袁建國(guó),蒯家松,張帥康

(重慶郵電大學(xué) 光電信息感測(cè)與傳輸技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400065)

0 引 言

低密度奇偶校驗(yàn)(low-density parity-check,LDPC)碼作為一種逼近香農(nóng)容量限、具有線性編譯碼復(fù)雜度的分組碼[1-2],在通信系統(tǒng)中發(fā)揮著十分重要的作用。

準(zhǔn)循環(huán)(quasi-cyclic,QC)LDPC碼是一類重要的結(jié)構(gòu)化LDPC碼[3],其奇偶校驗(yàn)矩陣(parity-check matrix,PCM)具有準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)。構(gòu)造良好的中長(zhǎng)碼長(zhǎng)的QC-LDPC碼,通常具有低錯(cuò)誤平層[4]、譯碼可快速收斂、糾錯(cuò)性能優(yōu)于隨機(jī)LDPC碼等優(yōu)點(diǎn)。QC-LDPC碼憑借編譯碼復(fù)雜度低、編譯碼可并行實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì),在移動(dòng)通信、存儲(chǔ)系統(tǒng)、深空通信、光通信等領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注[5]。

代數(shù)、組合等數(shù)學(xué)工具已被國(guó)內(nèi)外學(xué)者用來(lái)設(shè)計(jì)性能優(yōu)異的QC-LDPC碼,如有限域[6]、循環(huán)差集[7]等。國(guó)內(nèi)外研究表明,通過(guò)代數(shù)或組合工具能夠構(gòu)造出圍長(zhǎng)至少為6的QC-LDPC碼[8-9]。在使用迭代算法進(jìn)行譯碼時(shí),短環(huán)(尤其4環(huán))的存在會(huì)嚴(yán)重影響碼字的糾錯(cuò)性能[10]。所以,設(shè)計(jì)具有大圍長(zhǎng)的QC-LDPC碼更具有現(xiàn)實(shí)意義。

文獻(xiàn)[11]提出一種利用Stanley序列中的元素去擴(kuò)展原模圖基矩陣來(lái)構(gòu)造QC-LDPC碼的構(gòu)造方法,但是,其原模圖基矩陣是通過(guò)漸進(jìn)邊增長(zhǎng)(progressive edge growth,PEG)算法搜索而來(lái),計(jì)算復(fù)雜度比較高,且構(gòu)造出來(lái)的碼字碼長(zhǎng)與Stanley序列中的元素相關(guān),構(gòu)造更短碼長(zhǎng)的QC-LDPC碼會(huì)比較困難。因此,本文針對(duì)QC-LDPC碼的短環(huán)結(jié)構(gòu)會(huì)嚴(yán)重影響碼字糾錯(cuò)性能的問(wèn)題,基于文獻(xiàn)[11]中提出的Stanley序列設(shè)計(jì)了一類圍長(zhǎng)至少為8的QC-LDPC碼,且碼長(zhǎng)只與擴(kuò)展系數(shù)相關(guān),能夠獲得更短碼長(zhǎng)的碼字,其構(gòu)造方法簡(jiǎn)單且計(jì)算復(fù)雜度較低、易于硬件實(shí)現(xiàn)、糾錯(cuò)性能較好且無(wú)明顯錯(cuò)誤平層現(xiàn)象。

1 QC-LDPC碼的構(gòu)造方法

1.1 校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造

如果一類列重為J,行重為L(zhǎng)的規(guī)則QC-LDPC碼的零空間由奇偶校驗(yàn)矩陣H來(lái)表示,而奇偶校驗(yàn)矩陣H可以用循環(huán)移位矩陣(circulant permutation matrices,CPMs)和零矩陣(zero matrices,ZMs)來(lái)表示。且CPMs中的循環(huán)移位值構(gòu)成了指數(shù)矩陣(exponent matrix,EM),用P=(ei,j)表示為

(1)

(1)式中：ei,j∈{-1,0,1,2,…,z-1}(z>0);J和L均為正整數(shù),0≤i≤J,0≤j≤L。

當(dāng)循環(huán)移位值ei,j=-1時(shí),用大小為z×z的ZMs替換EM中相應(yīng)位置的ei,j。當(dāng)循環(huán)移位值ei,j≠-1時(shí),用大小為z×z的CPMs替換EM中相應(yīng)位置的ei,j,即可得到QC-LDPC碼的奇偶校驗(yàn)矩陣H。因此,當(dāng)CPMs的大小確定時(shí),用CPMs對(duì)EM進(jìn)行擴(kuò)展得到奇偶校驗(yàn)矩陣H,CPMs大小用z×z來(lái)表示,z為擴(kuò)展系數(shù),奇偶校驗(yàn)矩陣表示為

