次函數(shù)在表達(dá)式上的不同之處，從而引導(dǎo)學(xué)生思考如何將這種不同體現(xiàn)在列表上。在研究過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，列表時(shí)表格中的數(shù)據(jù)可以從0開始對稱地向正數(shù)、負(fù)數(shù)兩邊去取值，這種自變量取值的對稱性，影響著該函數(shù)圖像是關(guān)于y軸對稱的圖像，該函數(shù)圖像不再像一次函數(shù)的圖像是一條直線，而是一條平滑的曲線，即二次函數(shù)y = x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的拋物線。

接著，筆者讓學(xué)生對函數(shù)y = |x - 1|的圖像與性質(zhì)進(jìn)行研究，并寫出該函數(shù)具備的三條性質(zhì)。學(xué)生對于這種含有特殊符號—絕對值的函數(shù)是第一次接觸，不知從何下手。因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，讓學(xué)生想想這個函數(shù)在形式上和他們已經(jīng)學(xué)過的哪類函數(shù)最接近，學(xué)生不約而同地想到了一次函數(shù)。筆者再引導(dǎo)學(xué)生將該函數(shù)轉(zhuǎn)化成熟悉的一次函數(shù)。不少學(xué)生都

想到了去絕對值，進(jìn)而得到函數(shù)形式。

為了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究該函數(shù)的性質(zhì)，筆者讓學(xué)生在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出x≥1時(shí)，一次函數(shù)y = x - 1的函數(shù)圖像，以及x＜1時(shí)，一次函數(shù)y = 1 - x的圖像。在完成以上操作后，筆者以問題引導(dǎo)學(xué)生，讓他們思考在研究函數(shù)時(shí)，一般從哪些方面談?wù)摵瘮?shù)的性質(zhì)。學(xué)生能夠回答：“函數(shù)的對稱性、增減性以及函數(shù)的最值等”。當(dāng)學(xué)生掌握了這些經(jīng)驗(yàn)后，解決函數(shù)問題自然就輕而易舉了。最后，筆者要求學(xué)生仔細(xì)觀察平面直角坐標(biāo)系中y = |x - 1|的圖像，思考該函數(shù)圖像具備哪些性質(zhì)。學(xué)生可以得出答案：1.該函數(shù)圖像關(guān)于直線x = 1對稱。2.當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大。3.（1，0）是該函數(shù)圖像的最低點(diǎn)，故當(dāng)x = 1時(shí)，y有最小值0。

在函數(shù)問題的解決過程中，學(xué)生形成了函數(shù)相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，在遇到不熟悉的函數(shù)形式時(shí)，能夠根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)去探究新函數(shù)的圖像與性質(zhì)?？梢哉f學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，是知識遷移能力培養(yǎng)的前提條件。

二、引導(dǎo)學(xué)生類比—培養(yǎng)知識遷移能力的關(guān)鍵

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要做到舉一反三、觸類旁通。為此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將知識點(diǎn)和問題進(jìn)行類比與轉(zhuǎn)化?！邦惐取笔侵笇栴}納入同類型的知識結(jié)構(gòu)中，并從這個結(jié)構(gòu)中尋找解決問題的方法和策略的過程?！稗D(zhuǎn)化”也稱“化歸”，是數(shù)學(xué)中最常用的思想。轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)就是利用已經(jīng)掌握的、簡單的、基本的、具體的知識，把未知化為已知，把復(fù)雜化為簡單，把不熟悉化為熟悉，把抽象化為具體等，從而解決各種新問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是不斷地把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的、熟知的舊知識的過程，從而將新知與舊知、未知與已知相鏈接，利用所構(gòu)建的知識結(jié)構(gòu)去“類化”新問題。類比和轉(zhuǎn)化是聯(lián)系新舊知識的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生知識遷移能力的關(guān)鍵。

例如，方程（組）是初中數(shù)學(xué)代數(shù)的重要組成部分，為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題的解決提供計(jì)算上的保障。在初中階段，學(xué)生最先學(xué)習(xí)的是一元一次方程。這類方程的求解比較簡單，學(xué)生較易掌握。在學(xué)習(xí)分式方程、一元二次方程時(shí)，教師往往是將分式方程、一元二次方程和一元一次方程作比較，通過類比、轉(zhuǎn)化的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，通過降次將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。這樣，學(xué)生能夠較快掌握這兩類方程的解法，更好地應(yīng)有所學(xué)的新知識，提升解決問題的實(shí)踐能力。

例如，在求解分式方程 = 時(shí)，許多學(xué)生感到無從下手。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過的一元一次方程出發(fā)，如 = ，讓學(xué)生回憶該方程是如何求解的。學(xué)生異口同聲地回答：“去分母?！苯又?，筆者讓學(xué)生比較這兩個方程的區(qū)別和聯(lián)系。部分學(xué)生通過類比找到了解決該分式方程的突破口—兩邊同乘x（x + 1），去掉分式方程的分母，可得到一元一次方程20（x + 1） = 24x，這樣就輕松求解了該分式方程。在教學(xué)中，教師要特別提醒學(xué)生，解分式方程相對于解一元一次方程，多了去分母的這個步驟，因?yàn)閮蛇呁说氖谴鷶?shù)式，不能確定該代數(shù)式一定不為零，所以解分式方程還需要檢驗(yàn)。

再例如，在求解（2x - 1）2 - x2 = 0時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的方法不適用于解此方程。因?yàn)閷W(xué)生對平方差公式較為熟悉，所以他們?nèi)菀紫氲綄⒆筮呉蚴椒纸獾玫剑?x - 1 + x）（2x - 1 - x） = 0，即（3x - 1）（x - 1） = 0。通過類比“兩個因數(shù)的積為零，至少有一個因數(shù)為零”，學(xué)生可得到“兩個因式的積為零，這兩個因式中至少有一個因式為零”。這樣，（2x - 1）2 - x2 = 0就可以轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程3x - 1 = 0或x - 1 = 0，問題迎刃而解。

