孫培翰 紀(jì)翔峰

摘要：基于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避出行時(shí)間和出行成本兩種影響出行者路徑選擇的要素，提出了考慮雙重不確定的目標(biāo)導(dǎo)向型雙屬性用戶均衡。采用高斯Copula刻畫風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避出行時(shí)間與出行成本的隨機(jī)相關(guān)性，結(jié)合出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避出行時(shí)間和出行成本的實(shí)現(xiàn)概率刻畫期望目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率與目標(biāo)間的相互作用，將所提出的用戶均衡表示為變分不等式問題，采用基于路徑的連續(xù)平均算法對其求解，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性和目標(biāo)導(dǎo)向特性會對交通網(wǎng)絡(luò)均衡流量產(chǎn)生一致或相反影響，部分路徑流量的改變可達(dá)16.4%。

關(guān)鍵詞：城市交通；目標(biāo)導(dǎo)向型分析；交通網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)性；風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避出行時(shí)間；感知誤差；出行成本

中圖分類號：U491 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1006-1037（2023）02-0105-06

doi：10.3969/j.issn.1006-1037.2023.02.17

基金項(xiàng)目：

國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：71801138）資助。

通信作者：

紀(jì)翔峰，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榻煌ê臀锪飨到y(tǒng)建模與分析。

中國作為一個(gè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型國家，近年來緩解城市道路交通擁堵的方案逐漸發(fā)生變化，從增加交通供給轉(zhuǎn)向利用高科技手段運(yùn)營管理城市交通系統(tǒng)，分析出行者的路徑?jīng)Q策行為，為出行者提供決策支持。用戶均衡原則是分析出行者路徑?jīng)Q策行為的重要手段，指任何出行者均不能通過單方面改變路徑選擇以達(dá)到減少其出行時(shí)間的目的［1］。即均衡時(shí)，所有出行者的出行時(shí)間均相等，且該出行時(shí)間最小，否則出行者改變路徑選擇來減少出行時(shí)間，但該原則存在多個(gè)與現(xiàn)實(shí)不符的假設(shè)［2］。交通網(wǎng)絡(luò)具有不確定性，如惡劣天氣或交通事故導(dǎo)致的路段通行能力降低等［3］，出行者選擇路徑時(shí)需考慮出行時(shí)間的可靠性，即存在風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避選擇行為［4］。分析出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性下的路徑選擇的研究有出行時(shí)間預(yù)算模型［5］和均值—超量出行時(shí)間模型［6］。基于此類模型，衍生出眾多拓展，如彈性需求下基于出行時(shí)間預(yù)算的用戶均衡模型［7］；構(gòu)建多用戶隨機(jī)均值——超量出行時(shí)間模型［8］和隨機(jī)交通網(wǎng)絡(luò)的雙層規(guī)劃路徑?jīng)Q策模型［9］。另有研究提出了非期望路徑出行時(shí)間模型，探討了該模型與出行時(shí)間預(yù)算以及均值——超量出行時(shí)間模型間的關(guān)系［10］。出行者路徑選擇行為受多因素影響（如出行時(shí)間、出行成本以及出行時(shí)間可靠性等）也得到證實(shí)［4］，現(xiàn)有文獻(xiàn)也對多因素影響下的選擇行為進(jìn)行了廣泛研究［5，10-11］?；谖纯紤]感知誤差［12］的研究，提出了基于可靠性的隨機(jī)用戶均衡模型［13］；構(gòu)建了考慮交通網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)性以及出行者感知誤差的用戶均衡模型［14］；討論了信息誘導(dǎo)對出行者出行選擇行為的影響［15］。實(shí)證研究表明可接受的出行時(shí)間和出行成本在出行者路徑選擇中發(fā)揮重要作用［16-17］，因此，基于出行者關(guān)注可接受的出行時(shí)間和出行成本這一行為特征，本文采用目標(biāo)導(dǎo)向型分析方法［18-19］刻畫出行者的參考點(diǎn)依賴特性與可接受的概念。其中，參考點(diǎn)即為目標(biāo)［18］ ，給定出行時(shí)間（或出行成本）的目標(biāo)，不超過該目標(biāo)的出行時(shí)間（或出行成本）被定義為可接受的，若該條件滿足，則目標(biāo)實(shí)現(xiàn)。目標(biāo)實(shí)現(xiàn)能為出行者帶來效用；特別地，多目標(biāo)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)能為出行者帶來額外效用，即目標(biāo)間的相互作用。在已有研究的基礎(chǔ)上，考慮隨機(jī)交通網(wǎng)絡(luò)上風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避出行時(shí)間（Risk-averse travel time，RATT）和出行成本對出行者路徑選擇的影響，同時(shí)考慮感知誤差的存在（即雙重不確定性），提出目標(biāo)導(dǎo)向型雙屬性用戶均衡。本文研究拓展用戶均衡的分析范疇，提出更符合現(xiàn)實(shí)情形的用戶均衡原則，將所提出的用戶均衡表示為變分不等式問題，采用基于路徑的連續(xù)平均算法對其進(jìn)行求解，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法有效性，重點(diǎn)分析了出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性和目標(biāo)導(dǎo)向特性共同作用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)（即流量分布）。