(2)

(2)式中,I(ei,j)表示由單位矩陣循環(huán)移位ei,j次得到的CPMs,其大小為z×z。

通過(guò)分析上述構(gòu)造過(guò)程可以看出,構(gòu)造QC-LDPC碼等同于設(shè)計(jì)其奇偶校驗(yàn)矩陣H,而奇偶校驗(yàn)矩陣H是由其對(duì)應(yīng)的EM擴(kuò)展而來(lái),因此,設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的EM是至關(guān)重要的一步。

1.2 環(huán)長(zhǎng)分析

LDPC碼的譯碼性能通常受環(huán)長(zhǎng)、碼字分布等影響,而短環(huán)的存在通常會(huì)導(dǎo)致譯碼不能完全收斂,嚴(yán)重影響碼字糾錯(cuò)性能[12-13]。因此,在構(gòu)造具有良好糾錯(cuò)性能的LDPC碼時(shí),至少要避免其奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中不存在4環(huán)。研究表明,Tanner圖中的環(huán)通常受指數(shù)矩陣和移位系數(shù)大小的影響,如引理1所述。

引理1[1]若QC-LDPC碼的指數(shù)矩陣為(3)式所示,則該碼字存在2n環(huán)的充分必要條件為(3)式成立。

(3)

(3)式中：0≤jk

引理1指出了QC-LDPC碼中環(huán)存在的條件,因此,在構(gòu)造循環(huán)移位矩陣時(shí),為避免短環(huán),只需考慮搜索指數(shù)矩陣P中不滿足(3)式的非負(fù)數(shù)值即可。

1.3 有限域構(gòu)造

基于有限域的QC-LDPC碼構(gòu)造是一種經(jīng)典代數(shù)方法[14]。若素域GF(Q)={0,1,…,Q-1},從GF(Q)中任意選擇若干個(gè)數(shù)組成集合w1={i0,i1,i2,…,iM-1}(M

ei,j=ir×js(modQ)

(4)

(4)式中：0≤r

因此,當(dāng)集合w1和w2中的值確定后,通過(guò)(4)式計(jì)算出循環(huán)移位值即可得到相應(yīng)的指數(shù)矩陣。

2 Stanley序列

文獻(xiàn)[11]已證明Stanley序列與最大公約數(shù)(greatest common divisor,GCD)條件之間是一種等價(jià)關(guān)系,因而在介紹Stanley序列之前,這里先簡(jiǎn)要介紹GCD條件,如引理2所述。

引理2[15]設(shè)x、y和t為3個(gè)行索引值,且0≤x

(dt-dx)/gcd(dt-dx,dy-dx)≥L

(5)

(5)式中,gcd(dt-dx,dy-dx)表示dt-dx和dy-dx的最大公約數(shù)。

文獻(xiàn)[11]給出了計(jì)算Stanley序列中元素的方法,如引理3所述。

引理3[11]假設(shè)Stanley序列為S(h)={h0,h1,…,h?-1},?為正整數(shù),符號(hào)v2(?)表示最大非負(fù)正整數(shù)f滿足2f|?(?能被2f整除)條件,則序列S(h)中第?個(gè)元素可以通過(guò)(6)式計(jì)算得到。

(6)

(6)式中,u為正整數(shù)。

3 基于Stanley序列的QC-LDPC碼構(gòu)造方法

3.1 構(gòu)造方法

本文考慮構(gòu)造一類(J,L)QC-LDPC碼,其具體的構(gòu)造步驟如下。

步驟1構(gòu)造集合ai?；赟tanley序列的特殊性質(zhì),考慮從該序列中任意選擇L個(gè)元素構(gòu)成集合ai={a0,a1,…,aL-1},且a0

步驟2構(gòu)造集合bj。由引理1給出的環(huán)長(zhǎng)存在充要條件,(3)式可等價(jià)于(7)式。

(7)

