李克訥 袁偉明 唐春怡 劉超 賀之祥 曾卓維

摘 要：為提升六自由度機(jī)械臂的絕對(duì)定位精度，提出了基于Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）方法的機(jī)械臂幾何參數(shù)標(biāo)定方法：在建立基于微分變換理論和MD-H建模方法的機(jī)械臂末端定位誤差辨識(shí)模型的基礎(chǔ)上，用最小二乘法求解去除冗余參數(shù)的誤差辨識(shí)模型，得到機(jī)械臂幾何參數(shù)誤差，并通過(guò)修正運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械臂末端絕對(duì)定位精度的補(bǔ)償。對(duì)機(jī)械臂6組樣本點(diǎn)實(shí)測(cè)結(jié)果表明：經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)和補(bǔ)償修正后，機(jī)械臂末端絕對(duì)定位精度得到顯著提高，驗(yàn)證了該參數(shù)辨識(shí)方法的可操作性和有效性，為后續(xù)參數(shù)標(biāo)定技術(shù)研究提供參考。

關(guān)鍵詞：六自由度機(jī)械臂；絕對(duì)定位精度；運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)；誤差補(bǔ)償；最小二乘法

中圖分類(lèi)號(hào)：TP241 ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.03.011

0 引言

機(jī)器人定位精度是評(píng)估機(jī)器人綜合性能的重要指標(biāo)之一，可衡量機(jī)器人末端到達(dá)預(yù)期工作空間的準(zhǔn)確程度[1-2]。定位精度可分為重復(fù)定位精度和絕對(duì)定位精度[3]。在實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中，機(jī)器人的重復(fù)定位精度高，能夠滿足大部分場(chǎng)合的需求。由于受機(jī)械部件加工、裝配產(chǎn)生的誤差以及在使用過(guò)程中出現(xiàn)磨損等因素的影響，使得機(jī)器人的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)（如連桿長(zhǎng)度、關(guān)節(jié)角度等）存在誤差，導(dǎo)致機(jī)器人絕對(duì)定位精度低[4-5]。目前，提高機(jī)器人絕對(duì)定位精度的方式主要是在不改變機(jī)器人的硬件結(jié)構(gòu)以及控制器的條件下，通過(guò)建立機(jī)器人幾何參數(shù)與末端位姿誤差映射關(guān)系來(lái)修正補(bǔ)償機(jī)器人末端的定位精度，即運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法[6]。該方法因經(jīng)濟(jì)成本低、普適性強(qiáng)且效果顯著而被廣泛應(yīng)用于提升機(jī)器人絕對(duì)定位精度研究中[7]。

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)建模是幾何參數(shù)標(biāo)定方法的基礎(chǔ)[6]。目前，Denavit-Hartenberg（D-H）建模方法因所需參數(shù)最少、建模簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)成為運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何參數(shù)標(biāo)定常用的建模工具[8]。但當(dāng)機(jī)器人存在相鄰2個(gè)關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行時(shí)，會(huì)出現(xiàn)機(jī)器人連桿的幾何參數(shù)突變情況（如連桿偏移量變化很大甚至到無(wú)窮），使得模型存在奇異性[9]。為解決此問(wèn)題，文獻(xiàn)[10-12]分別提出POE（post occupancy evaluation，POE）模型、CPC（compound parabolic concentrator，CPC）模型和六參數(shù)模型，很好地滿足了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型連續(xù)性要求，但仍存在理論復(fù)雜、求解困難、與目前的機(jī)器人控制器適配性差、不容易實(shí)現(xiàn)參數(shù)補(bǔ)償?shù)葐?wèn)題。Hayati[13]提出Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）建模方法，即當(dāng)機(jī)器人存在相鄰關(guān)節(jié)軸平行或接近平行的情況時(shí)增加一個(gè)繞Y軸旋轉(zhuǎn)的參數(shù)。該方法有效解決了D-H模型的參數(shù)突變問(wèn)題，并繼承了D-H模型建模簡(jiǎn)單、適用范圍廣、可操作性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[14]基于MD-H方法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，在實(shí)驗(yàn)中取得了較好結(jié)果，驗(yàn)證了該建模方法的有效性。