1 基于目標(biāo)導(dǎo)向分析的路徑效用建模

在具有擁堵收費(fèi)的隨機(jī)交通網(wǎng)絡(luò)上建立路徑效用模型，刻畫路徑出行時(shí)間T的分布［20］（具體推導(dǎo)過程請參考數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分），得到T服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ和σ2分別表示均值和方差。給定路徑出行時(shí)間的分布，根據(jù)均值—超量出行時(shí)間模型［6］，可得到RATT（表示為Tt）為

其中，α為出行者的置信水平，反映出行者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性，取值一般為0.9或0.95［6］；當(dāng)出行者為風(fēng)險(xiǎn)中性特性時(shí)值為0.5［6］；為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

出行者感知誤差的存在使上述確定性的RATT變?yōu)殡S機(jī)屬性，假設(shè)出行者時(shí)間感知誤差為εt［21］，則感知的RATT可表示為t=Tt+εt；感知誤差的存在又使確定性的出行成本C變?yōu)殡S機(jī)屬性，假設(shè)出行者成本感知誤差為εc，則感知的出行成本表示為=C+εc。假設(shè)εt和εc分別為t和的函數(shù)形式（見數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分），同時(shí)考慮到出行時(shí)間和出行成本間的相互影響關(guān)系，可得t和間存在隨機(jī)相關(guān)性。

假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)均得到實(shí)現(xiàn)時(shí)的效用為1，采用μt∈（0，1）表示RATT的目標(biāo)得到實(shí)現(xiàn)時(shí)的效用，μc∈（0，1）表示出行成本的目標(biāo)得到實(shí)現(xiàn)時(shí)的效用；假設(shè)兩個(gè)目標(biāo)均未得到實(shí)現(xiàn)時(shí)的效用為0。當(dāng)效用不在［0，1］范圍內(nèi)時(shí)，可通過縮放使其在該范圍內(nèi)。采用γt表示RATT的目標(biāo)，γc表示出行成本的目標(biāo)（設(shè)定規(guī)則見下文），路徑出行效用ω為［19］

其中，表示聯(lián)合概率。等式右側(cè)第一項(xiàng)為RATT的目標(biāo)得到實(shí)現(xiàn)的概率及其效用，第二項(xiàng)為出行成本的目標(biāo)得到實(shí)現(xiàn)的概率及其效用，第三項(xiàng)為兩目標(biāo)均實(shí)現(xiàn)時(shí)的概率及其帶來的額外效用。故式（2）為出行者目標(biāo)導(dǎo)向特性下的路徑出行效用的期望值。

