萬能，莊其鑫，*，郭彥亨，常智勇，王道

1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072

2.中國航發(fā)南方工業(yè)有限公司，株洲 412002

航空發(fā)動機(jī)葉片是材料難切削、結(jié)構(gòu)剛度弱和設(shè)計精度要求高的零件。為保證其日益增高的加工精度和效率要求，自適應(yīng)加工技術(shù)成為葉片類零件精密加工的迫切需求。其中，在機(jī)測量是加工過程中識別工件當(dāng)前真實形狀的關(guān)鍵技術(shù)，能夠在不卸裝夾條件下檢測零件上測量點(diǎn)位置得到工件的形狀［1］。識別到工件真實形狀后要能用于后續(xù)補(bǔ)償加工，因此，不同于三坐標(biāo)測量機(jī)只需評價檢測結(jié)果是否符合設(shè)計公差的要求［2］，在機(jī)測量是需要依據(jù)離散檢測結(jié)果擬合工件的實際形狀。擬合工件形狀的精度不僅取決于擬合方法，還與測量點(diǎn)采樣策略密切相關(guān)。一般地，采樣點(diǎn)數(shù)量越多，擬合工件的形狀就越準(zhǔn)確，對此，RENISHAW公司率先開發(fā)出了掃描式測頭，每秒可采集1000個數(shù)據(jù)點(diǎn)，具有高精度、高效率等特點(diǎn)［3］。該測頭依賴復(fù)雜的專用軟件和機(jī)床配置，購置和應(yīng)用成本很高，不利于在當(dāng)前航空發(fā)動機(jī)制造企業(yè)中推廣。但航發(fā)制造企業(yè)中大多數(shù)機(jī)床上都配有機(jī)械觸發(fā)式測頭，如何利用好現(xiàn)有的觸發(fā)式測頭，準(zhǔn)確測量和擬合葉片形狀更具有現(xiàn)實應(yīng)用價值。

為了評價航空發(fā)動機(jī)葉片復(fù)雜曲面，其測量被簡化為沿積疊軸方向測量一組截面輪廓線。國內(nèi)高校學(xué)者針對葉片曲面測量開展了一系列的研究，卜昆等［4］研究了均勻采樣、曲率采樣、弦公差采樣和曲率-弧長采樣等方法對渦輪葉片型線上特征參數(shù)計算精度的影響。Zhao等［5］將自由曲面的檢測簡化為對一些截面線的測量，采用B樣條曲線來逼近檢測的截面線，并將構(gòu)建B樣條曲線所需的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為測量點(diǎn)，通過多個擬合案例驗證了所提方法的有效性。藺小軍等［6］針對薄壁葉片型線測量點(diǎn)分布不均問題，提出了一種測量點(diǎn)分區(qū)域采樣方法，在測量點(diǎn)規(guī)劃時考慮了葉片型線上前后緣和葉盆、葉背過渡區(qū)域加工誤差的分布情況。于紅英等［7］開發(fā)了葉片測量儀專用軟件，集成了葉片上型線的擬合、偏置和匹配等功能。王進(jìn)［8］采用三次 NURBS 曲線擬合葉片上規(guī)劃的測量點(diǎn)與理論點(diǎn)，分別生成測量輪廓曲線和理論輪廓曲線，該方法已用于實際的葉片輪廓曲線擬合和匹配。這些研究工作為規(guī)劃葉片上測量點(diǎn)分布提供了優(yōu)化依據(jù)。

