劉樹(shù)穎

（福州大學(xué)梅努斯國(guó)際工程學(xué)院，福建 福州 350108）

0 引言

新型冠狀病毒的爆發(fā)對(duì)全球公共衛(wèi)生造成了巨大的破壞性影響。通過(guò)構(gòu)建隔室模型預(yù)測(cè)重要指標(biāo)，例如感染病例、解釋疫情的動(dòng)態(tài)變化和爆發(fā)機(jī)制，使衛(wèi)生保健系統(tǒng)能及時(shí)采取有效措施應(yīng)對(duì)相關(guān)問(wèn)題。

新冠肺炎（COVID-19）疾病符合流行病在不同隔室的物理傳播機(jī)制。彭源源[1]定性分析了多種傳染病模型在COVID-19 的應(yīng)用?？紤]政府可能采取管控措施，例如封鎖政策，各學(xué)者對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。劉擁民等[2]使用Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)COVID-19 的傳播特性，以了解疫情的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

基于上述分析，該文結(jié)合隔室模型的可解釋性和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確性，考慮疫苗對(duì)疫情的影響，增加疫苗接種隔室，以?xún)?yōu)化隔室模型，將基礎(chǔ)的SEIRD 和優(yōu)化的SEIRDV的隔室模型作為主干網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)微分方程參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。重點(diǎn)關(guān)注感染隔室的數(shù)據(jù)，應(yīng)用4 種評(píng)估指標(biāo)（平均絕對(duì)誤差、均方誤差、均方根誤差和決定系數(shù)）驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，并對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的參數(shù)進(jìn)行合理性檢驗(yàn)。

1 方法

采用基礎(chǔ)的SERID、優(yōu)化的SERIDV 隔室模型以及PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合隔室的模型。

1.1 隔室模型

隔室模型常應(yīng)用于傳染病動(dòng)力學(xué)，包括隔室：易感者（S）、暴露者（E）、傳染者（I）、康復(fù)者（R）和死亡者（D）。易感者指未感染病毒且可能被感染的人群；暴露者指已感染病毒但還不具有傳染性的人群，這意味他們處于病毒的潛伏期；感染者指已感染病毒且具有傳染性的人群；康復(fù)者指已恢復(fù)、因體內(nèi)有抗體而不易被病毒再次感染的人群；死者指死于病毒的人群。

以廣泛被研究的SEIRD 隔室模型為基礎(chǔ)，其微分方程如公式（1）~公式（5）所示。

式中：S（t）為易感者數(shù)量；t為時(shí)間；I（t）為傳染者數(shù)量；E（t）為暴露者數(shù)量；R（t）為康復(fù)者數(shù)量；D（t）為死亡者數(shù)量；β為感染率；γ為潛伏期倒數(shù)；λ為恢復(fù)期倒數(shù)；ρ為死亡期倒數(shù)；κ為死亡率。

在SEIRD 隔室模型的基礎(chǔ)上，考慮疫苗對(duì)疫情的影響，該文創(chuàng)新性地加入了疫苗接種（V）隔室。這個(gè)隔室指已經(jīng)完全接種疫苗的人群，當(dāng)疫苗有效時(shí)，他們因獲得病毒抗體而不易被感染；當(dāng)疫苗無(wú)效時(shí)，認(rèn)為他們成為感染者。SEIRD 隔室模型的微分方程如公式（6）~公式（11）所示。

式中：V（t）為接種疫苗者數(shù)量；σ為疫苗無(wú)效率。

1.2 基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（PINN）

PINN 利用先驗(yàn)知識(shí)來(lái)指導(dǎo)學(xué)習(xí)，其由2 個(gè)部分組成，一部分是負(fù)責(zé)輸出預(yù)期結(jié)果的網(wǎng)絡(luò)，另一部分是計(jì)算導(dǎo)數(shù)的殘差模塊，殘差由物理定律定義的預(yù)期導(dǎo)數(shù)與獲得的導(dǎo)數(shù)生成，先驗(yàn)知識(shí)是不同隔室之間的傳輸流。PINN 與SEIRD 隔室模型組合形成的結(jié)構(gòu)如圖1 所示，與SEIRDV隔室模型組合形成的結(jié)構(gòu)與其類(lèi)似。

圖1 PINN+SEIRD 模型的結(jié)構(gòu)（包括1 個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和1 個(gè)微分方程系統(tǒng)）

