無限隱Markov模型在缺失數(shù)據(jù)軸承退化趨勢預(yù)測中的應(yīng)用

李志農(nóng) 李舒揚 柳寶 陶俊勇

摘要 相比較于在完整數(shù)據(jù)下設(shè)備性能退化預(yù)測，缺失數(shù)據(jù)下的預(yù)測是更加困難的，也是更有意義的。然而，現(xiàn)有的軸承性能退化預(yù)測方法都未考慮缺失數(shù)據(jù)下的預(yù)測，基于此，提出了一種基于無限隱馬爾可夫模型的缺失數(shù)據(jù)下軸承退化預(yù)測方法。在提出的方法中，通過建立無限隱馬爾可夫預(yù)測模型，預(yù)測了滾動軸承樣本數(shù)據(jù)在振蕩階段所缺失的數(shù)據(jù)點，形成新的完整數(shù)據(jù)。同時，再使用建立的預(yù)測模型對新的完整數(shù)據(jù)進行單步預(yù)測。實驗結(jié)果表明，與真實值對比，得到的預(yù)測數(shù)據(jù)具有較小的平均誤差值；對比真實值、完整數(shù)據(jù)下的預(yù)測值和新的完整數(shù)據(jù)下的預(yù)測值，驗證了提出方法的有效性，能夠反映滾動軸承退化的變化趨勢。提出的方法可為數(shù)據(jù)缺失下滾動軸承的退化趨勢預(yù)測提供一種思路，具有重要的理論價值和工程應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞 故障診斷; 滾動軸承; 無限隱馬爾可夫模型（iHMM）; 性能退化; 趨勢預(yù)測; 缺失數(shù)據(jù)

引 言

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備中回轉(zhuǎn)部件的主體，會因長時間處于連續(xù)工作狀態(tài)而引發(fā)嚴重的故障。因此，對軸承進行性能退化趨勢預(yù)測是非常有必要的。目前，針對旋轉(zhuǎn)機械中軸承退化趨勢預(yù)測的研究取得了一些進展，國內(nèi)外學(xué)者提出了一些行之有效的方法。王浩然等［1］使用多目標和聲搜索算法優(yōu)化了SVM模型，在對原始特征集深層次特征提取后，以此為退化指標建立了最優(yōu)評估模型。馬海龍［2］考慮了單一特征量預(yù)測會導(dǎo)致全局軸承剩余壽命誤差大，推導(dǎo)出了主元融合多個指標的預(yù)測方法。陳鵬等［3］在文獻［1?2］的基礎(chǔ)上，針對軸承退化指標提取方法中存在提取不全面的問題，建立了全局和局部領(lǐng)域保持嵌入式的支持向量機描述模型。周建民等［4］采用模糊C均值和SVDD模型對滾動軸承退化狀態(tài)進行識別。姜萬錄等［5］考慮到傳統(tǒng)的故障診斷方法對數(shù)據(jù)的處理很復(fù)雜，研究了基于平滑Wigner?Ville分布與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合的故障診斷方法。Komshin等［6］提出了一種滾動軸承運行期間計量保障和技術(shù)狀態(tài)評估的新方法。Ali等［7］結(jié)合概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和簡化模糊自適應(yīng)共振理論映射對軸承退化進行識別。Chegini等［8］在軸承失效實驗中引入了周期強度因子、集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解和小波包分解的混合特征來檢測軸承開始退化的時間。Chegini等［9］在Chegini等［8］的研究基礎(chǔ)上使用了基于包絡(luò)諧噪比和快速集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的特征提取方法。Alia等［10］基于非監(jiān)督感知方法提出了自組織映射分類法來跟蹤軸承缺陷的嚴重程度。