(7)式中：aik∈ai;bjk∈bj;bj0=bjn;aik≠aik+1;bik≠bik+1。

要使構(gòu)造的QC-LDPC碼奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中不存在4環(huán)和6環(huán),只需保證當(dāng)n分別為2和3時(shí),集合ai和bj中所有元素均滿足(7)式不成立即可。因此,可通過(guò)驗(yàn)證集合ai和bj中的值是否滿足(7)式在n=2和n=3時(shí)不成立來(lái)設(shè)計(jì)窮舉算法。其搜索過(guò)程如下。

①確定z的值,z為任意正整數(shù);

②若直接進(jìn)行搜索,計(jì)算復(fù)雜度較高,這里先進(jìn)行預(yù)處理。進(jìn)一步分析環(huán)長(zhǎng)存在的充要條件可知,當(dāng)L=3時(shí),其計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)一步降低,此時(shí)集合ai={a0,a1,a2},a0

③當(dāng)n分別為2和3時(shí),把步驟②得到的集合ai={a0,a1,a2}代入到(7)式中,在[0,z]依次搜索出使(7)式不成立的元素構(gòu)成集合bj。為了進(jìn)一步降低搜索難度,考慮先在[0,z]確定一個(gè)子集,如{0,1,2,…,9},先搜索該子集中使(7)式不成立的元素并選出3個(gè)元素{b1,b2,b3}(b1

④從步驟③得到的集合bj中任意選擇J個(gè)元素構(gòu)成集合bj={b0,b1,b2,…,bJ-1},且b0

步驟3構(gòu)造指數(shù)矩陣P。利用步驟①和②得到的2個(gè)集合ai和bj,通過(guò)(4)式依次計(jì)算出對(duì)應(yīng)的循環(huán)移位值ei,j,即可得到對(duì)應(yīng)的指數(shù)矩陣P。

步驟4構(gòu)造奇偶校驗(yàn)矩陣H?？紤]用大小為Q×Q(Q≥z)的CPMs替換步驟④構(gòu)造的指數(shù)矩陣P中對(duì)應(yīng)位置的循環(huán)移位值,即得到其奇偶校驗(yàn)矩陣H。

通過(guò)步驟1—步驟4,進(jìn)一步構(gòu)造出一類碼長(zhǎng)為QL,碼率為(L-3)/L的規(guī)則QC-LDPC碼。

3.2 無(wú)4、6環(huán)證明

QC-LDPC碼奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中4環(huán)和6環(huán)存在類型如圖1所示。

圖1 4環(huán)和6環(huán)的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure chart of girth-4 and girth-6

根據(jù)引理1給出的環(huán)長(zhǎng)存在充要條件可知,若所構(gòu)造的QC-LDPC碼的奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中不存在4、6環(huán),有(8)式成立。

(8)

1)無(wú)4環(huán)證明。

圖1a給出了4環(huán)存在的結(jié)構(gòu),若其奇偶校驗(yàn)矩陣對(duì)應(yīng)的Tanner圖中不存在4環(huán),可將(8)式展開(kāi)成n=2的特殊形式,表示為

(ej0,l0-ej1,l0)+(ej1,l1-ej2,l1)≠0(modQ)

(9)

因?yàn)檠h(huán)移位值ei,j是通過(guò)(4)式計(jì)算得到,即ei,j=aibj(modQ),顯然(10)式成立。

0<(ej0,l0-ej1,l0)+(ej1,l1-ej2,l1)

(10)

因此,當(dāng)移位系數(shù)滿足Q≥z時(shí),所設(shè)計(jì)QC-LDPC碼的奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中不含4環(huán)。

2)無(wú)6環(huán)證明。圖1b給出了6環(huán)存在的6種結(jié)構(gòu),若其奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中不存在6環(huán),可將(8)式展開(kāi)成n=3的特殊形式,表示為

(ej0,l0-ej1,l0)+(ej1,l1-ej2,l1)+(ej2,l2-ej3,l2)≠

0(modQ)

(11)

根據(jù)Stanley序列的特殊性質(zhì),并進(jìn)一步分析本文所述的構(gòu)造方法可知,集合ai和bj中所有的元素均滿足(7)式不成立,而對(duì)應(yīng)的循環(huán)移位值由公式ei,j=aibj(modQ)計(jì)算得到,顯然(12)式成立。

