軌道平面外直線形繩系編隊系統(tǒng)運動狀態(tài)解析關(guān)系

湯毓寧, 余本嵩

南京航空航天大學航空航天結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室, 南京 210016

0 引 言

近年來,隨著理論水平和實驗技術(shù)不斷發(fā)展,人類對太空實踐的需求愈加迫切.繩系衛(wèi)星系統(tǒng)以其在深空探測、衛(wèi)星通信、立體成像、碎片捕獲等領(lǐng)域的獨特優(yōu)勢進入了人們的視野,而繩系衛(wèi)星編隊作為其重要衍生同樣引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[1-10].

繩系衛(wèi)星編隊是指多個衛(wèi)星或航天器通過系繩連接,衛(wèi)星之間保持相對靜止并以特定的編隊構(gòu)型在軌飛行.學界已提出越來越多的新型編隊構(gòu)型.SU等[11]研究衛(wèi)星速度未知情況下的三角形繩系編隊系統(tǒng)的控制問題,討論開環(huán)系統(tǒng)平衡點附近的穩(wěn)定性,并設計一類非線性狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)進行相應的控制.QI等[12]提出一類雙金字塔形編隊構(gòu)型,將衛(wèi)星通電使其因庫侖力相互排斥以得到編隊穩(wěn)定的效果.HUANG等[13]研究輪輻繩系編隊系統(tǒng)并基于合理假設提出對應解析模型對自旋過程中的輪輻繩系編隊系統(tǒng)的動力學加以描述,提出兩種編隊控制策略并通過數(shù)值模擬加以驗證.LUO等[14]通過柔性多體動力學方法研究三體繩系編隊系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)動力學,提出一類兩顆子衛(wèi)星通過柔性系繩并沿阿基米德螺線軌跡移動的動力學模型,最后通過數(shù)值模擬探究其動力學響應及系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)釋放及回收過程的影響.JUNG等[15]研究三體繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在釋放和回收過程中的非線性動力學行為,建立具有6個自由度的啞鈴模型,在不同初始狀態(tài)和不同參數(shù)下,對其姿態(tài)動力學進行分析和比較.

近年來,關(guān)于繩系編隊系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究取得了一定進展.KUMAR等[16]研究三角形繩系衛(wèi)星編隊構(gòu)型并通過數(shù)值仿真得出了系統(tǒng)參數(shù)的設計閾值,得出該構(gòu)型編隊自旋速度必須達到臨界值才可保證系統(tǒng)在軌道平面內(nèi)保持自旋穩(wěn)定狀態(tài),還分析系繩釋放回收對系統(tǒng)動力學響應的影響.AVANZINI等[17]研究參考軌道偏心率與多體繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)動力學特性的相關(guān)性,通過數(shù)值模擬研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性,并評估偏心率對系繩伸長量、編隊構(gòu)型等方面的影響.基于Hill近似,CAI等[18]提出一種新的關(guān)于系統(tǒng)姿態(tài)及軌道運動的動力學方程,研究釋放和回收階段平動點附近繩系衛(wèi)星系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)三角形構(gòu)型的動態(tài)穩(wěn)定性,為解決任意平面下旋轉(zhuǎn)三角形繩系衛(wèi)星編隊問題打下基礎.ALARY等[19]研究一類金字塔編隊構(gòu)型的繩系編隊系統(tǒng)的動力學,假定通過低推力火箭助推器維持各衛(wèi)星位置保持構(gòu)型,提出一種控制策略穩(wěn)定其自旋狀態(tài),并通過數(shù)值模擬驗證系統(tǒng)的可行性.YU等[20]研究在近地軌道上運動的三體繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性,通過Floquet理論分析了系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性,并構(gòu)建了等效的地面試驗驗證穩(wěn)定性分析的有效性,結(jié)果表明,當系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)角速率超過臨界值可以保持穩(wěn)定的周期運動.TRUSHLYAKOV等[21]研究用于清除太空碎片的自旋繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的縱向振蕩,提出一種新型算法,以將系繩的最大變形量最小化.

