彈性薄殼動力學(xué)比擬的曲面論基礎(chǔ)*

薛 紜, 陳立群

(1.上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院, 上海 201418;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院 力學(xué)系, 廣東 深圳 518055)

0 引 言

隨著近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,超細(xì)長一維彈性體和超薄大幅的二維彈性體力學(xué)受到研究者們的關(guān)注.其變形特征是彈性小應(yīng)變在細(xì)長或?qū)挿较蚶鄯e成大位移,同時伴隨著有限運動.前者如脫氧核糖核酸(DNA),后者如航天器大型太陽帆板等[1-2].這給力學(xué)建模提出新的問題,成為彈性桿和彈性板殼力學(xué)近代發(fā)展的方向之一.彈性細(xì)桿力學(xué)的基礎(chǔ)是1859年Kirchhoff等建立的彈性細(xì)桿靜力學(xué)理論[3],其核心是根據(jù)平衡微分方程與剛體動力學(xué)方程在數(shù)學(xué)形式上的相似性提出的Kirchhoff動力學(xué)比擬方法.剛體動力學(xué)的概念和方法得到了全新的應(yīng)用.在平截面假設(shè)下,以中心線的弧坐標(biāo)為自變量,截面的姿態(tài)坐標(biāo)和“角速度”概念用以描述彈性細(xì)桿的位形和變形,后者稱為彎扭度[4].為連續(xù)的彈性細(xì)桿提供了一個新的離散化方法,其平衡位形成為一個3自由度力學(xué)系統(tǒng),方便處理小應(yīng)變大位移問題,已成為描述彈性細(xì)桿復(fù)雜位形的有力工具[5].分析力學(xué)的概念和方法[6]、非完整力學(xué)[7-8]、對稱性和守恒量理論[9]、Lyapunov穩(wěn)定性[10-11],甚至混沌[12]等動力學(xué)概念和方法都可移植或應(yīng)用到彈性細(xì)桿靜力學(xué),并賦予新的含義.姿態(tài)坐標(biāo)和彎扭度使曲線微分幾何的基本概念有了新的表達,并成為Kirchhoff動力學(xué)比擬方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

鑒于Kirchhoff動力學(xué)比擬方法在彈性細(xì)桿力學(xué)建模和分析中的優(yōu)勢,以及彈性薄殼中面可認(rèn)為是彈性細(xì)桿中心線的二維擴展,自然希望將此方法推廣到彈性薄殼,形成廣義的Kirchhoff動力學(xué)比擬方法.這就需要經(jīng)典的曲面論作為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ).經(jīng)典曲面論的第一和第二類基本量是用點的矢徑及其偏導(dǎo)數(shù)表達,作為可變形物體,曲面位形在運動學(xué)意義上是無窮維的[13].引入剛體動力學(xué)方法,將彈性薄殼離散化無疑具有理論和實際意義.

研究表明,彈性薄殼的位形、變形和平衡條件都與剛體運動“等同”[14].在直法線假設(shè)下,以變形前中面的坐標(biāo)為自變量,用剛性正交軸系的姿態(tài)坐標(biāo)及其彎扭度,以及Lamé系數(shù)描述變形后中面的位形,彈性薄殼力學(xué)的基本概念都可以得到很好表達.這種表達方法對變形和運動具有連貫性和統(tǒng)一性.彈性薄殼轉(zhuǎn)化為有限維力學(xué)系統(tǒng),為大幅彈性薄殼的卷揉變形和運動描述提供了新方法和思路.

基于廣義Kirchhoff動力學(xué)比擬方法,考慮變形后的曲面,針對非正交網(wǎng)格,建立兩個剛性正交軸系,引入剛體的姿態(tài)坐標(biāo),用彎扭度和Lamé系數(shù)描述曲面的位形和基本概念,包括曲面的第一、第二基本二次型,法曲率及其主方向和主曲率等[15].

約定指標(biāo)取值為i,j=1,2;k=1,2,3.

1 曲面上的正交軸系

(1)

(2)

(a)曲面上點的矢徑 (b)兩個正交軸系的相對位置

(3)

對曲面上任意的曲線qi=qi(q),沿q坐標(biāo)線的弧長微分記為dS.切矢量Tq、Lamé系數(shù)Tq和弧長微分dS依次為

(4)

(5)

將式(3)的第1式代入式(5),化作

(6)

由此得到其弧長的微分關(guān)系為

(7)

或

(8)

(9)

2 曲面的彎扭度

(10)

(11)

(12)

彎扭度的分量形式記為

(13)

兩軸系的彎扭度分量有如下關(guān)系:

(14)

由矢徑對q1,q2偏導(dǎo)次序的可交換性得到對彎扭度和Lamé系數(shù)的約束方程:

(15)

此約束是運算和變形規(guī)則導(dǎo)致,稱之為內(nèi)約束.

3 軸系姿態(tài)的Euler角和曲面偏微分方程

建立慣性參照系Oξηζ,軸系(ei1,ei2,ei3)相對慣性參照系(eξ,eη,eζ)的姿態(tài)有多種表達方法,如Euler四元數(shù)、李群李代數(shù)等[17-20],本文用大家熟知的Euler角,見圖2.

