蔡天洋

摘 要：災(zāi)害發(fā)生初期，應(yīng)急物資往往供不應(yīng)求，救援組織的決策者需要合理規(guī)劃運輸車輛路徑、物資分配數(shù)量，同時兼顧成本最小化和公平最大化。然而，這兩個目標(biāo)往往是沖突的，如何權(quán)衡這兩個目標(biāo)并為決策者提供建議是值得討論的問題。文章引入福利經(jīng)濟學(xué)中的基尼系數(shù)來刻畫救援的公平性，以社會成本最小化為目標(biāo)設(shè)計了一個與決策者交互的應(yīng)急物流模型；并基于2010年玉樹地震的案例對模型進行仿真求解，驗證了模型的有效性。最后，文章根據(jù)一些參數(shù)的敏感性分析討論了公平性改善與成本投入之間的博弈。

關(guān)鍵詞：應(yīng)急物流；成本與公平；基尼系數(shù)；資源分配

中圖分類號：F252文獻標(biāo)志碼：ADOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.08.006

Abstract： In the early stages of disasters， emergency supplies often fall short of demand. Decision makers in rescue organizations need to reasonably plan the route of transportation vehicles and the quantity of supplies allocated， while minimizing costs and maximizing fairness. However， these two goals are often conflicting， and how to balance these two goals and provide advice to decision makers is a question worth discussing. This paper introduces the Gini coefficient in welfare economics to characterize the fairness of rescue， and designs an emergency logistics model that interacts with decision makers with the goal of minimizing social costs. Based on the case of the Yushu earthquake in 2010， the model was simulated and solved， verifying the effectiveness of the model. Finally， the game between equity improvements and cost inputs is discussed based on sensitivity analysis of some parameters.

Key words： emergency logistics; cost and fairness; Gini coefficient; resource allocation

0 ? ?引 ? ?言

應(yīng)急物流的主要目標(biāo)是在災(zāi)難發(fā)生后拯救生命和減輕人類痛苦。國內(nèi)外諸多學(xué)者針對有限的資源，從物流成本[1]、需求滿足率[2]以及響應(yīng)時間[3]等方面進行了大量的研究。然而，大部分研究忽略了受益人得到公平援助的權(quán)益。特殊時期的武漢和上海的物資分配問題凸顯了保障受益人權(quán)益的重要性。近年來，隨著人道主義原則的提出，越來越多學(xué)者開始從受災(zāi)者本身出發(fā)，治療他們的心理創(chuàng)傷，尋求一種高效且公平的應(yīng)急物資分配方案。

目前，國內(nèi)外衡量公平分配的函數(shù)沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，主流研究采用剝奪成本[4]、最大最小函數(shù)[5]、嫉妒與同情函數(shù)[6]等構(gòu)造來表示公平性的函數(shù)。例如，Holguin-Veras 提出使用社會成本，通過在物流成本上增加剝奪成本作為災(zāi)后物流模型的目標(biāo)函數(shù)。剝奪成本被定義為 “無法獲得商品或服務(wù)有關(guān)的人類痛苦的經(jīng)濟價值”。朱莉[4]構(gòu)建了多目標(biāo)動態(tài)應(yīng)急物資分配模型并提出了相對剝奪成本用于刻畫救援的公平性。陳瑩珍[5]通過物資運輸量最大化、最大運輸時間最小化的目標(biāo)函數(shù)來刻畫救援的公平性。陳剛[6]構(gòu)建了以總加權(quán)嫉妒值最小為公平目標(biāo)、以總物流成本最低為效率目標(biāo)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型以應(yīng)對災(zāi)害初期物資分配、路徑規(guī)劃的問題。

關(guān)于應(yīng)急物流公平性的研究中，大多數(shù)研究都將代表公平性的函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，一部分研究單獨將公平性作為唯一的目標(biāo)函數(shù)，另一部分研究采用多目標(biāo)規(guī)劃，公平性是其中的目標(biāo)函數(shù)之一。對于多目標(biāo)規(guī)劃，將公平性函數(shù)直接放到目標(biāo)函數(shù)中，決策者可以直觀地看到公平性與成本或者其他效用目標(biāo)的均衡解，卻忽略了決策者對于不同目標(biāo)的偏好，換言之，決策者不能實現(xiàn)自己期望的公平水平?；诖?，本文提出了約束導(dǎo)向的公平函數(shù)，將公平性函數(shù)作為約束條件，并設(shè)置公平偏差變量，決策者可以根據(jù)其對公平的偏好交互地得出基于其公平偏好水平的物資分配方案。此外，關(guān)于公平函數(shù)的選擇，大多數(shù)研究構(gòu)建的公平性函數(shù)都是線形化函數(shù)或者容易線形化的函數(shù)以方便尋求解決方案?？紤]到線形化的難度，福利經(jīng)濟學(xué)中將反映收入差距的基尼系數(shù)作為公平性函數(shù)的研究并不多。本研究與其他研究不同的是，其嘗試引入福利經(jīng)濟學(xué)中的基尼系數(shù)作為公平性函數(shù)的表達。同時，不同于以往的研究，本研究量化了成本與公平之間的博弈，即成本投入與公平性改善之間的定量關(guān)系。使決策者可以直觀感受到改善公平性所需要額外投入的成本，方便其做出合理的災(zāi)后救援決策。