測量點(diǎn)的疏密直接影響在機(jī)測量的效率和擬合測量曲線的精度，對此許多國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了研究。趙世田等［9］研究了三維型值點(diǎn)數(shù)據(jù)的B樣條曲線重構(gòu)技術(shù)，在設(shè)定逼近誤差的要求下迭代計算出最終關(guān)鍵點(diǎn)和控制頂點(diǎn)。Sarkar和Menq［10］提出了曲線測量過程中自動控制測量點(diǎn)數(shù)量的算法，通過最小二乘擬合得到光滑參數(shù)曲線和實體模型上的合理測量點(diǎn)。Luche和Morken［11］提出了一種減少B樣條函數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)的方法，以限定樣條函數(shù)的擾動偏差在給定容差內(nèi)來縮減擬合曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)。Liu等［12］開發(fā)了一種基于較少測量點(diǎn)重建葉片曲面的算法，該方法在考慮葉片型面的設(shè)計信息和曲率連續(xù)性的情況下，使用B樣條曲線重構(gòu)獲得高質(zhì)量的曲面模型。上述文獻(xiàn)重點(diǎn)分析了測量點(diǎn)采樣策略對擬合精度的影響規(guī)律，側(cè)重于擬合算法的改進(jìn)研究，但沒能揭示在機(jī)測量中測量點(diǎn)采樣影響擬合誤差的量化關(guān)系。

綜上所述，基于在機(jī)測量結(jié)果擬合工件截面輪廓的幾何形狀會引入擬合誤差。通常，測量點(diǎn)個數(shù)越多，工件形狀擬合精度就越高，但同時可能造成部分測量點(diǎn)冗余，會降低在機(jī)測量檢測效率，占用機(jī)床切削時間。因此，以葉片在機(jī)測量工藝規(guī)劃為研究對象，定量分析了測量點(diǎn)分布對擬合誤差的影響規(guī)律，提出了一種考慮擬合精度的航空發(fā)動機(jī)葉片在機(jī)測量采樣策略，在給定擬合允差的前提下最小化測量點(diǎn)數(shù)量。最后基于檢測離心式葉輪驗證了該方法的可行性和有效性。

1 在機(jī)測量系統(tǒng)中誤差源分析

1.1 核心概念定義

航空發(fā)動機(jī)葉片類零件在機(jī)測量前，通常在葉身設(shè)計曲面上規(guī)劃若干截面輪廓線，測量點(diǎn)分布在這些截面輪廓線上［13］，如圖1（a）所示。在這些輪廓線上布置測量點(diǎn)時，常用的采樣方法有等弦高差法、等參數(shù)法、等步長法和自適應(yīng)采樣法等［14］。在工件切削結(jié)束后，依據(jù)葉片理論設(shè)計曲面上規(guī)劃好的測量點(diǎn)，測量得到輪廓上離散的檢測結(jié)果。通過擬合這些檢測結(jié)果得到截面輪廓線，進(jìn)一步擬合截面輪廓線獲取葉片曲面，擬合的葉片曲面可作為優(yōu)化后續(xù)加工工藝的依據(jù)，如圖1（b）所示。

圖1 葉片曲面降維成一組截面輪廓線Fig.1 Blade surface reduced to a set of section profile curves

三坐標(biāo)測量機(jī)工作環(huán)境穩(wěn)定且本身機(jī)械結(jié)構(gòu)精度高，因此其檢測結(jié)果是工件實際形狀的參考值，可以認(rèn)為不包含測量誤差。為了后續(xù)分析在機(jī)測量系統(tǒng)中的擬合誤差，先給出如下定義：

理論設(shè)計曲線：構(gòu)建葉身理論設(shè)計曲面所依賴的一組平面輪廓曲線，記為Cd(t)，t∈[0，1]。

實際加工曲線：加工后葉身上真實的輪廓曲線，記為Cp(t)，該曲線是葉身工件截面輪廓的真值，但無法精確獲取。

理論測量點(diǎn)擬合曲線：在葉片理論設(shè)計曲線上按照步長h采樣，得到理論測量點(diǎn)集合，擬合該測量點(diǎn)集合得到曲線Ch(t)。

在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線：使用在機(jī)測頭檢測理論測量點(diǎn)獲得在機(jī)測量檢測結(jié)果，基于檢測結(jié)果擬合得到的曲線Cf(t)。

三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線：依據(jù)理論測量點(diǎn)使用三坐標(biāo)測量機(jī)檢測，基于三坐標(biāo)測量機(jī)檢測結(jié)果擬合獲得的曲線Cs(t)，作為實際加工曲線的參考值。

理論測量點(diǎn)、在機(jī)測量檢測結(jié)果、三坐標(biāo)測量機(jī)檢測結(jié)果和各擬合曲線示意圖見圖2。

圖2 測量點(diǎn)集、理論設(shè)計曲線和各擬合曲線示意圖Fig.2 Diagram of measurement points， nominal design curve and each fitted curve.

