從“數(shù)學本質(zhì)”視角看“三角形中位線”

廣州市花都區(qū)教育發(fā)展研究院(510800) 王進

新課標(2022 版)強調(diào)以學生發(fā)展為本,以核心素養(yǎng)為導向,要求整體把握教學內(nèi)容,強化數(shù)學本質(zhì)的理解.本次課標修訂中的課程內(nèi)容架構(gòu),呈現(xiàn)實施以“大概念”、“大單元”理念為主要理論支撐的課堂教學設(shè)計.“核心素養(yǎng)”、“核心知識”、“大單元設(shè)計”等一系列在課標中高頻出現(xiàn)的詞匯,其共同指向的就是要抓住學科的本質(zhì),數(shù)學課堂教學需要從零散概念中,理清數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯,提煉出數(shù)學的本質(zhì)問題,這樣才能將能設(shè)計出符合學生深度學習需求的數(shù)學課堂[1].筆者在執(zhí)教“三角形的中位線”一課時,基于數(shù)學知識內(nèi)在邏輯,基于深度學習需要,基于數(shù)學知識本質(zhì),從“數(shù)學本質(zhì)”分析為切入點,理清“三角形的中位線”知識的內(nèi)在邏輯,設(shè)計數(shù)學味濃、邏輯性強、注重素養(yǎng)的深度學習課堂.

1 數(shù)學本質(zhì)一: 三角形中位線是“三角形”和“平行四邊形”的“橋梁”

我們認識特殊圖形的邏輯往往是: 由整體到局部、化未知為已知,在平行四邊形的學習中我們是由定義推導出平行四邊形的性質(zhì)和常用判定.在研究過程中,我們往往做輔助線的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形.反之三角形我們可以通過“中位線”的分割,找到三個平行四邊形.所以其數(shù)學本質(zhì)為: 平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形易研究;三角形用中位線分割可轉(zhuǎn)化為平行四邊形(而且也分割成四個全等三角形)[2].

1.1 基于數(shù)學本質(zhì)的探究活動一: 引入三角形中位線的定義

1.1.1 聯(lián)系實際與舊知: 回顧平行四邊形的研究思路

師問: 前幾節(jié)課我們研究哪些知識?

答: 研究了平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定

師問: 在由平行四邊形推導其性質(zhì)和常用判定時,我們往會作怎樣的輔助線? (可提示: 如何由“兩邊平行”推導到“兩邊相等”的)

答: 作對角線來構(gòu)建全等三角形

師總結(jié): 在研究平行四邊形時往往轉(zhuǎn)化為三角形來研究

1.1.2 畫圖感受,發(fā)現(xiàn)問題

(1)畫一畫: 按要求畫圖.①把平行四邊形面積兩等份;②把平行四邊形面積四等份;

學生常用等分方法一:

學生常用等分方法二:

【對比以上方法】

讓學生分析利弊: 大部分學生都會選擇連對角線,這樣是利用平行四邊形圖形特點,較容易操作,而分割成平行四邊形需要取中點、平移線段,相對麻煩.

以上研究結(jié)論: 平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形是常用、可行、易操作的研究問題方式.

1.1.3 引導學生逆向思考

(1)今天我們來逆向思考,你能否將三角形分割成面積兩等份和四等份?

(2)畫一畫: 按要求在以下畫圖區(qū)畫出圖形

【學生常有的分割方式】

面積兩等分

面積四等分

面積四等分

教師引導: 能否分成四個形狀和面積都一樣的圖形? (如上圖)

總結(jié)在研究平行四邊形時往往會轉(zhuǎn)化成三角形,因為轉(zhuǎn)化為三角形后易研究,而三角形中位線的可將其分成四個全等的三角形,這里可以找到三個平行四邊形,這種分割是對三角形的一種完美的分割.

1.1.4 給出三角形中位線定義

如上右圖,ΔABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,連接DE.像DE這樣,連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2 數(shù)學本質(zhì)二: 三角形中位線的研究是從局部(三角形)回歸到整體(平行四邊形),呈現(xiàn)了數(shù)學問題的對立和統(tǒng)一

三角形中位線既是對三角形的特殊線段的研究,也是將三角形的問題回歸到平行四邊形問題的一種路徑.如下圖方式一: 三角形的三條中位線完美的分割成四個全等的三角形,同時也得到三個平行四邊形,方式二: 一條中位線分割成一個三角形和一個梯形,可拼成一個平行四邊形.之前是“整體”到“局部”,現(xiàn)在是“局部”到“整體”,這也體現(xiàn)了數(shù)學問題的對立與統(tǒng)一.