本文針對(duì)相鄰關(guān)節(jié)平行的六自由度機(jī)械臂存在絕對(duì)定位精度較低、機(jī)械臂末端位置誤差較大的問(wèn)題進(jìn)行研究。為滿足機(jī)械臂的工作需求，提高機(jī)械臂絕對(duì)定位精度，建立基于MD-H建模方法和機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng)理論的機(jī)械臂末端位姿誤差模型，應(yīng)用最小二乘法求解誤差模型，再對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行絕對(duì)定位精度修正補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)模型建立

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與仿真驗(yàn)證

本文針對(duì)6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的六自由度機(jī)械臂進(jìn)行研究。運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是機(jī)械臂參數(shù)標(biāo)定的基礎(chǔ)，采用目前最為廣泛的D-H建模方法[15]。依照D-H建模原則，首先構(gòu)建6個(gè)連桿坐標(biāo)系。坐標(biāo)系[Zi]軸定義：根據(jù)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)[（i+1）]的軸線和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)向，采用右手定則確定；坐標(biāo)系[Xi-1]軸定義為：2個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸線的公垂線重合，其方向是從[Zi-1]軸指向[Zi]軸；坐標(biāo)系原點(diǎn)[O0]定義為：在過(guò)[Zi-1]軸和[Zi]軸的公法線與[Zi-1]軸的交點(diǎn)，機(jī)械臂底座中心定為基底坐標(biāo)系[O0]；坐標(biāo)系Y軸由右手法則確定[16]。其次，D-H參數(shù)值定義如下，連桿長(zhǎng)度[ai]：相鄰關(guān)節(jié)軸之間連桿的距離；扭轉(zhuǎn)角[αi]：[X]軸與相鄰坐標(biāo)系[Z]軸的夾角；連桿偏置[di]：相鄰連桿在Z軸方向的偏移量；關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角[θi]：表示關(guān)節(jié)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度[17]。六自由度機(jī)械臂完整的連桿坐標(biāo)系模型如圖1所示。根據(jù)圖1推算出機(jī)械臂D-H幾何參數(shù)表的各個(gè)參數(shù)值，具體參數(shù)值如表1所示。

由誤差系數(shù)矩陣[Gi]可知，機(jī)械臂末端的位置誤差對(duì)機(jī)器人末端定位精度的影響比末端連桿姿態(tài)誤差的影響更加直接，且在實(shí)際測(cè)試實(shí)驗(yàn)中末端位置坐標(biāo)信息更容易測(cè)得。因此，在后續(xù)的誤差參數(shù)辨識(shí)和精度補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)中僅分析末端位置誤差[dx，dy，dzT]而不分析末端姿態(tài)[δx， δy， δzT]，即研究分析[dx]、[dy]和[dz]并減少它們的誤差，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂絕對(duì)定位精度的提高。

2 誤差參數(shù)辨識(shí)

完成機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和末端位姿誤差模型的建立后，需要對(duì)機(jī)械臂工作空間內(nèi)末端位置點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。為了提高機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的適用性和有效性，所選取的樣本點(diǎn)需要在機(jī)械臂常用工作空間范圍內(nèi)。結(jié)合機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角、硬件結(jié)構(gòu)、機(jī)械限位等要求，采用蒙特卡羅方法得到機(jī)械臂工作空間的范圍是：[x∈-350.4，364.3mm]，[y∈-362.3，367.3mm]，[z∈-245.4，407.3mm]。

在機(jī)械臂常用工作空間內(nèi)一個(gè)正方形軌跡上選取6個(gè)點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)，通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解出這6個(gè)位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)的6組關(guān)節(jié)角度[θi]，如此能確保關(guān)節(jié)角[θi]滿足機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)要求。將6組關(guān)節(jié)角度[θi]分別輸入機(jī)械臂控制器中，使用測(cè)量工具依次測(cè)量機(jī)械臂運(yùn)行后末端在基坐標(biāo)系下的位置，記錄為[pr]。6組樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)如表3所示。