1 ? ?建模準(zhǔn)備

1.1 ? ?問題描述與研究假設(shè)

在有限資源、車輛容量以及旅行時間的限制下，考慮災(zāi)害發(fā)生以后應(yīng)急物資分配、車輛路線規(guī)劃的問題。為滿足多個受災(zāi)點對于應(yīng)急物資的需求，采用單批次多車輛的調(diào)配策略，通過構(gòu)建兼顧公平性（滿足決策者所提出的公平水平）和效率（總社會成本最小化）的應(yīng)急物資分配模型，探究物資分配公平性與社會總成本之間的平衡關(guān)系。

本文重點關(guān)注公平改善與成本投入之間的關(guān)系，因此在單物資的變體VRP框架下構(gòu)建模型，提出的假設(shè)如下：受災(zāi)點的需求、位置已知；車輛規(guī)格相同，從倉庫滿載出發(fā)，返回倉庫時允許有未分配的多余物資；如果需求未得到滿足，需求點的災(zāi)民會產(chǎn)生心理創(chuàng)傷并且這一創(chuàng)傷可用經(jīng)濟損失來衡量；各個受災(zāi)點只接受單車服務(wù)，不允許多車多次服務(wù)。這一模型可以幫助我們獲得訪問受災(zāi)點的順序、每個受災(zāi)點分配應(yīng)急物資的數(shù)量以及該調(diào)度方案所產(chǎn)生的社會成本、公平水平。

1.2 ? ?符號說明

本文采用以下參數(shù)作為模型的輸入。

1.2.1 ? ?集合

N：倉庫 ?（O）、受災(zāi)點的集合，N=Nd∪0；

Nd：受災(zāi)點的集合；

A：網(wǎng)絡(luò)中的弧線集合；

K：車輛的集合。

1.2.2 ? ?參數(shù)

W：公平偏差限制，決策者所要達到的最低公平水平；

M：極大的常量；

Q：車輛的容量；

T：車輛的最大行駛時間；

Cv：車輛的運營成本；

Cij：車輛從i到j(luò)所產(chǎn)生的行駛成本，i、j∈N；

tij：車輛從i到j(luò)所花費的時間，i、j∈N；

Di：需求點i的需求，i∈Nd；

fi：車輛服務(wù)需求點i的服務(wù)時間，i∈Nd；

ski：車輛k到達需求點i的時間，i∈Nd、k∈K。

1.2.3 ? ?決策變量

xkij：車輛k的遍歷?。╥，j） ，則xkij=1，否則xkij=0，i、j∈N，k∈K；

vki：車輛k訪問需求點i，則vki=1，否則vki=0，i∈Nd，k∈K；

Yki：車輛k分配給需求點i的應(yīng)急物資數(shù)量，i∈Nd，k∈K；

Yi：需求點i收到的應(yīng)急物資，Yi=Σi∈NdYki，i∈Nd；

Ikij：車輛k從i直接運輸?shù)絡(luò)的應(yīng)急物資數(shù)量，i、j∈N，k∈K。

1.3 ? ?公平指標(biāo)與成本指標(biāo)

基尼系數(shù)是國際上用于綜合考查居民收入分配差異的重要分析指標(biāo)。當(dāng)個體收入差距大時，基尼系數(shù)就高；相反，基尼系數(shù)就低?；嵯禂?shù)是根據(jù)洛倫茲曲線即收入分布曲線計算的，其在洛倫茲圖中被定義為描述相對財富的曲線和平等線之間的面積與該線下的三角形面積之比[7]。本文使用一種等效的數(shù)學(xué)表示法提出相對公平的定義來構(gòu)建基于每個需求點收到的應(yīng)急物資數(shù)量的基尼系數(shù)表達。每個需求點收到的應(yīng)急物資數(shù)量Yi（i∈Nd）的基尼系數(shù)如下。