然而，現(xiàn)有的軸承性能退化方法都是建立在完整的數(shù)據(jù)鏈上，忽略了包含缺失數(shù)據(jù)的軸承性能退化情況。在工程項目中，因?qū)嶋H工況環(huán)境多變且惡劣，采集系統(tǒng)會因此不能得到完整的數(shù)據(jù)集。除此之外，一整套的采集傳輸系統(tǒng)也會出現(xiàn)各種各樣的意外情況，比如前端傳感器在外部條件變化時發(fā)生損壞［11］，又或者是數(shù)據(jù)在有線傳輸時采樣頻率產(chǎn)生波動、無線傳輸時的信號丟失等，這些情況都會造成采集數(shù)據(jù)的丟失。對于不完整的數(shù)據(jù)預(yù)測是當前的一個難點，也是當今迫切需要解決的問題。因此，進行缺失數(shù)據(jù)下的退化趨勢預(yù)測是非常有必要的。

隱Markov模型（Hidden Markov Model，簡稱HMM）［12?14］是一種統(tǒng)計分類模型，在部件退化預(yù)測領(lǐng)域獲得了一些應(yīng)用。崔昊楊等［15］針對中國高壓電網(wǎng)中斷路器檢修情況復(fù)雜多變和自身性能衰退的情況，將隱馬爾可夫模型引入到該設(shè)備重要部件的可靠性預(yù)測中。高山等［16］考慮到如今機械設(shè)備關(guān)聯(lián)化的大趨勢，利用全矢譜融合振動信號后，使用HMM進行剩余壽命預(yù)測。Soualhi等［17］為保障軸承的可靠性和安全性，提出基于HMM的診斷模型來預(yù)測其剩余使用壽命。Liu等［18］提出可描述退化狀態(tài)持續(xù)時間的改進HMM，有效預(yù)測了刀具磨損的退化狀態(tài)。

然而，基于HMM的預(yù)測方法在建立模型時，無法準確地對隱狀態(tài)數(shù)目進行定義，需要人為設(shè)定隱狀態(tài)數(shù)目，限制了HMM在預(yù)測中的應(yīng)用。針對HMM的不足，Beal等［19］提出了無限隱Markov模型（Infinite Hidden Markov Model，iHMM），該模型使用兩級分層Dirichlet過程來定義非參貝葉斯隱Markov模型。并且通過HDP（Hierarchical Dirichlet Process）集成了隱馬爾可夫模型轉(zhuǎn)移矩陣和發(fā)射矩陣的參數(shù)，使得馬爾可夫模型不用再拘泥于有限多的狀態(tài)和有限的觀察量。因此，無限隱Markov模型所擁有的靈活性和自動確定隱狀態(tài)數(shù)的能力要優(yōu)于傳統(tǒng)的隱Markov模型。文獻［20?22］探討了iHMM在機械故障診斷領(lǐng)域中的應(yīng)用，但是這些方法并未涉及到設(shè)備的性能退化趨勢預(yù)測。

基于iHMM的獨特優(yōu)勢，本文提出了基于iHMM的缺失數(shù)據(jù)下設(shè)備性能退化預(yù)測方法，并應(yīng)用到滾動軸承性能退化預(yù)測中。在提出的方法中，以美國智能維護系統(tǒng)中心（Intelligent Maintenance Systems，IMS）的軸承退化數(shù)據(jù)集為樣本，通過模擬數(shù)據(jù)丟失來展開在缺失數(shù)據(jù)的情況下，滾動軸承退化趨勢的研究。建立起基于缺失數(shù)據(jù)下的無限隱馬爾可夫預(yù)測模型，通過實驗來進一步驗證預(yù)測模型的準確性。

1 iHMM缺失數(shù)據(jù)退化趨勢預(yù)測模型的建立

將隱馬爾可夫模型擴展到無限隱馬爾可夫模型時，作為一種非參數(shù)貝葉斯模型，需要將傳統(tǒng)的Dirichlet過程（Dirichlet Process，DP）拓展為層次Dirichlet過程（Hierarchical Dirichlet Process，HDP）。它的思想最初源自文檔分類的問題，為的是解決在眾多的文檔中共享無窮多個類的問題［23?24］。HDP一般通過馬爾可夫鏈和蒙特卡羅的采樣算法來構(gòu)造。圖1為HDP的有向圖模型。具體的HDP構(gòu)造如下式所示：