由MD-H模型定義分析可知[d1]、[d2]、[β1]、[β3]、[β4]、[β5]、[β6]為冗余參數(shù)，不需要辨識(shí)，因此機(jī)械臂誤差模型需要辨識(shí)23個(gè)幾何參數(shù)。根據(jù)上文建立的機(jī)械臂末端誤差辨識(shí)模型（式（14））可知，辨識(shí)的參數(shù)誤差[Δm]越準(zhǔn)確，則誤差模型中的[JΔm]計(jì)算出的解將會(huì)越靠近實(shí)際誤差值[E]。所以對(duì)模型辨識(shí)出的誤差結(jié)果進(jìn)行最小化準(zhǔn)則：minimize[ E-JΔm]。

最小二乘法求解通式如式（15）所示：

[Δm=（JTJ）-1JTE]. （15）

式中：[Δm]是[23×1]的誤差參數(shù)矩陣，[（JTJ）-1JT]是[J]矩陣的左廣義逆矩陣。由于[J]矩陣不是方陣，不能直接求逆，用[J]矩陣的左廣義逆矩陣來(lái)代替逆矩陣。

參數(shù)辨識(shí)的具體步驟為：

Step 1 將樣本的6組關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)[θi]分別結(jié)合表2的機(jī)械臂幾何參數(shù)數(shù)值，通過(guò)正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，計(jì)算得到6組末端連桿的理論位置坐標(biāo)點(diǎn)[pn]；

Step 2 將樣本的6組關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)[θi]分別輸入機(jī)械臂控制器中，控制機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)，測(cè)得機(jī)械臂末端連桿的位置坐標(biāo)[pr]；

Step 3 用實(shí)際測(cè)量的位置坐標(biāo)[pr]減去理論位置坐標(biāo)[pn]得到實(shí)際位置誤差[ΔE]；

Step 4 將6組實(shí)際位置誤差[ΔE]代入建立的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何參數(shù)辨識(shí)模型（式（15））中，使用最小二乘法求解誤差模型，得出6組幾何參數(shù)誤差，對(duì)6組參數(shù)誤差求取平均值得到誤差參數(shù)的修正值[Δm]。

機(jī)械臂MD-H模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表4所示。

由表4可見(jiàn)，通過(guò)誤差模型求解得到參數(shù)誤差，證明建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與機(jī)械臂實(shí)際結(jié)構(gòu)存在偏差，實(shí)際影響機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的因素主要是由零件加工制造、機(jī)械臂裝配偏差引起[21]。其中，長(zhǎng)度類(lèi)誤差[Δai]、[Δdi]和[Y]軸旋轉(zhuǎn)量誤差[Δβi]是由于機(jī)械臂在加工、裝配過(guò)程中的誤差和軸承竄動(dòng)引起的。關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角偏差[Δai]是指關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸軸線與理論坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的偏差，與角度傳感器的安裝誤差有關(guān)。而關(guān)節(jié)角誤差[Δθi]屬于編碼器誤差，主要是伺服電機(jī)中關(guān)節(jié)編碼器的零位角度誤差。其次，在數(shù)據(jù)采集過(guò)程中存在測(cè)量誤差，在使用最小二乘法求解誤差模型過(guò)程中存在計(jì)算誤差，這些誤差也會(huì)對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)產(chǎn)生影響。研究結(jié)果表明，機(jī)器人各關(guān)節(jié)的幾何參數(shù)誤差對(duì)絕對(duì)定位誤差的影響占據(jù)系統(tǒng)總誤差的80%～90%[22-23]。因此，修正機(jī)械臂的幾何參數(shù)誤差對(duì)提升機(jī)械臂的絕對(duì)定位精度極其重要。

將通過(guò)求解誤差模型所辨識(shí)出的表4中的參數(shù)誤差值補(bǔ)償?shù)揭呀?jīng)建立的機(jī)械臂MD-H模型參數(shù)中，即在表2的MD-H參數(shù)值基礎(chǔ)上加上表4參數(shù)的修正值，得到修正后的機(jī)械臂MD-H參數(shù)，如表5所示。