它是一個介于0和1之間的數(shù)值。數(shù)值0代表完全公平，即所有人分享的資源收益或損失相同，而數(shù)值1則代表完全不公平。

此外，本文將應(yīng)急物資分配模型產(chǎn)生的成本分為兩部分：一部分是從運營者角度考慮的運營成本，即運輸費用。另一部分是從受災(zāi)者角度考慮的剝奪成本，即受災(zāi)者因為需求未得到滿足產(chǎn)生的心理創(chuàng)傷成本。這一成本最初由Holguín-Veras提出并廣泛應(yīng)用到應(yīng)急物流中。鑒于模型假設(shè)只考慮單物資，本文給出因缺乏應(yīng)急物資而導(dǎo)致受災(zāi)點i的創(chuàng)傷經(jīng)濟度量值。

其中，α和β是兩個常數(shù)。從剝奪成本的構(gòu)建，我們可以看出，這是一個成本隨著物資數(shù)量匱乏而呈指數(shù)增長的函數(shù)。

基于上述建模準(zhǔn)備，構(gòu)建如下的應(yīng)急救援的物資分配模型，該模型主要解決的決策問題是：在容量約束、旅行時間約束以及決策者所要求的最低公平水平的約束下，尋找使運營方的物流成本與被援助方的剝奪成本總和最小的分配策略和路線調(diào)度方案。

目標(biāo)函數(shù)（1）表示最小化的社會總成本，其中包含車輛的運輸費用、需求點的剝奪費用，體現(xiàn)了應(yīng)急救援的最小化社會成本；約束條件（2）表示可以使用的車輛不能超過倉庫中的車輛；約束條件（3）和（4）表示每輛車從倉庫出發(fā)再返回倉庫并且已經(jīng)返回的車輛不能再次使用；約束條件（5）是流量平衡限制，即車輛訪問某個需求點后必須離開它；約束條件（6）表示每個需求點必須被訪問并且分批交付應(yīng)急物資是不允許的；約束條件（7）表示只有車輛經(jīng)過需求點時，該需求點才會被訪問；約束條件（8）表示車輛訪問需求點時交付給該點的應(yīng)急物資的數(shù)量；約束條件（9）表示車輛的旅行時間限制；約束條件（10）表示公平偏差限制，即模型求解得到的分配方案的公平指標(biāo)不能超過決策者所要求的最低公平限制，體現(xiàn)了應(yīng)急救援的公平性；約束條件（11）和（12）表示車輛的容量限制；約束條件（13）表示車輛到達時間的限制；約束條件（14）表示如果車輛訪問某個需求點，就必須給該需求點分配應(yīng)急物資，這一約束的目的是防止模型為了滿足公平偏差的限制，選擇不給任何需求點分配物資；約束條件（15）表示變量的完整性與非負性。

由于約束條件（10）是一個非線性的約束條件，為了方便求解，將其轉(zhuǎn)化為線性約束。

其中，Zij=Yi-Yj，i，j∈Nd。

2 ? ?案例分析

2.1 ? ?案例介紹

2010年4月14日，青海省玉樹藏族自治州玉樹市發(fā)生6次地震，最高震級7.1級，震源深度13公里。以玉樹地震為案例場景，結(jié)合真實數(shù)據(jù)、部分仿真參數(shù)探究災(zāi)后應(yīng)急帳篷的運輸與分配問題。依據(jù)玉樹地震的災(zāi)情報告，選擇12個鄉(xiāng)鎮(zhèn)受災(zāi)點和災(zāi)區(qū)附近的結(jié)古鎮(zhèn)作為應(yīng)急物資集散中心。帳篷的重量為2千克每頂，帳篷需求量根據(jù)各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的居民數(shù)量來估計；救援車輛為6輛，每輛車的載重為40噸，行駛速度為50km/h且工作時間不超過8h；車輛的運營成本包括運輸成本、發(fā)車成本，分別按照當(dāng)?shù)孛抗锏挠秃膬r格、當(dāng)?shù)刎涇嚢l(fā)車的費用來估計；車輛訪問每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)受災(zāi)點的服務(wù)時間統(tǒng)一為0.5h；車輛的行駛時間是由經(jīng)緯度計算得到的距離與車輛行駛速度的比值；關(guān)于剝奪函數(shù)的系數(shù)，分別取α=1.5、β=0.8。