式中 “～”表示服從分布。式（1）表示第一層Dirichlet過程：G0為HDP中第一層的基分布，H為G0的基分布，r為G0的測度；式（2）表示第二層Dirichlet過程：Gj為HDP中第二層的基分布，以G0為基分布，將α作為Gj的測度，因此稱為分層Dirichlet過程。再以Gj為先驗，產(chǎn)生θji的值，將θji作為一個函數(shù)F（?）的參數(shù)，將此函數(shù)作為先驗產(chǎn)生xji值。

在HMM中，隱狀態(tài)需要人為確定，并且隱狀態(tài)的數(shù)量是有限的，通過引入HDP，利用其性質(zhì)，實現(xiàn)了自動生成HMM中隱狀態(tài)的數(shù)目。HDP?HMM也被稱為無限隱馬爾可夫模型（iHMM）［24］，iHMM的有向模型圖構(gòu)造如圖2所示。

iHMM的數(shù)學(xué)模型，可以用下式表示：

式中 γ為iHMM中的基測度；β為iHMM中由γ控制產(chǎn)生的基分布；πk為iHMM中的第一層基分布；θk為iHMM中的第二層基分布；it為iHMM中由θk產(chǎn)生的變量；ot為iHMM中由it產(chǎn)生的變量。

通過建立預(yù)測模型方法進行缺失數(shù)據(jù)的補全有兩種方式：第一種方式是通過前面完整數(shù)據(jù)集進行模型的訓(xùn)練，然后預(yù)測第一個缺失的數(shù)據(jù)，在預(yù)測完之后，將這個預(yù)測的數(shù)據(jù)加入之前的數(shù)據(jù)集，重新進行訓(xùn)練，從而完成對第二個缺失數(shù)據(jù)的預(yù)測。依此類推，第三個、第四個、…、第N個都是如此預(yù)測。這種方法的優(yōu)點是它將預(yù)測出來的數(shù)據(jù)運用到了極致，適用于原始訓(xùn)練數(shù)據(jù)不是很充足的情況。另一種方式是使用沒有缺失數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練，得到訓(xùn)練的模型，然后通過這個模型對缺失數(shù)據(jù)進行一個一個的預(yù)測。這種方式適用于大樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練，由于前期使用大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練出的模型進行預(yù)測，所以后續(xù)缺失數(shù)據(jù)之間的預(yù)測值就不會互相影響，誤差也不會越來越大。這里，將采用第一種退化趨勢預(yù)測方式。具體的流程如圖3所示。

由圖3可知，基于iHMM的滾動軸承退化趨勢預(yù)測的步驟如下：

1） 獲得振動信號。

2） 將振動信號進行Hilbet變換預(yù)處理。

3） 對振動信號進行特征提取。在這里，我們使用小波熵作為振動信號的退化指標，小波熵的計算過程如下式所示：

式中 Ej為第j尺度下小波分量能量的平均和；E為所有尺度分量的總能量；pi為歸一化后的能量分布；HE為小波熵。在滾動軸承預(yù)測中共計獲得984個小波熵值。

4） 進行模型訓(xùn)練，第一步是先使用原始樣本進行iHMM退化模型訓(xùn)練，然后預(yù)測出第一個缺失值。

5） 第二步是將這個預(yù)測出的缺失值與原始樣本合并成一個新的樣本數(shù)據(jù)集，使用這個樣本數(shù)據(jù)集進行第二個缺失數(shù)據(jù)的預(yù)測。