0<(ej0,l0-ej1,l0)+(ej1,l1-ej2,l1)+

(ej2,l2-ej3,l2)

(12)

因此,當(dāng)移位系數(shù)滿足Q≥z時(shí),所設(shè)計(jì)的QC-LDPC碼的奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中不含6環(huán)。

4 仿真結(jié)果與性能分析

本文采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證所構(gòu)造的SS-QC-LDPC碼的糾錯(cuò)性能,采用二進(jìn)制相移鍵控(binary phase shift keying,BPSK)進(jìn)行調(diào)制,采用加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise,AWGN)信道,譯碼算法選擇置信傳播(belief propagation,BP)算法,考慮到譯碼復(fù)雜度與糾錯(cuò)性能的折中,在碼率分別為0.5和0.67時(shí),譯碼迭代次數(shù)分別選取為50次和40次。

考慮行重J=6,列重L=3,構(gòu)造出一類碼率為0.5的QC-LDPC碼。取z值為200時(shí),得到集合ai={1,3,4}、bj={2,6,24,26,31,67}。當(dāng)移位系數(shù)Q=400時(shí),得到一個(gè)碼長(zhǎng)2 400的規(guī)則QC-LDPC碼,記為SS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼。當(dāng)Q=200時(shí),得到一個(gè)碼長(zhǎng)為1 200的QC-LDPC碼,記為SS-QC-LDPC(1 200,600)碼。構(gòu)造出的指數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)表示為

(13)

當(dāng)碼長(zhǎng)為2 400時(shí),將所構(gòu)造的SS-QC-LDPC (2 400,1 200)碼與文獻(xiàn)[10]基于Hoey序列(Hoey sequence,HS)構(gòu)造的圍長(zhǎng)至少為8的規(guī)則HS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼、文獻(xiàn)[11]基于原模圖(protograph,P)和Stanley序列構(gòu)造的圍長(zhǎng)為8的非規(guī)則PS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼、文獻(xiàn)[14]基于同構(gòu)(isomorphism,I)理論構(gòu)造的規(guī)則I-QC-LDPC(2 400,1 200)碼和文獻(xiàn)[12]基于消除無(wú)葉基本陷阱集(leafless elementary trapping sets,LETSs)和原模圖構(gòu)造的非規(guī)則LETSs-QC-LDPC(2 400,1 200)碼進(jìn)行性能對(duì)比。

不同QC-LDPC碼的BER與信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)之間的性能仿真曲線如圖2所示。由圖2可知,當(dāng)BER為10-6時(shí),本文所構(gòu)造的SS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼比HS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼、PS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼、I-QC-LDPC(2 400,1 200)碼和LETSs-QC-LDPC(2 400,1 200)碼的凈編碼增益(net coding gain,NCG)分別提升了約0.11、0.12、0.37和0.64 dB。

圖2 SS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼與其他4種碼字的性能仿真圖Fig.2 Performance simulation chart of the SS-QC-LDPC(2 400,1 200) code with the other four code-words

碼長(zhǎng)為1 200時(shí),將所構(gòu)造的SS-QC-LDPC(1 200,600)碼與文獻(xiàn)[10]構(gòu)造的規(guī)則HS-QC-LDPC (1 200,600)碼、文獻(xiàn)[14]構(gòu)造的規(guī)則I-QC-LDPC(1 200,600)碼和文獻(xiàn)[12]構(gòu)造的非規(guī)則LETSs-QC-LDPC(2 400,1 200)碼進(jìn)行性能仿真對(duì)比。

不同QC-LDPC碼的BER與SNR之間的性能仿真曲線如圖3所示。由圖3可知,當(dāng)BER為10-6時(shí),本文構(gòu)造的SS-QC-LDPC(1 200,600)碼與I-QC-LDPC(1 200,600)碼、HS-QC-LDPC(1 200,600)碼和LETSs-QC-LDPC(1 200,600)碼相比,其NCG分別提升了約0.75、0.74和0.95 dB。

圖3 SS-QC-LDPC(1 200,600)碼與其他3種碼字的性能仿真圖Fig.3 Performance simulation chart of theSS-QC-LDPC(1 200,600) code with the other three code-words