值得注意的是,大多數(shù)已發(fā)表的著作只涉及常規(guī)軌道平面繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學和控制問題,而很少關(guān)注非軌道平面上的系統(tǒng)動力學問題.同時,學者們僅從數(shù)值角度對自旋角速度閾值和自旋穩(wěn)定條件進行研究,鮮有通過解析關(guān)系進行求解.本文研究任何軌道平面直線形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動態(tài)特征,推導系統(tǒng)動力學解析關(guān)系式并分析初始狀態(tài)對動力學行為的具體影響,最后提出一個三維動力學參數(shù)域加以展示,并通過數(shù)值仿真對解析關(guān)系式和結(jié)論加以驗證.

1 系統(tǒng)動力學建模

本節(jié)建立了一類在正交控制力約束下,軌道平面外三星直線排列的繩系編隊系統(tǒng)動力學模型.

如圖1(a)所示,研究運行于近地圓周軌道的直線型繩系衛(wèi)星編隊.該系統(tǒng)由一顆質(zhì)量為mM的母衛(wèi)星M、兩顆質(zhì)量為mS的子衛(wèi)星S1和S2及兩根具有彈性的系繩組成.由于衛(wèi)星尺寸遠小于系繩長度,因此將3顆衛(wèi)星簡化為質(zhì)點.此外,由于系繩質(zhì)量遠小于衛(wèi)星質(zhì)量,故不妨將空間系繩簡化為無質(zhì)量彈性系繩.系繩的剛度和無應變長度分別為EA和L0.假設系統(tǒng)質(zhì)心以恒定軌道角速度Ω繞地運行,軌道半徑為rO,P和ν分別為近地點和真近點角,同時在系統(tǒng)運動平面上定義面內(nèi)俯仰角θ.

圖1 軌道平面外直形型繩系編隊系統(tǒng)Fig.1 A linear tethered system in nontypical planes

為更好地描述系統(tǒng)動力學建模過程,在此引入3組非慣性坐標系,第一組軌道坐標系o-xoyozo,如圖1(a)所示,其中系統(tǒng)質(zhì)心為原點o且位于圓軌道上,xo軸與軌道相切,yo軸正交于軌道平面,zo軸滿足右手法則.系統(tǒng)自旋軸垂直于軌道平面,即ωo平行于Ω.

將第一組坐標系o-xoyozo繞xo軸正方向旋轉(zhuǎn)α后得到第二組軌道坐標系o-x′y′z′,如圖1(b),顯然yo軸與y′軸(zo軸和z′軸)的夾角亦為α.

再將第二組坐標系o-x′y′z′繞z′軸正方向旋轉(zhuǎn)β后得到第三組軌道坐標系o-xyz,如圖1(c)所示,顯然x′軸與x軸(y′軸和y軸)的夾角同樣為β,以平面o-xz建立系統(tǒng)運動平面,自此實現(xiàn)了軌道平面外繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的構(gòu)建.需注意,系統(tǒng)必須施加面外控制力才能保持面內(nèi)運動.

(1)

通過牛頓第二定律,得到在非慣性系o-xyz下母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)的動力學方程分別為

(2)

和

(3)

式中,rM=[xMyMzM]和rS1(S2)=[xS1(S2)yS1(S2)zS1(S2)]分別為母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)的位置矢量,t為軌道運行時間.

重力加速度的表達式為

(4)

式中,μE=3.988 5×1014為地心引力參數(shù).

母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)之間由于系繩牽引受到的系繩張力為

(5)

式中,符號函數(shù)δ定義如下:

(6)

母衛(wèi)星M和子衛(wèi)星S1(S2)的牽連慣性力和科氏慣性力寫成如下形式:

FM[(S1(S2)],Ie=-mΩ×[Ω×(rM[(S1(S2)]-rO)]

(7)

和

FM[(S1(S2)],IC=-2mΩ×vM[(S1(S2)]

(8)

式中,Ω=[0 -Ω0]為軌道角速度,vM[(S1(S2)]=drM[(S1(S2)]/dt為衛(wèi)星的相對速度.