在擬合上述理論點(diǎn)和檢測結(jié)果時均選用三次準(zhǔn)均勻B樣條曲線［15］，該樣條曲線的參數(shù)域為t∈[0，1]，參數(shù)表達(dá)式為

式中：r(t)為參數(shù)t的k次分段多項式；Ni，k(t)為B樣條曲線的基函數(shù)；Vi為樣條曲線的控制頂點(diǎn)。

1.2 擬合誤差計算及誤差關(guān)系建模

為了評價擬合曲線的擬合精度，提出一種擬合誤差的計算方法，以圖3為例闡述具體計算思路。

圖3 兩樣條曲線間擬合誤差計算原理Fig.3 Calculation principle of fitting error between two splines.

在節(jié)點(diǎn)矢量區(qū)間[ti，ti+1]內(nèi)采集若干節(jié)點(diǎn)

ui(i=1，2，...，j)，通過采集的節(jié)點(diǎn)在樣條曲線段Ci上取出對應(yīng)的點(diǎn)集為qi，樣條曲線段Ci′上的點(diǎn)集為pi，則曲線Ci和Ci′在節(jié)點(diǎn)矢量區(qū)間[ti，ti+1]內(nèi)的擬合誤差ε可表示為

葉片銑削后的實際加工曲面與理論設(shè)計曲面之間存在加工誤差，該誤差無法通過測量手段準(zhǔn)確獲取。此外，在機(jī)測量時檢測結(jié)果中又會引入測量誤差。因此與理論測量點(diǎn)相比，在機(jī)測量結(jié)果中包含了加工誤差和測量誤差。進(jìn)一步，擬合在機(jī)測量檢測結(jié)果時還會引入擬合誤差。對于1.1節(jié)中定義的各曲線，相互之間的誤差關(guān)系模型如圖4所示。

圖4 各擬合曲線間的誤差關(guān)系模型Fig.4 Error relationship model between fitted curves

分析該模型能夠得到如下結(jié)論：

結(jié)論1由于葉片上實際加工曲線Cp(t)無法獲得，因此無法建立與實際加工曲線相關(guān)的誤差等式。

結(jié)論2在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)和理論設(shè)計曲線Cd(t)之間存在加工誤差、測量誤差和擬合誤差。這些誤差源耦合并作用于擬合曲線Cf(t)上，造成在機(jī)測量結(jié)果的擬合誤差|e2(t)|無法直接計算。

由上述兩個結(jié)論可知，在機(jī)測量結(jié)果的擬合誤差無法直接計算，但通過對在機(jī)測量系統(tǒng)中多源誤差的參數(shù)化建模，能夠建立在機(jī)測量結(jié)果的擬合誤差上界模型［16］。在本文中，以逼近程度評價擬合曲線與理論設(shè)計曲線之間的相似性，以相似程度評價兩擬合曲線之間的相似性。

2 截面輪廓的在機(jī)測量擬合誤差建模

2.1 在機(jī)測量擬合誤差建模流程

由1.2節(jié)中結(jié)論可知，加工誤差、測量誤差和擬合誤差等誤差源相互耦合，造成在機(jī)測量擬合誤差無法直接定量計算。借鑒放縮變換的思想［17］，將等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，利用不等式的傳遞性，在耦合誤差源中通過不等式變換消除加工誤差和測量誤差，進(jìn)而構(gòu)建在機(jī)測量擬合誤差上界模型。進(jìn)一步，依據(jù)有限元理論中離散逼近誤差原理構(gòu)建擬合誤差上界模型與采樣步長之間關(guān)系，進(jìn)而得到由采樣步長表示的在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差上界等式，通過判斷擬合誤差上界值是否滿足設(shè)定的擬合允差量迭代計算出最少的采樣點(diǎn)個數(shù)，具體的計算流程如圖5所示。