采用高斯Copula刻畫隨機(jī)屬性t和間的相關(guān)性，得到聯(lián)合概率

此處選取高斯Copula僅作為概念驗(yàn)證，也可采用其他形式的Copula函數(shù)［22］。而模型具體應(yīng)用過程中Copula函數(shù)的選擇及其參數(shù)估計(jì)問題可參考相關(guān)文獻(xiàn)［19］，此處μ1=Pt≤γt，μ2=P≤γc，ρμ1μ2表示皮爾遜相關(guān)系數(shù)，其值為0到1之間。

μt+μc<1時(shí)，即單個(gè)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)為出行者帶來的效用較小，但兩目標(biāo)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)可為出行者帶來額外效用，兩目標(biāo)間存在相互作用關(guān)系。1－（μt+μc）的值越大，目標(biāo)間相互作用越強(qiáng)，因?yàn)轭~外效用越大，反之亦然； μt+μc=1時(shí)，兩目標(biāo)間無相互作用關(guān)系。μt和μc的比值可衡量不同目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要性，當(dāng)兩者比值大于1時(shí)，RATT的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)較為重要。其他情況可類似定義。給定兩者的比值α，當(dāng)目標(biāo)間不存在相互作用時(shí)，則

給定目標(biāo)間無相互作用下的效用值，引入?yún)?shù)β（β>1），得到目標(biāo)間存在相互作用下的效用值為μtβ和μcβ。參數(shù)α和β的值在模型應(yīng)用過程中可通過陳述偏好法獲得。

2 基于目標(biāo)導(dǎo)向分析的用戶均衡分析

2.1 均衡表示

考慮一個(gè)具有多起點(diǎn)和多終點(diǎn)（即多OD對）的交通網(wǎng)絡(luò)，N為節(jié)點(diǎn)集合，A為路段集合，R和S分別表示起點(diǎn)和終點(diǎn)集合。對于起點(diǎn)r∈R和終點(diǎn)s∈S（即OD對rs），qrs為OD對rs間的出行需求，Prs表示連接OD對rs的所有路徑，frsp為路徑p∈Prs上的流量。路段a流量為va（a∈A），路段路徑關(guān)系矩陣用δrspa表示。若路段a在路徑p上，δrspa=1；否則δrspa=0。路段出行成本為ca，則路徑出行成本為crsp=∑a∈Aδ（rs）paca

式（5）表示出行需求守恒，式（6）表示路段流量和路徑流量的關(guān)系，式（7）表示路徑流量的非負(fù)性。滿足上述不等式組的路徑流量為該交通網(wǎng)絡(luò)的可行流量，表示為Ω。從長期來看，當(dāng)沒有出行者能夠通過單邊改變出行路徑來提高自身效用時(shí)，即達(dá)到了用戶均衡狀態(tài)。采用ωrsp表示OD對rs間路徑p的效用，πrs表示OD對rs間的最大效用，f表示路徑流量向量…，frsp，…，ω表示效用向量…，ωrsp，…。

定義 假設(shè)出行者均選擇最優(yōu)路徑來最大化其出行效用，即在均衡時(shí)，所有被使用路徑上的效用是相等的，且是最大的；所有未被使用路徑上的效用小于或等于該最大效用。

在均衡狀態(tài)下，若（frsp）*>0，πrs－ωrsp（f*）=0；若（frsp）*=0，πrs－ωrsp（f*）≤0，p∈Prs，r∈R，s∈S。其中，*表示均衡值。上述均衡問題可表示為變分不等式問題VI（f，Ω），即找到一個(gè)向量f*∈Ω，滿足f*Tf－f*≥0，f∈Ω，其中f*=－ωf*，因在本文模型中，出行者通過路徑選擇以實(shí)現(xiàn)效用最大化?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對變分不等式與均衡條件間的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行了深入探討［6］，此處不再贅述。當(dāng)路徑效用ω為f的連續(xù)函數(shù)時(shí)，又因?yàn)榧夕甘蔷o致的、凸的，可知變分不等式問題的均衡解存在；但由于路徑效用函數(shù)的形式復(fù)雜，不一定滿足嚴(yán)格單調(diào)關(guān)系，故難以保證均衡解的唯一性。