面外控制力表示如下:

FM[(S1(S2)],c=[FM[(S1(S2)],cxFM[(S1(S2)],cyFM[(S1(S2)],cz]

(9)

式中,FM[(S1(S2)],cx、FM[(S1(S2)],cy和FM[(S1(S2)],cz分別為FM[(S1(S2)],c沿x、y和z軸的分力.

所建立的動力學模型可以描述任意軌道平面內(nèi)的直線形繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學行為,符合執(zhí)行指定方位光學成像等復雜太空任務的實際情況.

2 運動形式與系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系

本節(jié)基于所建模型的動力學方程,推導出子衛(wèi)星角速度和系繩張力大小兩者與子衛(wèi)星面內(nèi)俯仰角之間的解析關(guān)系,以進一步揭示運動形式與系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系.

由式(8)可知,科氏慣性力的方向與系統(tǒng)運動方向有關(guān),而運動方向不同將導致系統(tǒng)動力學表現(xiàn)產(chǎn)生巨大差異.因此,本節(jié)將分別討論子衛(wèi)星初始時刻逆時針旋轉(zhuǎn)(ω0<0)和順時針旋轉(zhuǎn)(ω0>0)兩種情況,通過推導得出系統(tǒng)運動解析式以探究初始面內(nèi)俯仰角θ0和初始角速度ω0與系統(tǒng)動力學響應的關(guān)系.

在此規(guī)定俯仰角θ=0對應的方向始終為z軸正半軸所指方向,假設母衛(wèi)星始終位于非慣性坐標系o-xyz的原點o,系繩長度變化忽略不計.取子星S1為研究對象,對其受力情況進行分析,子星S1從初始面內(nèi)俯仰角位置θ0順時針旋轉(zhuǎn)(ω0>0),運行至當前面內(nèi)俯仰角位置θ時受力圖如圖2所示,逆時針旋轉(zhuǎn)(ω0<0)時FS1,ΙC方向與圖2所示FS1,ΙC方向相反.

圖2 子星S1受力分析圖Fig.2 Force of sub-satellite S1

將式(3)向oS1方向l=[sinθ0 cosθ]T投影得

(10)

式中,θ為子星當前俯仰角,ω為子星當前角速度,L為系繩長度,T為系繩張力大小.

根據(jù)能量守恒定理,子星運動階段滿足如下關(guān)系:

(11)

式中,WIe為牽連慣性力所做的功,Ep和Ep,0分別為子星當前位置和初始位置的勢能.

當子星運動至俯仰角θ=φ對應的位置時,對應位置沿軌道面的切線方向為n=[cosφ0 -sinφ]T,將力FS1,Ie向切向方向n進行投影,得到子星沿軌道面的切向分力

(12)

(13)

(14)

和

(15)

將式(13)～(15)代入式(11)得

(16)

通過變形即可得到子星在系繩不松馳狀態(tài)下的角速度與面內(nèi)俯仰角的關(guān)系為

(17)

當子星逆時針旋轉(zhuǎn)時ω取負號,順時針旋轉(zhuǎn)時ω取正號.

同時,將式(17)代入式(10)可以得到在系繩不松馳狀態(tài)下系繩張力大小與面內(nèi)俯仰角的關(guān)系.

通過該解析關(guān)系分析可進一步分析系統(tǒng)受力變化情況從而進一步揭示運動形式與系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系.顯然,該系統(tǒng)運動解析關(guān)系對于常規(guī)軌道系統(tǒng)同樣適用.

3 動力學分析

下面將通過系統(tǒng)運動解析關(guān)系式探究子星運動過程中角速度變化及受力變化情況,并分析初始狀態(tài)對系統(tǒng)動力學行為的具體影響.

通過式(17)可得

(18)

將其對θ進行求導得

(19)

(20)

實際情況下rO遠大于L時,可以求得

(21)

所以arctan(tanαsinβ)+kπ是|ω|的極大值點,arctan(tanαsinβ)+(k+0.5)π是|ω|的極小值點,其中k為任意整數(shù).

