張躍驁

［摘? 要］ 隨著新課改的不斷深入，課堂的教學模式、組織形式、學習形式都發(fā)生了重大轉變，“自主探究、合作交流”已成為新課堂主流. 不過，在發(fā)生變化的同時也涌現(xiàn)出了許多新問題，如探究過于膚淺，合作流于形式等，從而因教學缺乏深度而影響了教學效果. 文章指出，教學中要注重知識的整合和聯(lián)系，關注教學技能和策略，強調(diào)自我建構和自我創(chuàng)新，以此打造有深度的教學，實現(xiàn)教與學的可持續(xù)發(fā)展.

［關鍵詞］ 教學；品質(zhì)；深度；可持續(xù)發(fā)展

在新課改的影響下，高中數(shù)學課堂呈現(xiàn)出了一片“繁榮”. 不過在如火如荼的改革中，各種形式的偽探究、假合作、假交流也充斥著課堂，課堂表面上“熱烈高漲”，但課堂依然停留在機械記憶和反復訓練的淺層教學上，學生的學習能力和思維能力并沒有明顯提升. 基于此，深度課堂逐漸走進了師生的視野，其主要目的是實現(xiàn)由“低認知發(fā)現(xiàn)教學”向“指導性發(fā)現(xiàn)教學”轉變，由“無效講解教學”向“有效講解教學”發(fā)展，深度課堂關注知識建構、遷移和評價的創(chuàng)造，關注知識的整合和聯(lián)系. 在這樣的課堂上學習，學生不僅能夠深刻地理解知識，而且能夠靈活應用知識，有助于學生發(fā)展數(shù)學思維能力、形成數(shù)學核心素養(yǎng)，落實終身學習目標.

數(shù)學思維的發(fā)展是由低層級到高層級不斷進階的過程，在這個過程中進階理論應運而生，為“真學課堂”注入新的活力，使教與學的發(fā)展更加自然、和諧. 在進階理論的指導下，教師應關注思維進階的連續(xù)性和層次性，通過問題的梯度變化實現(xiàn)從現(xiàn)實發(fā)展層級向潛在發(fā)展層級的升華，以此促進學生高階思維能力的發(fā)展，打造深度課堂，為實現(xiàn)學生的可持續(xù)發(fā)展架橋鋪路.

筆者以“橢圓的幾何性質(zhì)”一課為例，基于學習進階的視角，談幾點對深度課堂的認識，供借鑒.

教學實錄

教學片段1：借助問題，溯本探源

師：學習橢圓前，我們用解析法研究了直線和圓，基于以上活動經(jīng)驗，談一談你是如何理解解析幾何基本思想的.

生1：它就是用代數(shù)思想方法來研究幾何問題.

生2：其中蘊含著數(shù)形結合思想方法，即將圖形問題代數(shù)化——將其轉化為代數(shù)問題，然后運用代數(shù)思想方法來計算、驗證，從而得到代數(shù)結果，反過來將代數(shù)結果幾何化. “兩化”的目的是讓問題既直觀又準確.

師：說得真好. 在之前學習中，我們依據(jù)曲線定義得到曲線方程，由曲線方程得到曲線的幾何性質(zhì). 現(xiàn)在我們已經(jīng)學習了橢圓的定義及標準方程，接下來我們要學習什么呢？

生齊聲答：橢圓的幾何性質(zhì).

師：很好，基于以前的學習經(jīng)驗，我們可以利用什么來研究橢圓的幾何性質(zhì)呢？

生齊聲答：橢圓的標準方程.

（學生思考、交流）

設計意圖 無論學習平面幾何還是學習立體幾何，乃至研究函數(shù)的性質(zhì)，都是從圖形出發(fā)，借助直觀感知先大膽猜測，然后結合已有知識和經(jīng)驗進行推理和證明. 在本節(jié)課的教學中，若先用圖形猜想性質(zhì)，然后用標準方程進行推理驗證，則會在橢圓性質(zhì)的推理上偏離預設，有悖于解析幾何的基本思想，不利于知識生成. 因此，從學生認知的進階起點看，“兩化”這樣的設計是合理的、科學的，凸顯教學立意，為學生指明了研究對象和研究方向，有助于課堂生成.