該文采用一個(gè)密集連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它有2 層16 個(gè)隱藏單元，以時(shí)間t為輸入，產(chǎn)生SEIRD 和SEIRDV 隔室模型的所有組成部分（S、E、I、R、D 和V）。殘差模塊對(duì)這些成分進(jìn)行自動(dòng)微分，以獲得計(jì)算殘差的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)模型的損失函數(shù)是由第一部分的回歸損失和微分模塊的殘差損失組成的。

1.3 數(shù)據(jù)集

主要數(shù)據(jù)來(lái)自世衛(wèi)組織COVID-19 儀表板，包括美國(guó)每日病例、死亡和疫苗使用的官方計(jì)數(shù)以及世界實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的美國(guó)每日確診病例數(shù)據(jù)。將2 個(gè)數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)合并，采用7 d 移動(dòng)平均過(guò)濾器來(lái)平滑數(shù)據(jù)。選擇確診病例的3個(gè)上升趨勢(shì)作為3 個(gè)獨(dú)立的訓(xùn)練期，3 個(gè)數(shù)據(jù)集在選定時(shí)間的數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)如圖2 所示。

圖2 3 個(gè)階段的感染者、恢復(fù)者、死亡者和疫苗接種者數(shù)據(jù)圖

1.4 評(píng)估指標(biāo)

該文使用4 個(gè)評(píng)估指標(biāo)（平均絕對(duì)誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）和決定系數(shù)（R2_score））來(lái)定量評(píng)估所提出的模型的性能。當(dāng)MAE、MSE和RMSE越接近于0、R2_score越接近1 時(shí)，模型表現(xiàn)越好。其中，MSE和RMSE是在MAE的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，如公式（12）~公式（14）所示。

式中：y為需要進(jìn)行評(píng)估的結(jié)果；為原始的數(shù)據(jù)；m為數(shù)據(jù)的大小。

以上3 種評(píng)估指標(biāo)容易受變量量綱大小的影響，當(dāng)人數(shù)較多時(shí)，指標(biāo)數(shù)值較大，不易看出效果，因此引入R2_score進(jìn)行評(píng)估，如公式（15）所示。

式中：y為需要進(jìn)行評(píng)估的結(jié)果；N為數(shù)據(jù)的大小。

2 試驗(yàn)

展示PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隔室模型的試驗(yàn)設(shè)置、試驗(yàn)過(guò)程、結(jié)果數(shù)據(jù)、對(duì)結(jié)果的評(píng)估以及對(duì)結(jié)果的合理性解釋。

2.1 試驗(yàn)設(shè)置

設(shè)置PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的迭代次數(shù)為5 000，有1 層輸入層、4 層隱含層和1 層輸出層。其中輸入層輸入數(shù)據(jù)集的感染者、恢復(fù)者、死亡者和疫苗接種者數(shù)據(jù)，4 層隱含層每層有32 個(gè)節(jié)點(diǎn)用于學(xué)習(xí)隔室模型的微分方程參數(shù)，最后的輸出層輸出隔室模型中各隔室的數(shù)據(jù)。因?yàn)楸┞墩撸‥）隔室的數(shù)據(jù)不易從數(shù)據(jù)集中獲取，所以在對(duì)其他隔室的數(shù)量進(jìn)行學(xué)習(xí)后，從總?cè)藬?shù)中減去其他隔室，得到E 隔室數(shù)據(jù)。

2.2 試驗(yàn)過(guò)程

在3 個(gè)階段的數(shù)據(jù)集上分別進(jìn)行PINN+SERID 組合模型和PINN+SEIRDV 組合模型的試驗(yàn)，因?yàn)榈谝浑A段缺失疫苗接種人數(shù)的數(shù)據(jù)，所以只應(yīng)用PINN+SERID 組合模型。數(shù)據(jù)集中80%的數(shù)據(jù)用于學(xué)習(xí)，剩下20%的數(shù)據(jù)用于預(yù)測(cè)。

首先，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出來(lái)說(shuō)，分時(shí)間階段呈現(xiàn)感染者的數(shù)據(jù)，以大致觀(guān)察輸出結(jié)果對(duì)其增長(zhǎng)趨勢(shì)的學(xué)習(xí)效果。其次，用4 個(gè)評(píng)估指標(biāo)對(duì)學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)的感染者數(shù)據(jù)與原始感染者數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析，以驗(yàn)證組合模型的準(zhǔn)確性。最后，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)進(jìn)行合理性分析，驗(yàn)證用隔室模型補(bǔ)充神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的可解釋性。