將整個系統(tǒng)向xoz平面投影,發(fā)現(xiàn)面內(nèi)俯仰角θ=arctan(tanαsinβ)所對應的方向與地球與母星的連線方向在平面上的投影一致,為了描述方便,記θΔ=arctan(tanαsinβ),所對應的位置為Δ,如圖3所示.

圖3 臨界位置Fig.3 Critical position

根據(jù)初始俯仰角和初始角速度的取值變化,系統(tǒng)動力學行為將分為3種情況:擺狀振蕩運動、自旋運動和不規(guī)則運動.首先討論子星初始時刻逆時針旋轉(zhuǎn)(ω0<0),根據(jù)式(10)和式(17)的關(guān)系式計算得出了擺狀振蕩運動和自旋運動對應的子星角速度和系繩張力隨俯仰角變化關(guān)系圖如圖4所示.

圖4 初始角速度ω0<0狀態(tài)下角速度和系繩張力隨俯仰角關(guān)系變化曲線Fig.4 Angular velocity ω/Ω and tether force T versus pitch angle θ in initial angular velocity ω0<0

(1)擺狀振蕩運動(藍色線條)

由于角速度大小|ω|在θ∈(θΔ-π/2,θΔ)單調(diào)遞增,所以當子星初始角速度大小|ω0|和初始俯仰角大小|θ0|小于一定值時,子星角速度大小|ω|將在達到θ=θΔ-π/2對應的極小值位置點之前減為零,隨后將順時針反向運動.令式(17)中ω=0 可以得到衛(wèi)星可到達最遠位置所對應的俯仰角θmax.根據(jù)能量守恒,子星將在最遠位置及其關(guān)于oΔ連線的對稱位置往復運動,且運動過程中系繩張力始終存在,故系統(tǒng)不發(fā)生系繩松弛現(xiàn)象.

(2)自旋運動(紅色線條)

當衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|達到自旋閾值時,可以保證衛(wèi)星運動通過θ=θΔ-π/2對應的極小值位置點時角速度大小|ω|仍大于零,運動過程中系繩張力始終存在,不發(fā)生系繩松弛現(xiàn)象.之后將繼續(xù)運動,并再次回到初始位置,完成圓周運動,且運動具有周期性.將θ=θΔ-π/2代入式(17)得到角速度ω(ω<0),將ω和θ=θΔ-π/2代入式(10),令T≥0,即可得到初始時刻逆時針旋轉(zhuǎn)(ω0<0)情況下的自旋閾值.

(3)不規(guī)則運動

子星在到達θ=θΔ-π/2對應的極大值位置點之前系繩張力持續(xù)減少,根據(jù)式(10)可知,當子星初始角速度大小|ω0|和初始俯仰角大小|θ0|達到一定值時,系繩張力T可能減少為零,即系繩發(fā)生松弛而不規(guī)則運動,之后運動表現(xiàn)無規(guī)則.由于系繩松弛后系統(tǒng)將不再滿足第二節(jié)得出的解析關(guān)系式,故無法得出系繩松弛后不規(guī)則運動階段的子星角速度和系繩張力隨俯仰角變化關(guān)系.

對于子星初始時刻順時針旋轉(zhuǎn)(ω0>0)的情況,根據(jù)式(10)可知衛(wèi)星順時針旋轉(zhuǎn)過程中科氏慣性力朝著離心方向,系繩張力將大幅減小,說明順時針旋轉(zhuǎn)過程中衛(wèi)星更容易不規(guī)則運動.擺狀振蕩運動和自旋運動對應的子星角速度和系繩張力隨俯仰角變化的關(guān)系圖如圖5所示.

圖5 初始角速度ω0>0狀態(tài)下角速度和系繩張力隨俯仰角關(guān)系變化曲線Fig.5 Angular velocity ω/Ω and tether force T versus pitch angle θ in initial angular velocity ω0>0

(1)擺狀振蕩運動(藍色線條)

衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|小于一定值時,科氏慣性力較小,對系統(tǒng)張力影響不大,系繩張力持續(xù)存在,子星仍可進行擺狀振蕩運動.