進(jìn)一步分析圖2可知,碼長(zhǎng)為2 400,BER為10-6時(shí),所構(gòu)造的SS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼和HS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼、PS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼相比,其NCG提升不明顯,但HS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼在高SNR時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤平層現(xiàn)象,而PS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼是通過(guò)擴(kuò)展原模圖基矩陣構(gòu)造的,其原模圖基矩陣是通過(guò)PEG算法搜索而來(lái),計(jì)算復(fù)雜度較高。同樣,當(dāng)BER為10-6時(shí),SS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼和I-QC-LDPC(2 400,1 200)碼、LETSs-QC-LDPC(2 400,1 200)碼相比,其NCG提升較大,其原因是I-QC-LDPC(2 400,1 200)碼的校驗(yàn)矩陣Tanner圖中有6環(huán)存在,影響了碼字糾錯(cuò)性能。而LETSs-QC-LDPC(2 400,1 200)碼雖然是基于消除無(wú)葉基本陷阱集構(gòu)造的,但在構(gòu)造過(guò)程中未完全避免校驗(yàn)矩陣Tanner圖中6環(huán)的存在,因而其糾錯(cuò)性能較差。進(jìn)一步分析圖3可知,在高SNR區(qū)域,I-QC-LDPC(1 200,600)碼和HS-QC-LDPC(1 200,600)碼出現(xiàn)了明顯錯(cuò)誤平層現(xiàn)象,所構(gòu)造的SS-QC-LDPC(1 200,600)碼的NCG與LETSs-QC-LDPC(2 400,1 200)相比提升較大且無(wú)錯(cuò)誤平層現(xiàn)象。

為進(jìn)一步說(shuō)明本文所構(gòu)造的QC-LDPC碼的性能,考慮行重J=9、列重L=3,構(gòu)造出一類碼率為0.67的QC-LDPC碼。取z值為200,此時(shí)集合ai={1,3,4}、bj={1,2,6,7,24,26,31,67,72}。當(dāng)移位系數(shù)Q=400時(shí),得到一個(gè)碼長(zhǎng)為3 600的規(guī)則QC-LDPC碼,記為SS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼。其指數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)表示為

(14)

為不失一般性,將所構(gòu)造的SS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼與文獻(xiàn)[11]構(gòu)造的PS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼、文獻(xiàn)[14]基于有限域(finite field,FF)構(gòu)造的規(guī)則FF-QC-LDPC(3 600,2 700)碼和文獻(xiàn)[12]構(gòu)造的非規(guī)則LETSs-QC-LDPC(3 600,2 700)碼進(jìn)行性能仿真對(duì)比。

不同QC-LDPC碼的BER與SNR之間的性能仿真曲線如圖4所示。由圖4可知,當(dāng)BER為10-6時(shí),本文構(gòu)造的碼長(zhǎng)為3 600的SS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼與FF-QC-LDPC(3 600,2 700)碼、PS-QC-LDPC (3 600,2 700)碼和LETSs-QC-LDPC(3 600,2 700)碼相比,其NCG分別提升了約0.13、0.11和0.4 dB。

圖4 SS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼與其他3種碼字的性能仿真圖Fig.4 Performance simulation chart of the SS-QC-LDPC(3 600,2 700) code with the other three code-words

進(jìn)一步分析圖4可知,碼率為0.67,BER為10-6時(shí),本文構(gòu)造的SS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼與FF-QC-LDPC(3 600,2 700)碼和PS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼相比,其NCG均有一定的提升,而且FF-QC-LDPC(3 600,2 700)碼在高信噪比區(qū)域有明顯的錯(cuò)誤平層。在高SNR區(qū)域,PS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼和LETSs-QC-LDPC(3 600,2 700)碼雖然無(wú)明顯錯(cuò)誤平層,但是本文構(gòu)造的SS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼的糾錯(cuò)性能優(yōu)于PS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼和LETSs-QC-LDPC(3 600,2 700)碼。

因此,由圖2—圖4可知,本文構(gòu)造的碼字在長(zhǎng)碼長(zhǎng)、短碼長(zhǎng)以及高碼率情況下均具有較好的糾錯(cuò)性能且無(wú)錯(cuò)誤平層現(xiàn)象。