3 精度補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)及標(biāo)定結(jié)果分析

使用修訂后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)（表5的數(shù)據(jù)）建立MD-H模型，輸入表3中6組樣本點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度[θi]，得到修正后的理論位置坐標(biāo)[p'n]。模型修正后的位置誤差數(shù)據(jù)[E']由實(shí)際的測(cè)量位置坐標(biāo)[pr]減去修正后的理論位置坐標(biāo)[p'n]得到。在此次實(shí)驗(yàn)中，只需要重新計(jì)算機(jī)械臂末端理論位置，不需要重新測(cè)量參數(shù)誤差補(bǔ)償后的機(jī)械臂末端位置，可降低因測(cè)量誤差帶來(lái)的誤差影響。6組樣本點(diǎn)位置數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)誤差參數(shù)修正后的結(jié)果如表6所示。

機(jī)械臂末端絕對(duì)定位精度在標(biāo)定補(bǔ)償前后的對(duì)比如表7所示。由表7統(tǒng)計(jì)量前后對(duì)比可知，機(jī)械臂末端的絕對(duì)定位精度大幅度提升。

4 結(jié)論

本文針對(duì)六自由度機(jī)械臂設(shè)計(jì)了一種低成本、易操作的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方案。首先，對(duì)六自由度機(jī)械臂建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以及基于MD-H和微分運(yùn)動(dòng)理論的機(jī)械臂末端定位誤差辨識(shí)模型；其次，將測(cè)量采集樣本數(shù)據(jù)代入誤差辨識(shí)模型中，應(yīng)用最小二乘法求解誤差模型得到參數(shù)誤差；最后，修正機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何參數(shù)，通過(guò)重新計(jì)算機(jī)械臂理論位置與實(shí)際測(cè)量位置的誤差來(lái)體現(xiàn)標(biāo)定補(bǔ)償?shù)男Ч?。?shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)修正補(bǔ)償后的機(jī)械臂絕對(duì)定位精度明顯提高，證明本文提出的辨識(shí)方案是有效的。由于實(shí)驗(yàn)器材的限制，實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)測(cè)量只能精確到0.1 mm，對(duì)最終標(biāo)定結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響。在后續(xù)研究中，將著手提高測(cè)量精度，選取適合的智能算法應(yīng)用于參數(shù)標(biāo)定模型中，從而進(jìn)一步提升機(jī)械臂的絕對(duì)定位精度。

參考文獻(xiàn)

[1] 喬寧寧.工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用分析[J].新型工業(yè)化，2021，11（11）：85-87.

[2] 王田苗，陶永，陳陽(yáng).服務(wù)機(jī)器人技術(shù)研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)[J].中國(guó)科學(xué)：信息科學(xué)，2012，42（9）：1049-1066.

[3] 周煒，廖文和，田威，等.基于粒子群優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器人精度補(bǔ)償方法研究[J].中國(guó)機(jī)械工程，2013，24（2）：174-179.

[4] 陳啟軍，周自強(qiáng)，劉成菊，等.基于視覺(jué)的六自由度機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，48（7）：1023-1029.

[5] 王琨.提高串聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)精度的關(guān)鍵技術(shù)研究[D].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2013.

[6] 趙藝兵，溫秀蘭，喬貴方，等.基于幾何參數(shù)標(biāo)定的串聯(lián)機(jī)器人精度提升[J].計(jì)量學(xué)報(bào)，2020，41（12）：1461-1467.

[7] 高涵，張明路，張小俊，等.機(jī)械臂絕對(duì)定位精度標(biāo)定關(guān)鍵技術(shù)綜述[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2017，34（9）：2570-2576.

[8] 徐天一，樊留群，王楠，等.基于激光追蹤儀的機(jī)器人標(biāo)定及誤差分析研究[J].制造業(yè)自動(dòng)化，2020，42（4）：61-64.

[9] 劉罡，汪俊鋒.基于多體動(dòng)力學(xué)的六足機(jī)器人快速步態(tài)研究[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，32（2）：51-57.