圖5 最少測量點(diǎn)數(shù)量計算流程Fig.5 Flowchart of calculating the minimum number of measurement points

2.2 在機(jī)測量擬合誤差上界建模

由1.2節(jié)中結(jié)論1可知，由于表示截面輪廓線真值的實際加工曲線Cp(t)不能精確獲得，根據(jù)圖4中各類曲線間存在的誤差關(guān)系可歸納出理論設(shè)計曲線、理論測量點(diǎn)擬合曲線、在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線之間的誤差等式，在機(jī)測量擬合誤差上界的建模過程如下：

1） 截面輪廓的在機(jī)測量中多源誤差關(guān)系建模

①由理論測量點(diǎn)擬合的曲線Ch(t)與理論設(shè)計曲線Cd(t)之間存在擬合誤差|e1(t)|，如式（3）所示；②根據(jù)在機(jī)測量結(jié)果擬合獲得曲線Cf(t)，該曲線包含了加工誤差|M(t)|和在機(jī)測量誤差|E(t)|，而與Cd(t)之間還存在擬合誤差|e2(t)|，如式（4）所示；③由式（5）可知，在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)和理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)之間存在加工誤差|M(t)|、在機(jī)測量誤差|E(t)|、擬合誤差|e1(t)-e2(t)|；④對于在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)之間，有在機(jī)測量誤差|E(t)|、擬合誤差|e2(t)-e3(t)|，如式（6）所示；⑤式（7）中理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)之間存在加工誤差|M(t)|和擬合誤差|e1(t)-e3(t)|；⑥理論設(shè)計曲線Cd(t)和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)之間存在加工誤差|M(t)|、擬合誤差|e3(t)|，如式（8）所示。

2） 截面輪廓的擬合誤差建模

由于工件切削過程中的加工誤差|M(t)|無法準(zhǔn)確獲得，同時與在機(jī)測量誤差|E(t)|、擬合誤差等誤差項相耦合。因此，需要基于上述誤差等式消除加工誤差項和測量誤差項，得到僅含有擬合誤差項的等式，計算結(jié)果為

3） 截面輪廓的擬合誤差上界建模

根據(jù)1.2節(jié)中結(jié)論2和式（9）～式（12）可知，截面輪廓的擬合誤差建模得到的等式關(guān)系中包含了理論測量點(diǎn)、在機(jī)測量結(jié)果和三坐標(biāo)測量機(jī)結(jié)果擬合誤差，無法獲得僅含有在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差項的等式。但可以構(gòu)建在機(jī)測量擬合誤差的上界模型，以此分離出在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差。基于放縮變換思想先對式（11）右邊的擬合誤差進(jìn)行兩次變換，則有：

將式（6）代入式（13）中，式（13）可重寫為

則測量誤差|E(t)|可變換為

式（8）轉(zhuǎn)變?yōu)閨e3(t)|=|Cd(t)-Cs(t)|-|M(t)|，再結(jié)合式（9）對式（12）中右邊項進(jìn)行變換，具體過程為

進(jìn)一步，加工誤差|M(t)|可變換為

最后，由式（4）表示出在機(jī)測量擬合誤差|e2(t)|，并結(jié)合式（15）和式（17）進(jìn)行變換，得到在機(jī)測量擬合誤差|e2(t)|的上界為

式中：|Cd(t)-Cs(t)|為理論設(shè)計曲線Cd(t)與三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)間誤差；|Cf(t)-Cs(t)|為在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)與三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)間誤差；|Ch(t)-Cd(t)|為理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)與理論設(shè)計曲線Cd(t)間誤差；|Cf(t)-Cd(t)|為在機(jī)測量結(jié)果擬合曲線Cf(t)與理論設(shè)計曲線Cd(t)間誤差；|Ch(t)-Cs(t)|為三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)與理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)間誤差。在本文計算中，|Cd(t)-Cs(t)|、|Cf(t)-Cs(t)|、|Ch(t)-Cd(t)|、|Cf(t)-Cd(t)|和|Ch(t)-Cs(t)|是兩樣條曲線間誤差。