5 復(fù)雜度分析

本文涉及的復(fù)雜度分析主要是校驗(yàn)矩陣H構(gòu)造過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度和編碼過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度分析。在相同碼長(zhǎng)、碼率的條件下,本文構(gòu)造的QC-LDPC碼與其他對(duì)比文獻(xiàn)構(gòu)造的碼字均是基于生成矩陣編碼的,因而編碼的計(jì)算復(fù)雜度相同。不同的是在構(gòu)造校驗(yàn)矩陣H過(guò)程中涉及的方法不同,因此,這里只需要針對(duì)在構(gòu)造H時(shí)所涉及的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析即可。

進(jìn)一步分析本文構(gòu)造方法的構(gòu)造步驟可知,在構(gòu)造校驗(yàn)矩陣時(shí),通過(guò)在給定范圍內(nèi)搜索滿足無(wú)4、6環(huán)條件的元素,得到集合bj,其計(jì)算復(fù)雜度為O(z)。文獻(xiàn)[10]中,其構(gòu)造的指數(shù)矩陣由H1和H2兩部分組成,矩陣H1是從Hoey序列中選出某些特定的元素構(gòu)成的,H2是通過(guò)推導(dǎo)出的避免4、6環(huán)的2個(gè)條件計(jì)算而來(lái),其計(jì)算復(fù)雜度為O(ijQ)。文獻(xiàn)[11]是利用Stanley序列中的元素?cái)U(kuò)展原模圖基矩陣構(gòu)造,其原模圖基矩陣是通過(guò)PEG算法搜索而來(lái),因而其計(jì)算復(fù)雜度為O(j2)。文獻(xiàn)[14]中,先利用有限域上的2個(gè)集合求出矩陣Po,使用加法規(guī)則求出矩陣Po的同構(gòu)矩陣PI,再求出完全連通指數(shù)矩陣,最后得到非同構(gòu)碼,計(jì)算過(guò)程主要是對(duì)矩陣的排列和最優(yōu)值的搜索,因而其計(jì)算復(fù)雜度為4O(i+j)。文獻(xiàn)[13]中,先基于有限域獲得基矩陣,再通過(guò)推導(dǎo)出的避免6環(huán)的6個(gè)條件去計(jì)算出最優(yōu)值,其計(jì)算復(fù)雜度為6O(i+j)。文獻(xiàn)[12]中,先使用外部信息傳輸分析獲得原模圖LDPC碼的閾值,再使用分層搜索算法消除校驗(yàn)矩陣H的子矩陣對(duì)應(yīng)子圖中的LETSs,其計(jì)算復(fù)雜度為O(mn)。綜上所述,本文與其他文獻(xiàn)的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比分析情況如表1所示。(上述m、n分別表示校驗(yàn)矩陣的行數(shù)和列數(shù),i、j分別表示指數(shù)矩陣的行數(shù)和列數(shù))。

表1 本文與其他文獻(xiàn)的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比Tab.1 Comparison of the computational complexity between this paper and other documents

通過(guò)上述分析可知,本文構(gòu)造校驗(yàn)矩陣的計(jì)算復(fù)雜度與擴(kuò)展系數(shù)z呈線性關(guān)系,與其他對(duì)比文獻(xiàn)相比,具有較低計(jì)算復(fù)雜度。此外,本文的構(gòu)造方法只需要存儲(chǔ)2個(gè)集合以及擴(kuò)展系數(shù)即可,其他元素只需要通過(guò)四則運(yùn)算以及模除運(yùn)算即可得到,其參數(shù)元素存儲(chǔ)量也比較小。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文利用Stanley序列的特殊性質(zhì),并結(jié)合窮舉搜索算法提出一種QC-LDPC碼的新穎構(gòu)造方法,該構(gòu)造方法所構(gòu)造的奇偶校驗(yàn)矩陣Tanner圖中不存在環(huán)4和環(huán)6,且碼長(zhǎng)只與擴(kuò)展系數(shù)z相關(guān),構(gòu)造更短碼長(zhǎng)的碼字比較容易。仿真結(jié)果表明,在相同條件下,本文所構(gòu)造的SS-QC-LDPC(2 400,1 200)碼、SS-QC-LDPC(1 200,600)碼和SS-QC-LDPC(3 600,2 700)碼與同碼率、同碼長(zhǎng)的其他碼字相比,其NCG在一定程度上均有提升,糾錯(cuò)性能較好且無(wú)明顯錯(cuò)誤平層現(xiàn)象。此外,該構(gòu)造方法的計(jì)算復(fù)雜度與其他對(duì)比文獻(xiàn)的構(gòu)造方法相比較低。