[10] WU L，YANG X D，CHEN K，et al.A minimal POE-based model for robotic kinematic calibration with only position measurements[J].IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2015， 12（2）： 758-763.

[11] 陳新偉，范崇山，孫鳳池，等.一種基于指數(shù)積的移動(dòng)機(jī)械臂聯(lián)合標(biāo)定方法[J/OL].控制與決策，2022：1-7[2023-01-01].https：//kns.cnki.net/kcms2/article/abstract？v=3uoqIhG8C45S0n9fL2suRadTyEVl2pW9UrhTDCdP D67Qai861I8G_Sb_tFU2JyEtX9vdWpyVcJ_KkCT-2y_ HK8CR9RGDp93t&uniplatform=NZKPT.DOI：10.13195/ j.kzyjc.2021.1844.

[12] ZHUANG H，ROTH Z S，HAMANO F.A complete and parametrically continuous kinematic model for robot manipulators[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation，1992，8（4）：451-463.

[13] HAYATI S A.Robot arm geometric link parameter estimation[C]//Proceedings of the 22nd IEEE Conference on Decision and Control，1983：1477-1483．

[14] LIU Y，JIANG Y S，LIANG B，et al.Calibration of a 6-DOF space robot using genetic algorithm[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2008， 21（6）： 6-13.

[15] WEN X L，WANG D X，ZHAO Y B，et al.A comparative study of MDH and zero reference model for geometric parameters calibration to enhance robot accuracy[C]//9th International Symposium on Precision Mechanical Measurements，SPIE，2019，11343：64-69.

[16] 唐越，鄭金輝，王慶杰.六自由度工業(yè)機(jī)器人末端定位誤差參數(shù)辨識(shí)與實(shí)驗(yàn)研究[J].現(xiàn)代制造工程，2021（2）：21-26.

[17] 葉聲華，王一，任永杰，等.基于激光跟蹤儀的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，40（2）：202-205.

[18] 李克訥，王溫鑫，胡旭初，等.Arduino環(huán)境下冗余度機(jī)械臂E47算法的實(shí)現(xiàn)[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，33（2）：74-82.

[19] 張虎.面向標(biāo)定的工業(yè)機(jī)器人建模及參數(shù)辨識(shí)方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2015.

[20] 徐彬.六自由度工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法研究[D].贛州：江西理工大學(xué)，2020.

[21] 覃志奎.6自由度機(jī)器人位姿誤差建模與補(bǔ)償方法研究[D].武漢：華中科技大學(xué)，2018.

[22] LIM H K，KIM D H，KIM S R，et al.A practical approach to enhance positioning accuracy for industrial robots[C]//ICROS-SICE International Joint Conference，IEEE，2009：2268-2273.

[23] WANG X，LI D S，WANG M M.Complete calibration of industrial robot with limited parameters and neural network[C]//IEEE International Symposium on Robotics and Intelligent Sensors，IEEE，2016：103-108．

Research on kinematic parameter calibration of six degrees of

freedom manipulator

LI Kene， YUAN Weiming， TANG Chunyi， LIU Chao， HE Zhixiang， ZENG Zhuowei

（School of Automation， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China）

Abstract： To improve the absolute positioning accuracy of the 6-DOF manipulator， a calibration method for geometric parameters of the manipulator based on Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）method was proposed. Firstly， based on differential transformation theory and MD-H modeling method， the calibration model of manipulator end positioning error was established. Secondly， the least square method was used to solve the error identification model with redundant parameters removed， and the geometric parameter error of the manipulator was obtained. Finally， by modifying the kinematic geometric parameters， the absolute positioning accuracy of the end of the manipulator was compensated. The experimental results of 6 groups of sample points of the manipulator show that the kinematic parameter calibration and compensation correction significantly improve the absolute positioning accuracy of the end of the manipulator， which verifies the operability and effectiveness of the parameter calibration method， and also lays a foundation for further research on the subsequent parameter calibration technology.

Key words： six degrees of manipulator; absolute positioning accuracy; kinematic parameter calibration; error compensation; least square method

（責(zé)任編輯：黎 婭）