教學片段2：自主探究，獲得抽象感悟

師：很好！觀察方程中兩變量x，y的取值范圍，其幾何意義是什么？

生5：說明橢圓分布在x=±a和y= ±b圍成的矩形內(nèi).

師：是的. 從方程的角度來思考，如果（x，y）是它的解，那么方程還有其他解嗎？

生6：有. 方程中出現(xiàn)的是x2和y2，除了（x，y）是它的解，（x，－y），（－x，y），（－x，－y）也是它的解.

師：對的. 這些解與（x，y）有何關系？反映了橢圓怎樣的幾何特性？

生7：如果（x，y）在橢圓上，那么它關于x軸的對稱點（x，－y），關于y軸的對稱點（－x，y），關于原點的對稱點（－x，－y）也都在橢圓上.

師：由此你知道了什么？

生8：橢圓是關于x軸、y軸、原點對稱的圖形.

師：不過橢圓的對稱中心一定是坐標原點嗎？對稱軸一定是x軸、y軸嗎？

生9：不一定，橢圓是可以平移的，平移后它的對稱軸和對稱中心自然也就發(fā)生變化了.

師：想一想這說明了什么呢？（學生陷入沉思）

生10：這說明橢圓的對稱性與坐標系沒有關系，這是橢圓的本質(zhì)屬性.

設計意圖 該環(huán)節(jié)以學生發(fā)現(xiàn)為主，凸顯學生的主體價值. 同時，為了進一步感悟解析幾何的本質(zhì)思想，教師引導學生從代數(shù)的角度出發(fā)，借助橢圓方程來研究橢圓上點的坐標的取值范圍和橢圓的對稱性，從而確定研究方向，總結解析法研究幾何問題的經(jīng)驗. 在教學中，教師通過層層設置問題，帶領學生先研究x，y這兩個變量，接下來從其幾何意義出發(fā)，將其轉化為方程的解，繼而發(fā)現(xiàn)圖形的對稱關系. 通過以上探究讓學生體驗由抽象到具體、由繁到簡的變化過程，有效地化解數(shù)學學習中的抽象感，提升學生思維的活力，為學生由部分到整體的學習進階打下堅實的基礎. 另外，為了避免學生形成片面的認識，在思維的關鍵節(jié)點，教師又適時地進行追問，引導學生總結歸納出了對稱性為橢圓的本質(zhì)屬性，與橢圓的位置并無必然聯(lián)系，以此深化了學生對方程的解的理解，實現(xiàn)了由特殊到一般的轉化，使學生的認知結構不斷完善.

教學片段3：創(chuàng)設沖突，逐層深化

師：結合橢圓圖形及橢圓上點的坐標的取值范圍我們知道，對于橢圓方程的解，x和y都有最大值和最小值，那么這些最大值和最小值所對應的點有什么特點呢？

生11：這些點就是橢圓與坐標軸的交點.

師：這樣的點一共有幾個呢？

生12：四個.

師：是的. 通過解方程的方法能否求出這四個點呢？

師：我們將這四個點稱為橢圓的頂點. 現(xiàn)思考這樣一個問題：橢圓的頂點是否一定是橢圓與x軸和y軸的交點呢？（教師預留時間讓學生交流、討論）

生14：如同橢圓的對稱性，橢圓的頂點與坐標軸無關，而是與橢圓的對稱軸有關.

師：說得很好，能夠聯(lián)想到對稱性，可見大家對以上內(nèi)容已經(jīng)有了深刻認識. 確實，頂點與坐標軸并無直接聯(lián)系，其為圖形的固有屬性.

生15：我認為當點P運動到左、右頂點時，距離橢圓中心O最遠；當點P運動到上、下頂點時，距離橢圓中心O最近.

師：真的嗎？你們是否也是這樣認為的呢？（學生點頭表示贊成）

師：你們能否進一步驗證這一結論呢？（教師預留時間讓學生推理驗證）

經(jīng)歷以上過程后，教師給出長軸和短軸的概念也就水到渠成了.