2.3 建立擬合誤差上界模型與采樣步長關(guān)系

在機(jī)測量擬合誤差上界表達(dá)式由理論設(shè)計曲線、理論測量點(diǎn)擬合曲線、在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線相互間的誤差項共同表示。依據(jù)有限元理論中離散逼近誤差方法［18］以及1.2節(jié)中逼近程度、相似程度的定義，建立兩樣條曲線間誤差與采樣步長之間的關(guān)系：

式中：h為參數(shù)域內(nèi)的步長；P為擬合曲線的次數(shù)；C1為由理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)向理論設(shè)計曲線Cd(t)的逼近程度；C2為由在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)向理論設(shè)計曲線Cd(t)的逼近程度；C3為由三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)向理論設(shè)計曲線Cd(t)的逼近程度；C4為在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)間的相似程度；C5為三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)和理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)間的相似程度。

因此，在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差|e2(t)|上界與采樣步長之間的關(guān)系為

2.4 擬合誤差上界模型中系數(shù)標(biāo)定算法

由2.3節(jié)可知，在機(jī)測量擬合誤差上界值可進(jìn)一步采用步長和系數(shù)表示，式（20）中各個系數(shù)值均可采用系數(shù)標(biāo)定算法計算得到，以計算C1值為例，該算法具體的實施步驟為

步驟1給定初始步長h=ha，依據(jù)等步長法和h在理論設(shè)計曲線Cd(t)上采樣一組點(diǎn)集Θn；對于在機(jī)測量和三坐標(biāo)測量機(jī)檢測時，需要先根據(jù)經(jīng)驗值設(shè)定一個初始小步長hmin，離散得到一組密集的測量點(diǎn)［19］，使用在機(jī)測量和三坐標(biāo)測量機(jī)一次檢測所有采樣點(diǎn)獲得檢測結(jié)果，此時再根據(jù)步長h=ha在檢測結(jié)果中取出對應(yīng)的測量點(diǎn)集合。

步驟2擬合采樣點(diǎn)集Θn得到理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)；當(dāng)計算系數(shù)C2-C5，涉及到在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)時，需要分別擬合在機(jī)測量檢測結(jié)果和三坐標(biāo)測量機(jī)檢測結(jié)果得到對應(yīng)的曲線。

步驟3計算樣條曲線Ch(t)與Cd(t)之間的二范數(shù)表示為

式中：a、b為參數(shù)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)矢量區(qū)間；M為節(jié)點(diǎn)個數(shù)，由步長h和三次準(zhǔn)均勻B樣條曲線性質(zhì)決定。

步驟4令式（21）中積分函數(shù)等于f(t)，則式（21）變?yōu)?/p>

步驟5選擇4節(jié)點(diǎn)的高斯積分［20］，對應(yīng)的高斯積分點(diǎn)值和權(quán)重如表1所示，將式（22）中一般定積分問題轉(zhuǎn)化為高斯積分問題，得到：

表1 高斯積分點(diǎn)值和權(quán)重Table 1 Gaussian integral points value and weights

步驟6將［-1，1］區(qū)間內(nèi)的高斯積分點(diǎn)轉(zhuǎn)換到樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量區(qū)間[a，b]內(nèi)，故當(dāng)積分節(jié)點(diǎn)數(shù)目為4時，有：

對于積分區(qū)間[a，b]，用線性變換將積分區(qū)間由[a，b]變成［-1，1］， 根據(jù)可得：

將uk、ωk代入式（23）中得到：

則式（22）可以表示為

步驟7對等式|Ch(t)-Cd(t)|=C1·hP+1兩端取對數(shù)，得到：

式中：設(shè)y=ln|Ch(t)-Cd(t)|，x=lnh，c=P+1，d=lnC1，則式（28）表示為y=cx+d，解出對應(yīng)的系數(shù)值C1。

