一道高考題的多種解法探析

彭羅

2022 年新高考Ⅰ卷，第 8 題是一道綜合性問題，綜合考查了函數(shù)、立體幾何、不等式知識(shí)，對(duì)考生的計(jì)算、推理、判斷等能力有較高的要求.該試題不落窠臼，其命題形式不同于以往的題目，讓人耳目一新.下面從多個(gè)角度探究2022 年新高考Ⅰ卷第8題的解法，并對(duì)求解幾何體體積取值范圍的思路進(jìn)行總結(jié)歸納.

題目：（2022年新高考Ⅰ卷，第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為 l ，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為 36π ，且 3 ≤ l ≤ 3 3 ，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）.

角度一：利用函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)于取值范圍問題，我們常用函數(shù)的單調(diào)性來求解.首先根據(jù)題意以某個(gè)變量為自變量，列出關(guān)于變量的函數(shù)式，或?qū)⒛繕?biāo)式看作函數(shù)式；然后根據(jù)簡(jiǎn)單基本函數(shù)的單調(diào)性，或?qū)Ш瘮?shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性，便可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求目標(biāo)式的取值范圍.

解：

我們以四棱錐的側(cè)棱長 l 為自變量，把四棱錐體積的表達(dá)式看作關(guān)于 l 的函數(shù)式，即可將四棱錐體積的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.通過討論導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得四棱錐體積的取值范圍.在解題時(shí)，同學(xué)們要關(guān)注自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域，這是確保得出正確答案的前提條件.

角度二：利用基本不等式

基本不等式≥a >0， b >0是求取值范圍的重要工具.若要求某個(gè)代數(shù)式的取值范圍，則可將其變形、配湊為兩式的和或積，并使其中之一為定值，這樣便可運(yùn)用基本不等式求得和的最小值，或積的最大值.最后還需檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.

解：

我們需先根據(jù)題意和正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，建立關(guān)于球 O 的半徑 R、幾何體底面邊長 a、正四棱錐 P -ABCD 的高 h 的關(guān)系式，并求得正四棱錐體積的表達(dá)式 V = ?（12h -2h2）?h ；然后將其進(jìn)行整理為 V = ?h ? h（12-2h）.將其看作三式h、h、12-2h 的積，運(yùn)用基本不等式的變形式≥3 ，即可求得正四棱錐體積的取值范圍.

角度三：利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在求幾何體的體積的取值范圍時(shí)，可引入角θ ， 將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題來求解.由于正四棱錐較為特殊，其四個(gè)側(cè)面與底面所成的角均相等，四條側(cè)棱與底面所成的角均相等，所以在求正四棱錐的體積問題時(shí)，可引入一個(gè)角度θ ， 將正四棱錐的底面邊長、高、側(cè)棱長等用參數(shù)θ表示出來，將幾何體的體積用三角函數(shù)表示出來，從而建立三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求得四棱錐體積的取值范圍.

解：

該解法是以球的半徑與四棱錐的高之間的夾角為自變量，并用該變量表示出四棱錐的底面積、高、體積，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，根據(jù)基本不等式和余弦函數(shù)的有界性求得四棱錐體積的取值范圍.

將三種解法進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，解答幾何體體積的取值范圍問題，需通過探索變量間的關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)、不等式、三角函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值、不等式問題、三角函數(shù)最值問題來求解.這三種解法靈活，針對(duì)不同解法的特點(diǎn)，需進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，以提升應(yīng)用這些方法解題的熟練程度.

高考試題命題者每年都會(huì)推陳出新，但是萬變不離其宗，永遠(yuǎn)都是圍繞著教材知識(shí)進(jìn)行命題.因此同學(xué)們需扎實(shí)掌握并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用教材知識(shí)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)；通過挖掘教材中的例題和習(xí)題掌握一些解題的思路和方法，歸納總結(jié)一些解題的技巧，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，進(jìn)而提高“四能”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).

（作者單位：福建省泉州市泉港區(qū)第二中學(xué)）