6） 依此類推，預(yù)測出一定數(shù)量的缺失數(shù)據(jù)。

7） 將預(yù)測出來的缺失數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)對比評價。

2 實驗研究

本實驗采用來自IMS的數(shù)據(jù)。實驗所需的設(shè)備安裝了4個ZA?2115雙列滾子軸承，并使用2000 r/min的傳動帶驅(qū)動轉(zhuǎn)軸恒定轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。在X軸與Y軸方向分別安裝了加速度傳感器。該數(shù)據(jù)共包含三個數(shù)據(jù)集，每一個數(shù)據(jù)集都描述了軸承從測試到失效的過程。此處采用第二個數(shù)據(jù)集。在數(shù)據(jù)集中：采樣頻率為20 kHz，采樣間隔為10 min，每隔10 min可采得一個文件長度為20480個點的數(shù)據(jù)點集，共計984組這樣的點集。該實驗共持續(xù)164 h。

該軸承實驗裝置如圖4所示。

圖5為軸承振動信號經(jīng)小波熵特征提取后的984組值。由圖5可知，軸承在0～85.5 h（小波熵提取值為文件第1～512）處于一個平穩(wěn)過程；在85.5～115 h（小波熵提取值為文件第513～692）處于振蕩過程；在115 h之后（小波熵提取值為文件第693～984）處于故障情況。

同時加入了峭度作為退化特征信號用來對比小波熵，從圖6中可以看出，小波熵在85.5 h后，信號發(fā)生了明顯的變化，而峭度信號則在較晚的時間發(fā)生變化，證明了小波熵在提取軸承退化特征信號時的優(yōu)越性。平穩(wěn)時期的數(shù)據(jù)點不需要對其進行預(yù)測，同理，故障時期的點已經(jīng)不再具備預(yù)測的可能性。而選取振蕩階段經(jīng)小波熵處理后第513～692點的數(shù)據(jù)點開展后續(xù)的缺失數(shù)據(jù)預(yù)測更有意義。因此，將選擇振蕩過程中第513～642點進行后續(xù)缺失數(shù)據(jù)情況下的滾動軸承退化趨勢預(yù)測實驗。

因為iHMM建模需要的觀察值是離散的變量，所以要將小波熵進行量化處理，在這里采用的量化處理方法是Lloyds編碼。Lloyds編碼可以實現(xiàn)小波熵的標量化，可以使后續(xù)的結(jié)果經(jīng)處理后在一個范圍內(nèi)變化。將Lloyds編碼的值設(shè)定為40。將所選取振蕩過程中的小波熵進行離散化，得到的結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，經(jīng)Lloyds編碼之后的小波熵特征值在0～40的范圍內(nèi)，在85.5～115 h（編碼后小波熵提取值對應(yīng)為第513～692點之間）很好地反映了軸承在退化階段的變化情況。

2.1 進行iHMM軸承退化數(shù)據(jù)訓(xùn)練

在這個數(shù)據(jù)段內(nèi)，將第513～613點區(qū)間內(nèi)共計101個點作為缺失數(shù)據(jù)情況下iHMM的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，缺失數(shù)據(jù)段設(shè)定為第614～623點，這10個點可以較好反映軸承在產(chǎn)生退化初期時所表達的意義。振蕩過程中iHMM訓(xùn)練的相關(guān)參數(shù)如圖8～13所示。