方式一:

可得.ADFE、.BFED、.DFCE.

方式二:

可得.ADFE,.DFC B.

2.1 基于數(shù)學本質(zhì)的探究活動二: 探索三角形中位線定理

教師提問: 觀察DE為ΔABC的中位線,DE與哪條線段存在特殊關(guān)系?

教師引導學生: 兩條線段的關(guān)系往往可以從“位置”與“數(shù)量”思考.

2.1.1 提出數(shù)學問題

如圖: 在ΔABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,

求證:DE//BC,DE=

2.1.2 思路自然生成

思路一: 從平行入手

經(jīng)驗告訴我們“判別平行”往往從“角相等”(同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角)來入手,而證明角相等可通過證全等,但此時的同位角(如: ∠ADE與∠B)所在的ΔADE與ΔABC并不全等,需其他思路.

思路二: 從線段長短入手

長線段與短線段的倍數(shù)關(guān)系,可將長線段截短或?qū)⒍叹€段延長,構(gòu)建全等三角形,證明線段相等.

①將長線段截短(如圖思路二①)此時又多了一條中位線,證全等的難度增加.

②將短線段延長(如圖思路二②),可構(gòu)建易證的全等三角形,可理解為將ΔADE旋轉(zhuǎn)至梯形DBCE右側(cè),構(gòu)建出平行四邊形,是可行的方法.

2.1.3 嚴格規(guī)范論證

證明如圖,延長DE到F,使DE=EF,連接CF.

∵AE=CE,∠1=∠2,

∴ΔABC∽=ΔCDA(SAS),

∴∠3=∠F,AD=CF,

∴CF//BD,又∵AD=BD,∴CF=BD,

∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DF//BC,DF=BC.

∴DE//BC,DE=

3 數(shù)學本質(zhì)三: 中位線定理提供了證明線段平行和線段成倍分關(guān)系的根據(jù)

對于三角形(這個三條線段圍成的閉合圖形)內(nèi)部線段的研究,我們研究的順序是: 三角形三邊(線段兩端都在頂點),再到三角形內(nèi)的特殊線段及中線、高、角平分線(線段一端為頂點,另一端在邊上),再到三角形中位線(兩端均在邊上).中位線定理也就是為“兩端均在邊上中點”這一特殊情況提供了推理位置關(guān)系、數(shù)量比例關(guān)系的根據(jù).

3.1 基于數(shù)學本質(zhì)的探究活動三: 三角形中位線定理的運用

【鞏固新知】已知: 如圖,在ΔABC中,中線BD、CE相交于O,點F、G分別是OB、OC的中點.求證: 四邊形EFGD是平行四邊形.

【思路生成】

4 反思與總結(jié)

數(shù)學知識方面: 學了三角形中位線定理及其運用數(shù)學素養(yǎng)方面(四個一): ①一個技能: 證明線段平行和線段成倍分關(guān)系的方式根據(jù).②一個方式: 觀察、猜想、論證是研究數(shù)學問題常用的方法.③一個思想: 轉(zhuǎn)化思想.將三角形的問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形來解決.④一個道理: 數(shù)學問題的對立與統(tǒng)一.研究圖形往往從整體(平行四邊形)到局部(三角形),也可以由局部(三角形及其中位線)回歸整體(平行四邊形).

5 .結(jié)束語

新課標(2022 版)實施后,對于教師的數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)要求更高了,我們需理清數(shù)學內(nèi)在邏輯,抓住數(shù)學本質(zhì),才能在零散概念中提煉出核心問題來,共同構(gòu)成學科的有機整體;才能有效引導學生發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決數(shù)學問題;才能將有限的、深層次的重要觀念進行有意義的聯(lián)結(jié);才能讓學生真正經(jīng)歷深度學習,最終落實學生的核心素養(yǎng)[3].