可見，數(shù)學(xué)教學(xué)中類比和轉(zhuǎn)化的恰當(dāng)應(yīng)用，能夠讓學(xué)生通過已有知識的有效遷移，理解、應(yīng)用新知識。因此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識進(jìn)行類比、轉(zhuǎn)化，是培養(yǎng)學(xué)生知識遷移能力的關(guān)鍵。

三、提高學(xué)習(xí)能力—培養(yǎng)知識遷移能力的目標(biāo)

數(shù)學(xué)的教學(xué)，要注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。為了培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，初中數(shù)學(xué)教師要重視培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力，從而使得學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力有所提升。在傳統(tǒng)教學(xué)中，部分學(xué)生的知識體系零散、不完整，他們往往對知識點(diǎn)的掌握不夠透徹，看不出知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此也無法實(shí)現(xiàn)知識的順利遷移。而當(dāng)學(xué)生具備知識遷移能力后，他們便可以實(shí)現(xiàn)知識點(diǎn)之間的貫通理解和互相轉(zhuǎn)換，避免在學(xué)習(xí)中死記硬背，這有利于學(xué)生認(rèn)識知識點(diǎn)的本質(zhì)和規(guī)律，從而進(jìn)一步完善自己的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。在教學(xué)中，教師不妨設(shè)計(jì)階梯型問題和變式問題等來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，讓學(xué)生運(yùn)用已有知識和已有經(jīng)驗(yàn)解答問題，實(shí)現(xiàn)知識的遷移，從而完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識體系，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

以“根的判別式”這節(jié)課的教學(xué)為例，通過上節(jié)課求根公式的推導(dǎo)，學(xué)生已經(jīng)掌握了一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的情況，即當(dāng)b2 - 4ac＞0時(shí)，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2 - 4ac = 0時(shí)，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2 - 4ac＜0時(shí)，該方程沒有實(shí)數(shù)根。在學(xué)生得到這幾個重要結(jié)論之后，筆者為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣的配套練習(xí)：1.關(guān)于x的一元二次方程x2 - （2a + 1）x + a2 = 0，當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？2.試說明k為任何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程x2 + kx - 1 = 0必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。

第1題對于學(xué)生而言比較容易，只要求出判別式b2 - 4ac = 4a + 1＞0，就可以求出a的范圍。而第2題是一個證明題，部分學(xué)生在讀題后沒有思路。為此，在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生將第2題做分解：（1）請先算出這個一元二次方程的根的判別式，即b2 - 4ac = k2 + 4；（2）如果這個一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么判別式的符號有何要求？有了第1題的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易得到“要證明判別式大于零”的答案。此時(shí)學(xué)生再去觀察判別式k2 + 4的形式，可以發(fā)現(xiàn)，無論k為任何實(shí)數(shù)時(shí)，k2≥0，所以k2 + 4＞0，即證得b2 - 4ac＞0，故該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。

在學(xué)生解決完這兩題后，筆者又增加了兩個拓展題：3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2 - （t - 1）x + t - 3 = 0，求證：對于任意實(shí)數(shù)t，必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2 - （k + 5）x + k2 + 2k + 25 = 0，判斷方程根的情況。在第2題的啟發(fā)下，學(xué)生容易算出第3題根的判別式：b2 - 4ac = ［- （t - 1）］ 2 - 4×1×（t - 3） = t2 - 6t + 13。此時(shí)，筆者再引導(dǎo)學(xué)生將這個二次三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為第2題中的形式，即表示成一個正的平方項(xiàng)和一個正數(shù)和的形式。部分同學(xué)豁然開朗，很快想到將這個式子配方得到b2 - 4ac = t2 - 6t + 13（t - 3）2 + 4，對于任意的實(shí)數(shù)，有（t - 3）2≥0，所以（t - 3）2 + 4＞0，即證得b2 - 4ac＞0，故該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。

對于第4題，要判斷該方程根的情況，學(xué)生自然需要算出根的判別式：b2 - 4ac = ［- （k + 5）］ 2 - 4××（k2 + 2k + 25） = - k2 + 6k - 25。有了第3題的解答經(jīng)驗(yàn)，部分學(xué)生非常順利地想到對這個二次三項(xiàng)式配方，這是學(xué)生知識遷移能力形成的一個直接表現(xiàn)。在筆者的引導(dǎo)下，以及通過和第3題的類比，學(xué)生找到了解決的思路，順利完成了二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次三項(xiàng)式的配方，即b2 - 4ac = - k2 + 6k - 25 = - （k - 3）2 - 16。對于任意的實(shí)數(shù)k，有（k - 3）2≥0，故 - （k - 3）2≤0，所以 - （k - 3）2 - 16＜0，即證得b2 - 4ac＜0，故判斷出該方程無實(shí)數(shù)根。

在這節(jié)課的教學(xué)中，通過梯度型問題的設(shè)計(jì)，學(xué)生將已經(jīng)掌握的知識逐步遷移到未知問題中，通過類比的方法解答出新問題，取得了較好的學(xué)習(xí)效果。

結(jié)語

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其已有的知識經(jīng)驗(yàn)是緊密相連的，他們的學(xué)習(xí)過程是一個知識遷移的過程，是知識經(jīng)驗(yàn)的激活、利用和提升的過程，也是建立在已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一個自主構(gòu)建的過程。知識遷移能力的高低，直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。因此，教師應(yīng)將知識遷移能力的培養(yǎng)融入日常教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識的本領(lǐng)，使他們習(xí)得數(shù)學(xué)技能，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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