賴明輝

不等式證明題的命題形式多樣，證明不等式的方法也很多，如綜合法、分析法、反證法、放縮法、構(gòu)造法等.本文主要介紹一下綜合法、分析法、反證法的應(yīng)用技巧.

一、綜合法

用綜合法證明不等式，需先根據(jù)題目中的已知信息，以及已知的事實(shí)、結(jié)論、性質(zhì)、定理等，一步步推導(dǎo)，直到推導(dǎo)出需要證明的式子為止.因而綜合法就是由“因”到“果”的推導(dǎo)過程.每一步的推導(dǎo)過程一定要符合數(shù)學(xué)邏輯.在證明不等式時，可以從左往右推導(dǎo)，也可以從右往左推導(dǎo).

例1

證明：

解答本題主要運(yùn)用基本不等式 a + b 2 ≥ ab ；然后根據(jù)不等式的可乘性，通過取對數(shù)，將不等式左邊的式子進(jìn)行化簡.在推導(dǎo)不等式的過程中，經(jīng)常需要用到這幾個不等式：a2 + b 2 ≥ 2ab ， a + b 2 ≥ ab （當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時取等號）.

二、分析法

用分析法解題的思路和綜合法相反，用分析法證明不等式，需要從要證明的不等式出發(fā)，然后分析這個不等式成立的充分條件是什么，一步一步遞推，證明不等式成立的充分條件符合題中給出的信息，或者符合已知的數(shù)學(xué)結(jié)論.一般來說，分析法常用于證明較復(fù)雜的不等式問題.若由不等式一邊的式子很難推導(dǎo)出另一邊的式子，就可以采用分析法進(jìn)行證明，通過分析、推理，一步步簡化不等式，最終得到一個比較簡便的等價不等式.

例2

證明：

這個不等式較為復(fù)雜，我們很難從不等式左邊的式子推導(dǎo)出右邊的式子，同樣也很難反向推導(dǎo)出結(jié)論，但是可以用分析法，將不等式一步步簡化，先將中間項合并，再將其化為1，然后通過恒等變換，化簡即可.

三、反證法

反證法是解答證明題的一個重要手段.一般地，當(dāng)題目中出現(xiàn)“至少”“不存在”“至多”等字眼時，都可以考慮使用反證法進(jìn)行證明.用反證法證明不等式，要首先假設(shè)命題不成立；然后結(jié)合題中已知的信息和已有的數(shù)學(xué)知識，得到存在矛盾的結(jié)論，那就說明假設(shè)的命題不成立，這樣就可以證明不等式成立.

例3.

證明：

由題目中出現(xiàn)了“至少”的字眼，所以考慮使用反證法進(jìn)行證明.在提出假設(shè)命題時，要注意命題的反面情況，如“ 1 + b a 、1 + a b 至少有一個小于 2”的反面情況是“ 1 + b a 、1 + a b 都大于2”.

熟練掌握綜合法、分析法、反證法的適用情形、特點(diǎn)，以及解題的步驟，對解題有很大的幫助.同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中，要學(xué)會積累解題技巧和規(guī)律，以提升解題的效率.