按照上述步驟可以得到系數(shù)C2～C5值，進(jìn)一步計算得到在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差|e2(t)|的上界值。在規(guī)劃測量工藝時，為了保證擬合曲線的連續(xù)幾何形狀，根據(jù)葉片的制造公差帶指定在機(jī)測量結(jié)果擬合允差量［19］，記為δ，則根據(jù)式（29）可進(jìn)行在機(jī)測量結(jié)果擬合允差量的判定。若符合條件，則對應(yīng)的步長滿足要求；反之步長取h=h/2 （對于在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線，需要根據(jù)變換后的步長在獲得的檢測結(jié)果中重新取出對應(yīng)的測量點(diǎn)），重復(fù)執(zhí)行步驟 1～步驟 7并結(jié)合式（29）進(jìn)行擬合允差量的判定，直至符合精度要求。

3 實驗驗證與分析

借助本文提出的方法以測量某型號離心式葉輪上6個葉片為例驗證其有效性，具體的實驗規(guī)劃流程如圖6所示。實驗中使用的主要設(shè)備有RENISHAW OMP 40-2小型高精度觸發(fā)式測頭、北京精雕JDGR200_A10H型五軸機(jī)床和蔡司CONTURA 7106型三坐標(biāo)測量機(jī)。

圖6 實驗驗證流程Fig.6 Experimental verification process

3.1 葉片1實驗規(guī)劃與流程

根據(jù)2.4節(jié)中系數(shù)標(biāo)定算法可知，在測量前需要在葉背的一條樣條曲線上設(shè)置初始小步長，取步長h=0.006 25，布置161個測量點(diǎn)，如圖7（a）所示，其部分理論坐標(biāo)如表2所示。為了獲取葉輪加工后的實際形狀，需要先用三坐標(biāo)測量機(jī)測量規(guī)劃的測量點(diǎn)，如圖7（b）所示，部分測量點(diǎn)的三坐標(biāo)測量機(jī)檢測結(jié)果如表3所示。

表2 葉片1上初始步長下測量點(diǎn)理論坐標(biāo)Table 2 Nominal coordinates of measuring point under initial step on blade 1

表3 葉片1上初始步長下測量點(diǎn)的三坐標(biāo)測量機(jī)檢測結(jié)果Table 3 CMM inspection results of measuring point under initial step on blade 1

圖7 葉片上測量點(diǎn)規(guī)劃和三坐標(biāo)測量機(jī)檢測過程Fig.7 Measuring point planning on blade and CMM inspection process

在機(jī)測量過程中，為了避免機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸發(fā)生突變以及測頭與工件發(fā)生干涉，規(guī)劃探針軸向時需要保證旋轉(zhuǎn)軸安全、平穩(wěn)的轉(zhuǎn)動［21］。實驗前，使用直徑19.999 7 mm的標(biāo)準(zhǔn)球?qū)υ跈C(jī)測頭進(jìn)行校準(zhǔn)，校準(zhǔn)數(shù)據(jù)用于補(bǔ)償在機(jī)測量檢測結(jié)果，校準(zhǔn)過程如圖8（a）所示，對葉片1上161個測量點(diǎn)重復(fù)測量10次，取均值作為最終檢測結(jié)果，其在機(jī)測量現(xiàn)場如圖8（b）所示。對于直徑為120 mm的離心式葉輪上葉片，其葉背制造公差帶［22-23］一般為0.06～0.1 mm，設(shè)定在機(jī)測量結(jié)果的擬合允差量［19，24］為0.02 mm，則在機(jī)測量擬合誤差上界值迭代計算過程如下：

圖8 測頭標(biāo)定和葉片測量現(xiàn)場Fig.8 Probe calibration and blade measurement site

1） 取步長h=0.2，在理論設(shè)計曲線上采樣6個理論測量點(diǎn)，根據(jù)2.4節(jié)中步驟1及步長分別在初始的161個三坐標(biāo)測量機(jī)檢測結(jié)果和在機(jī)測量檢測結(jié)果中取出對應(yīng)的6個測量點(diǎn)坐標(biāo)，對擬合誤差上界模型中各曲線進(jìn)行擬合，并求解系數(shù)C1～C5，由式（29）計算得到在機(jī)測量擬合誤差上界值為0.064 3 mm，不滿足在機(jī)測量結(jié)果擬合允差量0.02 mm的要求，減小步長再次迭代。