圖8為經(jīng)iHMM共計2000次迭代后的隱狀態(tài)K的收斂軌跡，表示iHMM訓(xùn)練過程中軸承退化數(shù)據(jù)隨時間變化逐漸收斂至固定的值。從圖8中可以看出，在經(jīng)過2000次的迭代之后，隱狀態(tài)K的值逐漸趨于穩(wěn)定，基本穩(wěn)定在2個或者3個狀態(tài)。也證實了經(jīng)訓(xùn)練后的無限隱Markov模型可以自適應(yīng)地確定隱狀態(tài)數(shù)。圖9為iHMM迭代過程中超參數(shù)α的收斂情況，α控制軸承實際退化狀態(tài)向自身轉(zhuǎn)移的先驗趨勢。從圖9中可以看出，α值在訓(xùn)練中表現(xiàn)得較穩(wěn)定，表明在訓(xùn)練迭代的2000次過程中，自轉(zhuǎn)移先驗值變化不大。圖10為iHMM迭代過程中超參數(shù)γ的收斂情況，γ控制觀測狀態(tài)對應(yīng)的隱狀態(tài)數(shù)目。從圖10中可以看出，γ值從迭代開始的較大值到迭代200次之后趨于一個穩(wěn)定的范圍值，間接對應(yīng)了圖8中隱狀態(tài)數(shù)目的跳變從最開始較大變化到后來較小變化。圖11為iHMM訓(xùn)練中對振蕩狀態(tài)軸承特征數(shù)據(jù)聯(lián)合似然對數(shù)值。從圖11中可以看出，在迭代的過程中，聯(lián)合似然對數(shù)也趨于穩(wěn)定。圖12為iHMM訓(xùn)練結(jié)束后產(chǎn)生的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示軸承退化特征數(shù)據(jù)由一個狀態(tài)向另一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，圖12的轉(zhuǎn)移矩陣表示在軸承退化過程中，選定過程的隱狀態(tài)是以2×2的形式轉(zhuǎn)移變化的。圖13為iHMM訓(xùn)練結(jié)束后產(chǎn)生的發(fā)射矩陣。發(fā)射矩陣表示觀測到的軸承數(shù)據(jù)與實際軸承狀態(tài)狀況之間產(chǎn)生的概率，其表示在確定了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為2個狀態(tài)之間互相轉(zhuǎn)移的前提下，實際觀測到的序列在每個狀態(tài)下都有20個觀測序列值，即觀測序列與隱狀態(tài)序列在每一個時刻存在2×20個概率。

2.2 缺失軸承數(shù)據(jù)預(yù)測

在這個數(shù)據(jù)段內(nèi)，將第513～613點區(qū)間內(nèi)共計101個點作為缺失數(shù)據(jù)情況下iHMM的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，缺失數(shù)據(jù)段設(shè)定為第614～623點。通過訓(xùn)練好的iHMM可以預(yù)測出第614點。將第614點和第513～613點合并為第513～614點再次進行iHMM訓(xùn)練用來預(yù)測第615點，如此往復(fù)循環(huán)，將缺失數(shù)據(jù)段全部都預(yù)測出來，預(yù)測結(jié)果如圖14和15所示，為了更好地與前后數(shù)據(jù)進行對比，在圖中還加入了預(yù)測缺失數(shù)據(jù)前后的5個真實數(shù)據(jù)點作為對比。

從圖15中可以看出，雖然預(yù)測出來的十個數(shù)據(jù)（點614～623）的值與真實值都有一定的差距，但是可以反映出數(shù)據(jù)的變化趨勢。為了量化退化過程的趨勢，引入平均相對誤差（MRE）、均方根誤差（RMSE）和平均絕對誤差（MAE）：

將這10個預(yù)測點的數(shù)據(jù)代入到式（13）～（15）中，得出MRE=0.1596，RMSE=10.1193，MAE=3.8000。結(jié)果表明，使用iHMM進行滾動軸承的退化趨勢預(yù)測可以很好反映特征信號的變化。

在將這十個缺失數(shù)據(jù)補全之后，歸類到一個完整的數(shù)據(jù)集中，重新進行滾動軸承的退化趨勢預(yù)測。本次預(yù)測目的是使用最初完整樣本數(shù)據(jù)集和通過預(yù)測缺失數(shù)據(jù)補全的數(shù)據(jù)集分別進行退化趨勢預(yù)測實驗對比。在后續(xù)的預(yù)測過程中也使用本文提出的方法，預(yù)測出一個值后，將這個值代入預(yù)測模型，重新訓(xùn)練，再預(yù)測下一個值。進行20次的預(yù)測后，如圖16和17所示。