(2)自旋軌道(紅色線條)

當衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|非常大時,式(10)中項msω2L的ω次數(shù)大于項2msΩLω的ω次數(shù),所以系統(tǒng)初始條件達到自旋閾值時系統(tǒng)向心力的增加量將大于科氏慣性力的增加量,此時系繩張力持續(xù)存在,可發(fā)生自旋運動.同樣將θ=θΔ+π/2代入式(17)得到角速度ω(ω>0),將ω和θ=θΔ+π/2代入式(10),令T≥0,即可得到初始時刻順時針旋轉(zhuǎn)(ω0>0)情況下的自旋閾值.

(3)不規(guī)則運動

衛(wèi)星初始角速度大小|ω0|大于一定值時,科氏慣性力較大,對系統(tǒng)張力影響顯著,子星在到達θ=θΔ+π/2對應的極大值位置點之前系繩張力持續(xù)減少,在運動過程中系繩張力極有可能減少為零,系繩發(fā)生松弛而不規(guī)則運動,隨后運動表現(xiàn)無規(guī)則.

由此可見,系統(tǒng)初始狀態(tài)對動力學行為有著十分顯著的影響,在執(zhí)行特定太空任務時可通過解析關(guān)系式和動力學分析結(jié)論調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)和初始狀態(tài)參數(shù),保證系統(tǒng)保持預期的運動狀態(tài).

4 數(shù)值模擬

本節(jié)對任意軌道平面外的直線型繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的動態(tài)形式進行了數(shù)值模擬,并與上節(jié)解析關(guān)系式的計算結(jié)果進行對比和分析,以驗證解析關(guān)系式和動力學分析的科學性.

系統(tǒng)具體參數(shù)如下:母衛(wèi)星和子衛(wèi)星的質(zhì)量分別為mM=5×103kg和mS1(S2)=2×103kg,系繩的無應變長度和剛度分別為L0=10 km和EA=2×107N,軌道高度為Ho=580 km.

取旋轉(zhuǎn)角β=π/6,通過解析關(guān)系式計算和模擬仿真兩種方式分別得到系統(tǒng)三維動力學參數(shù)域,如圖6所示,圖中顯示了3種運動情況,即擺狀振蕩運動(藍色區(qū)域)、自旋運動(紅色區(qū)域)和不規(guī)則運動(黑色區(qū)域).由于參數(shù)域具有反對稱性質(zhì),在此僅展示α≤0的部分,從圖中可以看出旋轉(zhuǎn)角、初始平面內(nèi)俯仰角和初始角速度對系統(tǒng)的動力學行為有顯著的影響.

從中各選取兩組截面Γ1={(θ0,ω0/Ω0)|α=π/8}和Γ2={(θ0,ω0/Ω0)|α=-π/4}加以展示,如圖7所示.可以發(fā)現(xiàn),旋轉(zhuǎn)角α增大,系統(tǒng)越容易達到自旋閾值而發(fā)生自旋.接下來,再從截面Γ1中選取3種動力學行為對應的狀態(tài)點P1、P2和P3加以分析,狀態(tài)點見圖7(a).

圖7 Γ動力學參數(shù)域Fig.7 Parameter zone for Γ

(1)P1(π/8,-1)

該初始狀態(tài)參數(shù)下系統(tǒng)進行擺狀振蕩運動,所對應的解析式計算結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果如圖8所示.圖8(a)顯示的是衛(wèi)星在運動過程中俯仰角與當前角速度的關(guān)系;圖8(b)為衛(wèi)星在運動過程中俯仰角與系繩張力的關(guān)系,從圖中可以得出該初始狀態(tài)參數(shù)下衛(wèi)星運動的最大俯仰角θmax=0.899 rad和最小俯仰角θmin=0.490 rad,在θ=θΔ位置處衛(wèi)星達到最大角速度|ω|max=1.04Ω0且系繩達到最大張力Tmax=149.5 N;圖8(c)是衛(wèi)星的運動軌跡仿真圖,從中可以判斷系統(tǒng)做擺狀振蕩運動;圖8(d)為衛(wèi)星角速度比ω/Ω0和系繩長度隨軌道數(shù)變化的仿真計算結(jié)果,與解析計算結(jié)果相符合.