2.2 ? ?求解方法

傳統(tǒng)的VRP問題已經(jīng)被證明為NP-hard問題，而本文所構(gòu)建的應(yīng)急物資分配模型是VRP問題的變體，因此不難證明模型所要求解的問題也是NP-hard問題。目前此類問題的求解方法分為兩大類：一類是利用商業(yè)求解器，例如CEPLEX、GUROBI等進行求解，此類求解器適用于小規(guī)模算例。另一類是設(shè)計啟發(fā)式算法，例如使用遺傳算法、蟻群算法等進行求解，所得到的解并不是最優(yōu)解，而是近似最優(yōu)解，這一類求解方法適用于大規(guī)模算例。

考慮到我們所探究的重點問題是成本與公平的平衡而不是求解速度，并且所介紹的案例屬于小規(guī)模案例。因此我們使用python調(diào)用了GUROBI求解器對上述案例進行了求解。當(dāng)然，針對大規(guī)模問題，我們這里也提供了啟發(fā)式算法來設(shè)計思路。考慮一個兩階段算法，包含路線檢索階段與應(yīng)急物資分配階段。路線檢索階段，可以采用合適的搜索算法，盡可能多地搜索滿足行駛時間等限制的路線。應(yīng)急物資分配階段，對于給定的一條路線，我們給出滿足公平偏差限制的方案。綜合考慮，對于路線檢索階段所搜索到的每一條路徑，我們采用應(yīng)急物資分配階段的方法分別得到其目標(biāo)函數(shù)值，最后找到所有路線中目標(biāo)函數(shù)值最小的路線即近似最優(yōu)的解決方法。

2.3 ? ?敏感性分析

在本節(jié)中，我們通過調(diào)整公平偏差限制探究成本與公平性之間的博弈。因為基尼系數(shù)是不超過1的數(shù)值，所以公平偏差限制應(yīng)該在0～1。將W以0.1為步長，分別設(shè)置10個不同的W，然后對該案例在不同W下進行求解，結(jié)果如表1所示。

由表1可知：當(dāng)W=1時，此時模型等價于不考慮公平性而只對社會成本最小化，因此這是一種社會成本最小化的解決方案。W取值過大并不會增加社會成本，這是因為如果不考慮公平性而僅僅最小化社會成本，也存在基尼系數(shù)，如果W取值較大，僅最小化社會成本的方案也會被接受。隨著決策者逐漸重視應(yīng)急物資分配的公平性，其需要投入的額外社會成本逐漸增加。按照步長0.1逐漸減小，額外投入成本呈增加趨勢。例如：W=0.6→W=0.5，成本需要增加13.38%；W=0.5→W=0.4，成本需要增加16.72%；同理，W依次發(fā)生后續(xù)數(shù)量變化時成本的增加量分別為19.07%、22.74%、31.79%。這說明決策者在選擇公平偏差限制時，要考慮成本投入帶來公平性改善的性價比是否在自己的心理預(yù)期內(nèi)。

此外，我們還通過改變模型中的一些參數(shù)來探究成本與公平的博弈。圖1展示了這一結(jié)果：增加車輛的行駛時間、縮短車輛訪問需求點的服務(wù)時間以及增大車輛的容量都可以降低改善公平性所需要投入的成本。前兩種措施的本質(zhì)是使車輛相較之前可以訪問更多需求點而減少車輛的使用，減少了發(fā)車費用；此外，同一輛車訪問更多需求點也有利于同一車輛上的物資通過轉(zhuǎn)移的方式提升公平性。增加車輛容量的本質(zhì)是增大供給，因此會降低需求點的剝奪成本；此外容量的提升也有助于需求點之間的應(yīng)急物資通過轉(zhuǎn)移改善公平性。

3 ? ?結(jié) ? ?論

本研究兼顧了社會成本與公平性的應(yīng)急物資分配和路線調(diào)度。首先，為強調(diào)人道主義救援的公平性原則，引入了福利經(jīng)濟學(xué)中的基尼系數(shù)并將其納入約束條件中，以社會成本最小化為目標(biāo)構(gòu)建了與決策者交互的應(yīng)急物資分配模型并且探究了成本與公平之間的關(guān)系。其次，以2010年玉樹地震為案例背景進行對比分析，以展示不同公平水平下的成本投入。最后，通過實施敏感性分析討論不同行駛時間、服務(wù)時間以及車輛容量下公平與成本之間的博弈。

未來研究可考慮需求不確定的情景下成本與公平的博弈，也可以考慮多種類物資的分配與路線規(guī)劃。此外，未來研究還可以考慮將代表公平函數(shù)的基尼系數(shù)納入目標(biāo)函數(shù)中，構(gòu)建單目標(biāo)或者多目標(biāo)規(guī)劃并探究最優(yōu)方法。

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