2） 取步長h=0.1時共11個測量點(diǎn)，取出在機(jī)測量和三坐標(biāo)測量機(jī)檢測結(jié)果中對應(yīng)的11個測量點(diǎn)坐標(biāo)，用于擬合各曲線并求解出在機(jī)測量擬合誤差上界值為0.028 8 mm，大于在機(jī)測量結(jié)果擬合允差量0.02 mm。進(jìn)行下一次迭代，迭代步長h=0.05。

3） 采樣21個理論測量點(diǎn)，分別在三坐標(biāo)測量機(jī)和在機(jī)測量檢測結(jié)果中取出對應(yīng)的21個檢測點(diǎn)坐標(biāo)用于擬合各曲線，計算得到的在機(jī)測量擬合誤差上界值為0.018 6 mm，滿足在機(jī)測量結(jié)果擬合允差量0.02 mm的要求，停止迭代。

因此，21個測量點(diǎn)為在滿足擬合允差、保證測量工藝效率下的最少測量點(diǎn)數(shù)量。不同測量點(diǎn)數(shù)量下的在機(jī)測量擬合誤差上界值如圖9所示。

圖9 不同采樣點(diǎn)個數(shù)下的在機(jī)測量擬合誤差上界值Fig.9 Upper bound of fitting error of on-machine measurement with different number of sampling points

3.2 葉片1計算結(jié)果分析

不同采樣點(diǎn)數(shù)量下各曲線間的誤差值如表4所示。在此案例中，步長h=0.05與步長為0.2、0.1時相比，理論設(shè)計曲線Cd(t)與理論測量點(diǎn)擬合曲線Ch(t)間誤差值降低，小于0.3 μm，兩曲線具有較高的重合度。而在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線Cf(t)、三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線Cs(t)與理論設(shè)計曲線、理論測量點(diǎn)擬合曲線間誤差值均增大，這是由于隨著采樣點(diǎn)個數(shù)增加，計算擬合誤差時引入的在機(jī)測量和三坐標(biāo)測量機(jī)檢測誤差增大而造成的。但伴隨著步長的減小，由曲線間誤差和步長二者綜合表征的在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差上界值減小。當(dāng)?shù)嬎愠龅脑跈C(jī)測量結(jié)果擬合誤差上界滿足設(shè)定的擬合允差時，既能夠保證在機(jī)測量結(jié)果擬合曲線的連續(xù)幾何形狀，同時測量點(diǎn)數(shù)量最少，有利于提升檢測效率。

表4 不同采樣點(diǎn)個數(shù)下各曲線間誤差Table 4 Error between each curve with different number of sampling points

3.3 有效性驗證與分析

為了進(jìn)一步驗證葉片1案例中計算結(jié)果的有效性，在其他葉片與葉片1加工質(zhì)量一致性好以及測量工藝一致的前提下，將3.1節(jié)中得到的21個測量點(diǎn)布置在其他5個葉片上相同位置處，如圖10所示。使用在機(jī)測量和三坐標(biāo)測量機(jī)檢測各個葉片，并基于提出的方法計算5個葉片上在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差的上界值，結(jié)果見圖11。

圖10 其他葉片上布置的測量點(diǎn)Fig.10 Measuring points planned on other blades

圖11 其他葉片上測量點(diǎn)擬合誤差的上界值Fig.11 Upper bound of fitting error of measuring points on other blades

分析圖11可知：① 葉片6上測量點(diǎn)的擬合誤差上界值最大，為0.019 2 mm；葉片2上在機(jī)測量擬合誤差上界值最小，為0.016 8 mm；5個葉片上測量點(diǎn)的擬合誤差上界值均小于給定的擬合允差量0.02 mm；② 由葉片1案例中計算得到的最少測量點(diǎn)數(shù)量可用于規(guī)劃其他5個葉片上采樣點(diǎn)。這為葉片類曲面零件在機(jī)測量中的測量點(diǎn)規(guī)劃提供了一種新思路，有助于提高葉片類零件測量工藝的規(guī)劃效率，實現(xiàn)高效的在機(jī)測量。