圖2 軸系(ei1, ei2, ei3)姿態(tài)的Euler角

基的變換關(guān)系用矩陣表示為[4,14,18]

Q2=ΦQ1,

(16)

(17)

Euler角存在奇點θ=nπ,n=0,1,…,此時,z軸和ζ軸重合導(dǎo)致角ψ和φ不能區(qū)分.

由剛體動力學(xué)知,用Euler角表達的彎扭度ωij在基(ei1,ei2,ei3)下的矩陣式為[4,14,18]

(18)

在慣性參照系Oξηζ中,曲面上一點P的直角坐標(biāo)為

ξ=ξ(q1,q2),η=η(q1,q2),ζ=ζ(q1,q2).

(19)

式(1)給出曲面的偏微分方程的矢量形式[14]:

(20)

(21)

可見,軸系的姿態(tài)是由以q1,q2為自變量的姿態(tài)坐標(biāo)ψ,θ,φi確定.再加上Lamé系數(shù)和邊界條件就能夠確定曲面形態(tài).

4 曲面的基本二次型和彎扭度表達

曲面第一基本二次型I1為[15]

I1=(dS)2=(Tqdq)2=E(dq1)2+2Fdq1dq2+G(dq2)2,

(22)

式中E=T1·T1=(T1)2,F=T1·T2=T1T2cosφ,G=T2·T2=(T2)2為曲面的第一類基本量.曲面第二基本二次型為

(23)

(24)

用角α和Tqdq表達中面的第二基本二次型I2.將式(8)代入式(23),得到

(25)

5 曲面的法曲率及其主曲率和主方向

曲面的法曲率κn用第一和第二基本二次型表示為[15]

(26)

由式(22)和式(25),化作法曲率的彎扭度表達式:

(27)

式中

(28)

對曲面上給定的點和方向,彎扭度和Lamé系數(shù)都是確定的,不同方向的法曲率是α的函數(shù).令

(29)

導(dǎo)出關(guān)于法曲率的駐值方程,即主方向方程

acos(2α)+bsin(2α)=0.

(30)

解得

(31)

得到的兩個根代表互相垂直的兩個主方向:

(32)

將這兩個根依次代入式(27),得到兩個主曲率,記為κn1,κn2:

(33)

可以證明,這兩個主曲率一個為極大,另一個為極小.

在曲面微分幾何中,主曲率和主方向用第一和第二類基本量表示為[15]

(34)

對應(yīng)的主方向為

(35)

其中由式(8)得

(36)

將第一和第二基本量代入式(34)和式(35),結(jié)果是一致的.

6 沿主方向的彎扭度及其在主方向的投影

(37)

(38)

(39)

其中參數(shù)a,b由式(28)定義,用到了關(guān)系式(37).將主方向表達式(31)代入式(39),并注意到約束方程式(15)的第3式,得到

(40)

這是主方向的彎扭度特征.同理可得到

(41)

這個結(jié)論與坐標(biāo)線為曲率線的條件[15]

F=0,M=0

(42)

(43)

同理,有

(44)

結(jié)果與式(33)一致.這也進一步明確了彎扭度的幾何意義.

7 算 例

討論半徑為R的半球面.球面用球坐標(biāo)(q1,q2,R)表示,其中廣義弧坐標(biāo)q1和q2分別為球面的經(jīng)度和緯度坐標(biāo),如圖3所示.曲面上點的矢徑為

R=Rcosq2(eξcosq1+eηsinq1)+Reζsinq2.

(45)

(46)

式中er=eξcosq1+eηsinq1.Lamé系數(shù)Ti和坐標(biāo)線的弧長微分dSi分別為

T1=Rcosq2,T2=R, dS1=Rcosq2dq1, dS2=Rdq2.

(47)

ω11=ω21=eζ,ω12=ω22=eξsinq1-eηcosq1,

(48)

或

(49)

(50)

解得

(51)

由式(47)知,球面的Lamé系數(shù)和彎扭度滿足約束方程(50).但是反之不然.亦即,對于球面的彎扭度,滿足約束方程的Lamé系數(shù),未必是球面的.顯然,本例中對應(yīng)球面的Lamé系數(shù)是T2=R.

(52)

將式(35)代入式(20),得到曲面微分方程

(53)

(54)

T1由式(51)確定.不同的T2值對應(yīng)不同半徑的球面,取T2=R時就回到式(45).

球面的第一和第二類基本量為

E=R2cos2q2,F=0,G=R2,

(55)

(56)

將式(47)、(49)和式(52)中的相關(guān)量代入式(28),得到

(57)

式(27)給出法曲率為常值κn=-1/R.顯然球面大圓弧的曲率為1/R,表明I2<0.

8 結(jié) 語

本文用正交軸系的姿態(tài)坐標(biāo)和彎扭度表達了曲面微分方程、第一和第二基本二次型、法曲率及其主曲率和主方向.表明了這一方法對描述曲面局部形態(tài)的可行性和正確性.可以斷言,這一方法同樣可以用來表達曲面的Rodrigues方程、Weingarten公式和Gauss公式以及曲面論的基本方程[15].從而為彈性薄殼廣義Kirchhoff動力學(xué)比擬方法奠定曲面理論基礎(chǔ).

本方法的優(yōu)勢還將體現(xiàn)在對曲面隨時間變形和運動的描述上,使正交軸系隨空間的運動和隨時間的運動在數(shù)學(xué)形式上等同.