王才云

若△ABC 的三個內(nèi)角為 A、B、C ，三條對邊為 a、b、c ，則這個三角形的面積為：① S = 1 2 ab sin C = 1 2 bcsin A = 1 2 ca sin B ；② S = 1 2底 × 高 .在高中數(shù)學(xué)中，常用到的三角形面積公式是前一種.下面談一談該三角形面積公式的應(yīng)用技巧.

一、求解三角形的面積問題

若已知三角形的兩邊及其夾角，就可以直接運(yùn)用三角形的面積公式 S = 1 2 ab sin C ，求得三角形的面積. 三角形的面積問題的難度不大，一般只需根據(jù)三角形的面積公式，尋求未知的邊、角的正弦值.在求邊、角的正弦值時，往往要用到正余弦定理以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.

解答第一個問題，需由cosC = 1 3 求出 sin C ，再利用三角形的面積公式求解.解答第二個問題，要先利用余弦定理求得b、c的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式求得bc的最大值，最后將其代入三角形的面積公式.要使三角形的面積最大，通常需使兩邊之積最大，或夾角為直角.

二、求三角形的內(nèi)角問題

由于三角形的面積公式中含有內(nèi)角的正弦，所以在已知三角形的面積和兩條邊長時，可以運(yùn)用三角形的面積公式來求內(nèi)角的大小.若已知三角形的兩邊長，那么根據(jù)三角形的面積公式求得的夾角一般有兩個解.只有在明確三角形的形狀時，才有一個解.所以這類問題看似簡單，其實也容易出錯.

根據(jù)已知條件和三角形的面積公式建立關(guān)于角A 的方程，解該方程即可求得角 A.在解題時，需注意：（1）三角形內(nèi)角的取值范圍為 （0°，180°） ；（2）在 （0°，180°） 內(nèi)同一個正弦函數(shù)值有兩個對應(yīng)角.

三、求三角形的邊長問題

三角形的面積公式涉及了三角形兩邊的邊長，所以在已知三角形的面積和一個內(nèi)角時，也可運(yùn)用三角形的面積公式來求三角形的邊長或周長.求三角形的邊長，不僅要用到三角形的面積公式，還要用到正弦定理、余弦定理、勾股定理.建立關(guān)于邊長的方程，運(yùn)用方程思想即可解題.

先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和兩角和的正弦公式可求出∠BAD ；再在△ABD 中，由正弦定理求出 BD 、AD ，得出 sin ∠BDC ，便可根據(jù)三角形的面積公式求 DC 的長，進(jìn)而求得 AC 的長.

從以上分析可以看出，三角形的面積公式看似簡單，應(yīng)用卻十分廣泛.如何用好公式，關(guān)鍵看你能否建立解三角形、三角函數(shù)、平面幾何知識之間的聯(lián)系，尋找到恰當(dāng)?shù)慕忸}思路.