2.2 目標(biāo)設(shè)置

設(shè)定RATT目標(biāo)時(shí)：

（1）出行起點(diǎn)和終點(diǎn)間存在多條路徑，一個(gè)合理的假設(shè)為OD對間RATT目標(biāo)為路徑上RATT目標(biāo)的函數(shù)，故首先設(shè)定OD對間路徑上的目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上設(shè)定OD對間RATT的目標(biāo)；

（2）出行者總希望以期望概率實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，故OD對間路徑p上RATT的目標(biāo)可表示為機(jī)會約束問題：γrsp，t=minγ|PTp，rst≤γ≥θ，其中，θ為出行者的期望目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率；

（3）作為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的出行者，期望目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率一般較大［19］，導(dǎo)致某些路徑上的目標(biāo)過于保守，預(yù)留時(shí)間過長，故出行者會選擇最小預(yù)留時(shí)間，即γrst=minp∈Prsγrsp，t，進(jìn)而得到RATT的目標(biāo)。

采用相似原則，可得到出行成本的目標(biāo)γrsc。

3 求解方法

采用基于路徑的連續(xù)平均算法對所提出的模型進(jìn)行求解。

Step 1 設(shè)定k=1以及收斂率為ε0；設(shè)定皮爾遜相關(guān)系數(shù)ρ；

Step 2 基于現(xiàn)有的空路段流量v1a進(jìn)行全有全無分配，得到OD對rs間的路徑流量frs，1p；

Step 3 基于當(dāng)前路徑流量frs，kp，更新路段流量va以及感知值的邊際分布；

Step 4 基于式（2）計(jì)算目標(biāo)導(dǎo)向型雙屬性路徑效用ωrs，kp，得出OD對rs間的最大效用πrs，k；

Step 6 基于現(xiàn)有的路徑流量計(jì)算更新方向drs，kp和步長sk，采用frs，k+1p=frs，kp+skdrs，kp更新路徑流量；設(shè)定k=k+1，跳至Step 3；根據(jù)drs，kp=rs，kp－frs，kp（rs，kp為輔助流量）計(jì)算更新方向；如果ωrs，kp=πrs，k，rs，kp=qrsmrs；否則rs，kp=0，mrs為第k步時(shí)，OD對rs間具有最大效用的路徑數(shù)量；步長sk=1/k+1。

經(jīng)驗(yàn)證，本文所用基于路徑的連續(xù)平均算法收斂［23］。在現(xiàn)有算法中，需要進(jìn)行路徑枚舉，使得算法在大型交通網(wǎng)絡(luò)上的效率較低。但本文研究重點(diǎn)在于出行者行為建模，故設(shè)計(jì)高效算法在大型網(wǎng)絡(luò)上求解將在未來研究中探討。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

采用如圖1所示的交通網(wǎng)絡(luò)驗(yàn)證出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性和目標(biāo)導(dǎo)向特性共同作用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)，共有3條路徑和5條路段。其中路徑1包含路段1和2；路徑2包含路段1、3和5；路徑3包含路段4和5。OD對（1，4）間的交通需求為1 500。測試中算法的最大迭代次數(shù)為106，收斂參數(shù)ε0=10-6，皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.7，出行者的期望目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率為0.9。

路段出行時(shí)間tava采用BPR函數(shù)，tava=t0a（1+0.15（va/Ca）4）計(jì)算，其中，t0a表示自由流時(shí)間，Ca表示通行能力。出行時(shí)間波動來自于路段通行能力降低［20］ ，假設(shè)路段通行能力服從均勻分布Uηaa，a，上界a表示路段設(shè)計(jì)通行能力，下界參數(shù)ηa反映路段通行能力降低，值越小，路段出行時(shí)間波動越大，可靠性越小，反之亦然?；谏鲜霰硎?，可得路徑出行時(shí)間Trsp服從正態(tài)分布，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