將缺失數(shù)據(jù)下的預(yù)測值與真實值比較：MRE=0.0073，RMSE=1.5811，MAE=1.7000；將完整數(shù)據(jù)下的預(yù)測值與真實值比較：MRE=0.0086，RMSE=2.2136，MAE=0.9000。

由圖17可知，通過三條折線的比較，得出使用iHMM在缺失數(shù)據(jù)補全情況下和原始數(shù)據(jù)集都能較好地反映滾動軸承的退化趨勢。不同之處在于，缺失數(shù)據(jù)的iHMM預(yù)測的效果與完整數(shù)據(jù)iHMM還是存在一定的差距。并且在預(yù)測步數(shù)的末尾處與真實值的趨勢存在差異，然而，這種差異并沒有影響到軸承性能退化的預(yù)測趨勢。

3 總 結(jié)

缺失數(shù)據(jù)下的軸承性能退化的預(yù)測是一直被忽略的一個關(guān)鍵性問題。本文基于無限隱Marcov模型的獨特優(yōu)勢，即可以自適應(yīng)地確定HMM預(yù)測模型的隱狀態(tài)數(shù)目，提出了基于無限隱Marcov模型的軸承性能退化預(yù)測方法，并應(yīng)用到缺失數(shù)據(jù)下的軸承性能趨勢預(yù)測中。在提出的方法中，通過對滾動軸承的振動信號提取特征，結(jié)合無限隱Marcov模型對其進行在缺失數(shù)據(jù)狀態(tài)下的數(shù)據(jù)預(yù)測和補全缺失數(shù)據(jù)情況下的退化趨勢研究。將獲取到的軸承振動信號預(yù)處理后再進行退化特征提取，輸入到建立好的iHMM退化趨勢預(yù)測模型中訓(xùn)練。結(jié)果表明：針對軸承故障數(shù)據(jù)在傳輸中可能丟失的情況，采用無限隱Markov模型對退化趨勢進行單步預(yù)測，得到的數(shù)據(jù)結(jié)果與原始數(shù)據(jù)相比具有較高的精度。將補全后的數(shù)據(jù)整合至完整數(shù)據(jù)集后，通過iHMM再訓(xùn)練與重新預(yù)測，很好地反映了數(shù)據(jù)集的退化趨勢。提出的方法同時也為解決滾動軸承缺失數(shù)據(jù)的預(yù)測開拓了一種思路，在理論研究和工程應(yīng)用中具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價值。

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Infinite hidden Markov model and its application in the prediction of bearing degradation trends with missing data

LI Zhi-nong 1 ?LI Shu-yang 1LIU Bao 1TAO Jun-yong 2

1. Key Laboratory of Non-destructive Testing Technology of Ministry of Education， Nanchang Hangkong University， Nanchang 330063， China；

2. Key Laboratory of Equipment Comprehensive Support Technology， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China

Abstract Compared with the equipment performance degradation prediction under the complete data， the prediction under the missing data is more difficult and more meaningful. However， the existing prediction methods of bearing performance degradation do not consider the prediction under missing data. Based on the above problem， a bearing degradation prediction method based on infinite hidden Markov model （iHMM） is proposed under the missing data. In the proposed method， an iHMM prediction model with wavelet entropy as the degradation feature is established to predict the missing data points of rolling bearing sample data and form new complete data. Then the proposed prediction model is used to make single-step predictions on the new complete data. The experiment results show that compared with the real value， the obtained prediction data has a smaller average error. Compare the real value， the predicted value under the complete data， and the predicted value under the new complete data， the prediction data obtained by the iHMM prediction model can also well reflect the degradation trend of rolling bearing. The proposed method can provide a new idea for predicting the degradation trend of rolling bearings under the missing data. Therefore， the proposed method has important theoretical value and engineering application value.

Keywords fault diagnosis; rolling bearing; infinite hidden Markov model （iHMM）; performance degradation; trend forecast; missing data