圖8 擺狀振蕩運動Fig.8 Pendulum-like oscillation

(2)P2(π/8,-2)

該初始狀態(tài)參數(shù)下系統(tǒng)進行自旋運動,所對應的解析式計算結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果如圖9所示.圖9(a)顯示的是衛(wèi)星在運動過程中俯仰角與當前角速度的關(guān)系;圖9(b)為衛(wèi)星在運動過程中俯仰角與系繩張力的關(guān)系,從圖中可以得出該初始狀態(tài)參數(shù)下在θ=θΔ位置處衛(wèi)星達到最大角速度|ω|max=2.02Ω0且系繩達到最大張力Tmax=267.3 N,在θ=θΔ-π/2位置處衛(wèi)星達到最小角速度|ω|min=1.19Ω0且系繩達到最小張力Tmin=89.5 N;圖9(c)是衛(wèi)星的運動軌跡仿真圖,從中可以判斷系統(tǒng)做自旋運動;圖9(d)為衛(wèi)星角速度比ω/Ω0和系繩長度隨軌道數(shù)變化的仿真計算結(jié)果,同樣與解析計算結(jié)果相符合.

圖9 自旋運動Fig.9 Periodic spin motion

(3)P2(π/8,2)

該初始狀態(tài)參數(shù)下子星不規(guī)則運動后運動無規(guī)則,所對應的數(shù)值仿真結(jié)果如圖10所示.圖10(a)是衛(wèi)星的運動軌跡仿真圖,從中可以判斷系統(tǒng)做無規(guī)則運動;圖10(b)為衛(wèi)星角速度比ω/Ω0和系繩長度隨軌道數(shù)變化的仿真計算結(jié)果.

圖10 不規(guī)則運動Fig.10 Irregular motion

顯然,若取旋轉(zhuǎn)角α=0、β=0,所建動力學模型將退化為常規(guī)軌道平面的繩系編隊系統(tǒng)模型,對于上述解析式和分析結(jié)論同樣適用.圖11為常規(guī)軌道平面的繩系編隊系統(tǒng)仿真結(jié)果圖,其動力學參數(shù)域如圖11(a)所示,從中選取了3種動力學行為對應的狀態(tài)點Q1、Q2、Q3加以展示.對應的衛(wèi)星運動仿真軌跡如圖11(b～d)所示.從仿真結(jié)果來看,常規(guī)軌道系統(tǒng)模型可以很好地契合所建動力學模型,體現(xiàn)了所建模型的普適性.

圖11 常規(guī)軌道繩系編隊系統(tǒng)Fig.11 A linear tethered system in typical planes

5 結(jié) 論

在軌道平面外3顆呈直線排列的繩系編隊系統(tǒng)中,初始狀態(tài)對動力學行為有著顯著的影響.通過推導初始狀態(tài)與系統(tǒng)動力學的解析關(guān)系及對運動形式臨界狀態(tài)的影響,可以得到不同初始狀態(tài)下系統(tǒng)的自旋閾值.可以發(fā)現(xiàn):在初始角速度較低的情況下,系統(tǒng)傾向于擺狀振蕩運動,而初始角速度較大時,系統(tǒng)傾向于自旋運動;此外,運動平面旋轉(zhuǎn)角越大系統(tǒng)越容易到達自旋閾值;子星順時針旋轉(zhuǎn)過程科氏慣性力與向心力方向相同,可能導致系繩松弛不規(guī)則運動后無規(guī)則運動.因此系統(tǒng)初始時刻盡量選擇初始時刻逆時針高速旋轉(zhuǎn)和大俯仰角以保證系統(tǒng)自旋穩(wěn)定.數(shù)值仿真結(jié)果與解析關(guān)系計算及分析結(jié)果相符,驗證了運動狀態(tài)解析關(guān)系的正確性.