2.3 試驗(yàn)結(jié)果

3 個(gè)階段的感染者人數(shù)的試驗(yàn)結(jié)果如圖3 所示，PINN+SEIRD 組合模型可以很好地?cái)M合和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，還可以較準(zhǔn)確地判斷峰值，說(shuō)明SEIRD 隔室模型可以反應(yīng)疫情的基本情況，PINN+SEIRDV 組合模型也可以很好地?cái)M合和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，較準(zhǔn)確地判斷峰值，但是效果比PINN+SEIRD 組合模型的效果差，應(yīng)用4 個(gè)評(píng)估指標(biāo)可以得到更準(zhǔn)確的判斷結(jié)果。

圖3 PINN+SEIRD 和PINN+SEIRDV 組合模型在3 個(gè)數(shù)據(jù)集上擬合和預(yù)測(cè)的感染者結(jié)果

由表1 可知，PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的SEIRD 隔室模型的效果普遍比SEIRDV 隔室模型的效果好，其原因可能是隨著隔室增加，微分方程更復(fù)雜，需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)增加了2 個(gè)，在相同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)下，學(xué)習(xí)效果會(huì)減弱。但是R2_score的值均大于0.9，可以認(rèn)為2 種組合模型有良好的效果。

表1 PINN+SEIRD 和PINN+SEIRDV 組合模型在3 個(gè)數(shù)據(jù)集上擬合和預(yù)測(cè)的感染者的評(píng)估指標(biāo)

對(duì)PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)得到的隔室模型微分方程參數(shù)進(jìn)行合理性判斷。PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)2 種隔室模型學(xué)習(xí)的參數(shù)見(jiàn)表2。由表2 可知，階段一是疫情初期，染率較高，為0.997，在6 d 左右被感染的人就開(kāi)始存在感染性，且死亡率較高，被感染的人情況嚴(yán)重。因?yàn)槿笔Р糠忠呙缃臃N者的數(shù)據(jù)，所以得到的死亡率參數(shù)值較大，一般認(rèn)為死亡率為0.15。緩解這一問(wèn)題的方法可能是將參數(shù)κ的學(xué)習(xí)與其他的學(xué)習(xí)分開(kāi)，根據(jù)參數(shù)κ的圖表可知，它的值相當(dāng)小，而且隨著時(shí)間變化得很穩(wěn)定。由于該文PINN+SEIRDV 模型引入了更多的參數(shù)，因此會(huì)導(dǎo)致欠擬合，可能需要一個(gè)更大的數(shù)據(jù)集或增加優(yōu)化器來(lái)找到其最佳參數(shù)。對(duì)階段二和階段三來(lái)說(shuō)，在考慮疫苗接種的情況下，2 種隔室模型的感染率均降低，新增加的疫苗接種率較高，且疫苗無(wú)效率較低。一般認(rèn)為疫苗接種率為0.6，疫苗無(wú)效率為0.1，疫苗接種的參數(shù)不太準(zhǔn)確，考慮為疫情后期，大部分人已接種疫苗，新增的接種疫苗人數(shù)不高。因此通過(guò)PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)較合理，模型有良好的可解釋性。

表2 PINN 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)得到的隔室模型微分方程參數(shù)值

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在3 個(gè)數(shù)據(jù)集上通過(guò)PINN 學(xué)習(xí)SEIRD 和SEIRDV 隔室模型的微分方程參數(shù)得到的感染隔室的擬合和預(yù)測(cè)結(jié)果良好，對(duì)峰值的動(dòng)態(tài)性預(yù)測(cè)良好，驗(yàn)證了疫苗接種隔室的有效性，且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的參數(shù)有一定合理性，針對(duì)有偏差的參數(shù)提出了可能的原因和解決方法，驗(yàn)證了隔室和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型具有良好的解釋性。

上述試驗(yàn)是在美國(guó)的COVID-19 數(shù)據(jù)集上進(jìn)行的，未來(lái)可以專(zhuān)注于不同國(guó)家的、更廣泛的數(shù)據(jù)集。