3.4 其他曲面類零件上應(yīng)用流程

提出的方法可推廣應(yīng)用于曲軸、模具和齒輪等具有曲面加工特征零件的在機(jī)測量采樣點(diǎn)規(guī)劃。通過獲取截面輪廓線、規(guī)劃測量點(diǎn)、擬合測量結(jié)果曲線、迭代計算采樣步長等關(guān)鍵步驟，確定滿足擬合允差時的最少采樣點(diǎn)數(shù)量。以斜齒輪為例闡述具體應(yīng)用流程：

步驟1在斜齒輪的齒廓曲面上規(guī)劃一組截面輪廓線（即齒廓曲線），并在截面輪廓線上基于等步長法采集一系列初始的理論測量點(diǎn)，如圖12所示。

圖12 齒廓曲面的在機(jī)測量應(yīng)用案例Fig.12 Application case of on-machine measurement of tooth profile surface

步驟2參考齒廓曲面的制造公差合理設(shè)定截面輪廓線的在機(jī)測量結(jié)果擬合允差量。

步驟3使用三坐標(biāo)測量機(jī)和在機(jī)測量檢測所有測量點(diǎn)，并保存測量結(jié)果。

步驟4根據(jù)初始步長h=ha在三坐標(biāo)測量結(jié)果和在機(jī)測量結(jié)果中分別取出對應(yīng)的檢測點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而擬合理論測量點(diǎn)、在機(jī)測量結(jié)果和三坐標(biāo)測量結(jié)果獲得理論測量點(diǎn)擬合曲線、在機(jī)測量點(diǎn)擬合曲線和三坐標(biāo)測量點(diǎn)擬合曲線。

步驟5根據(jù)2.3節(jié)和2.4節(jié)中方法計算該步長下在機(jī)測量結(jié)果的擬合誤差上界值，并結(jié)合式（29）進(jìn)行擬合允差量的判定。

步驟6若計算出的擬合誤差上界值滿足擬合允差量的要求，此時該步長對應(yīng)的測量點(diǎn)數(shù)量最少；否則縮短步長h=h/2，重復(fù)執(zhí)行步驟4～步驟6，直至符合設(shè)定的擬合允差量要求。

4 結(jié)論

1）提出了一種表征截面輪廓線擬合誤差的方法，能夠從在機(jī)測量系統(tǒng)的多源誤差中分離并定量表示出在機(jī)測量檢測結(jié)果擬合截面輪廓線的擬合誤差。

2）建立了在機(jī)測量結(jié)果擬合誤差上界模型，并提出了在滿足給定的擬合允差量前提下、最小化測量點(diǎn)數(shù)量的優(yōu)化方法。該方法適用于其他具有曲面加工特征的零件，并以斜齒輪為例闡述了其具體應(yīng)用流程，是一種提升在機(jī)測量效率的測量工藝優(yōu)化新思路。

3）以某型號離心式葉輪上葉片的在機(jī)測量為例，采用提出的規(guī)劃方法在滿足擬合允差0.02 mm時只需迭代計算3次就可確定最少測量點(diǎn)數(shù)量，并在其他5個葉片上進(jìn)行了有效性驗證。試驗結(jié)果表明本文提出的方法可行、有效，適用于葉片曲面上測量點(diǎn)采樣規(guī)劃，可為大批量葉片在機(jī)測量時的采樣點(diǎn)工藝規(guī)劃提供參考。

4）闡述了在機(jī)測量中測量點(diǎn)分布對曲線擬合誤差的影響規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，融合采樣點(diǎn)位置以及由曲線擴(kuò)展至曲面的在機(jī)測量檢測點(diǎn)采樣策略可作為下一步研究重點(diǎn)。