設(shè)出行者的置信水平α=0.9，結(jié)合式（8）、式（9），得到路徑RATT。測試中涉及的其他數(shù)據(jù)見表1。

假設(shè)路徑RATT和出行成本的感知誤差均服從正態(tài)分布，分別為N0，Ttσ2t和N（0，Cσ2c），則感知的RATT服從正態(tài)分布NTt，Ttσ2t，感知的出行成本服從正態(tài)分布NC，Cσ2c。本文選擇σ2t=σ2c=1。

首先測試不同目標(biāo)實(shí)現(xiàn)效用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)，效用值的不同反映了目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要性。μt=0.8，μc=0.2（α=4）時(shí)，RATT目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要性較高；μt=0.5，μc=0.5（α=1）時(shí)，出行成本目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要性較之前升高，測試結(jié)果見表2和表3。對比可知，當(dāng)僅考慮出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性時(shí)，選擇路徑2的出行者數(shù)量增多，而選擇路徑1和路徑3的出行者數(shù)量減少，因?yàn)槁窂?具有較小的出行時(shí)間波動性，可靠性較高；當(dāng)僅考慮出行成本目標(biāo)的重要性升高時(shí)，選擇路徑2的出行者數(shù)量減少，而選擇路徑1和路徑3的出行者數(shù)量增多，因?yàn)槁窂?具有較小的出行成本目標(biāo)實(shí)現(xiàn)概率，反之亦然；出行者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性和RATT目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要性對流量分布具有一致的影響，而出行者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性和出行成本目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要性對流量分布具有相反的影響。在本文測試中，當(dāng)考慮兩者的共同作用時(shí)，選擇路徑2的出行者數(shù)量改變可達(dá)16.4%。

為測試目標(biāo)間不同程度相互作用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)，令μt=0.66，μc=0.34，目標(biāo)間無相互作用關(guān)系；μt=0.33，μc=0.17（β=2）時(shí)，目標(biāo)間存在相互作用關(guān)系，結(jié)果見表4?？芍鲂姓唢L(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性下的測試結(jié)果與上述結(jié)果相同；當(dāng)僅考慮目標(biāo)間相互作用關(guān)系對均衡結(jié)果的影響時(shí)，相互作用關(guān)系的存在使選擇路徑2的出行者數(shù)量減少，而選擇路徑1和路徑3的出行者數(shù)量增多，因?yàn)槁窂?上目標(biāo)同時(shí)實(shí)現(xiàn)的概率較小，反之亦然；出行者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性與目標(biāo)間相互關(guān)系對流量分布具有相反的影響。測試中，當(dāng)考慮兩者的共同作用時(shí)，選擇路徑2的出行者數(shù)量改變?yōu)?.8%。

5 結(jié)論

在收費(fèi)交通網(wǎng)絡(luò)上，考慮交通網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)性和出行者感知誤差這雙重不確定的影響，探討了出行者路徑選擇行為，拓展其分析范疇；基于目標(biāo)導(dǎo)向型分析方法提出了雙屬性用戶均衡，該均衡具有行為一致性，刻畫了出行者路徑選擇中可接受的概念，拓展了傳統(tǒng)分析的范疇；重點(diǎn)分析了出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性和目標(biāo)導(dǎo)向特性共同作用下的系統(tǒng)表現(xiàn)（即流量分布）。研究發(fā)現(xiàn)出行者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避特性和目標(biāo)導(dǎo)向特性對流量分布可產(chǎn)生一致的影響，也可產(chǎn)生相反的影響；部分路徑的流量隨著特性的改變而改變較大。流量改變反映了出行者對實(shí)現(xiàn)出行時(shí)間目標(biāo)和出行成本目標(biāo)的權(quán)衡，當(dāng)實(shí)現(xiàn)出行時(shí)間目標(biāo)較為重要時(shí)，較多出行者會選擇出行成本較高的路徑，反之亦然。本研究中，交通網(wǎng)絡(luò)的擁堵收費(fèi)是給定的，未來可基于本文研究探討最優(yōu)擁堵收費(fèi)問題，重點(diǎn)關(guān)系上述兩類特性耦合關(guān)系對收費(fèi)設(shè)計(jì)的影響。

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