設計意圖 對于頂點、長軸、短軸等概念的教學，若輕描淡寫地直接講解，則難免讓學生片面地認為頂點就是橢圓與坐標軸的交點，難以體現(xiàn)橢圓圖形的本質(zhì)屬性. 同時，在教學中通過設疑和驗證，讓慣性思維與現(xiàn)實理解進行深度對話，深化學生的原認知，培養(yǎng)學生思辨和質(zhì)疑的能力. 在教學過程中，教師通過巧妙設問與學生深度交流，幫助學生抓住了“長與短”的本質(zhì)內(nèi)涵，逐漸引導學生由感性認識上升到理性認識，從而深化了思維深度.

教學片段4：激發(fā)思維，突破難點

師：前面我們研究橢圓都是基于確定的a，b值，若a，b的值發(fā)生改變，你認為橢圓的形狀會發(fā)生怎樣的改變？（教師引導學生動手嘗試）

生17：a，b兩個量同時變化很難觀察，所以研究橢圓形狀時不妨先確定一個量，比如不改變a，只改變b，當a，b非常接近時，橢圓近似一個圓.

師：具體說一說為什么會這樣.

師：說得非常好，你能用數(shù)學語言進一步準確表達嗎？

師：不過由橢圓的定義可知，參數(shù)b并非橢圓定義涉及的原始量，而是推導橢圓標準方程時引入的一個輔助量，我們能否用橢圓的原始量來刻畫？

師：不錯的想法，那么具體如何表達呢？

生21：直接根據(jù)橢圓定義也能得出這一結論.

經(jīng)歷以上自主發(fā)現(xiàn)的過程，教師再給出離心率及變化范圍，可以輕松地突破這一教學難點.

設計意圖 讓學生理解橢圓的離心率一直是教學難點，而在本節(jié)課教學中，通過猜想、類比、轉化等教學策略激發(fā)了學生探究的熱情，學生通過合作、交流、討論等學習活動體驗到了數(shù)學學習樂趣. 在教學中，教師從本源出發(fā)，即以方程結構為知識發(fā)現(xiàn)的生長點，引導學生先用比值來刻畫橢圓的圓扁程度，接下來又回歸定義，引導學生嘗試用原始量a，c進一步刻畫，從而揭示影響橢圓圓扁程度的根源是離心率，最后從不同角度認識離心率的變化范圍. 基于本源和轉化的觀點引導學生自主建構，使學生的思維生長更加自然，這彰顯了教學的智慧.

教學反思

若想改變表面的浮華，讓教學更有深度，教師就應該放權給學生，為學生提供一個民主的、平等的學習環(huán)境，讓學生的不同思維在碰撞中迸發(fā)出耀眼的光芒. 當然，為了使課堂交流更有效，教師要精心設計，抓住時機進行引導和誘發(fā)，從而讓學生的“學”變得更有價值. 以上教學活動之所以取得了較好的效果，主要因為其立足學生的已有認知，基于最近發(fā)展區(qū)搭建了思維支架，通過層層遞進的問題激發(fā)學生的潛能，引導學生自主完成新知建構. 同時，教學中教師搭建了有效的師生互動平臺，讓不同思維不斷碰撞、融合，激發(fā)了學生的思維活力，提升了教師的教學效率. 基于以上教學流程，筆者認為教學中教師應關注以下幾點.

1. 重視知識間的關聯(lián)性

進階顧名思義就是思維能力由低層向高層的逐漸演變和提升的過程，數(shù)學學習中既要重視知識的傳承，又要關注知識的發(fā)展. 例如，對于橢圓的幾何性質(zhì)，表面上看是一個新內(nèi)容、新挑戰(zhàn)，但深思后不難發(fā)現(xiàn)其與直線、圓等舊知有著千絲萬縷的聯(lián)系，是學生原有認知基礎和學習經(jīng)驗的傳承和發(fā)展. 在教學中，教師有必要借助問題引導學生回顧舊知，幫助學生確定研究方向和研究方法，為更好地傳承和發(fā)展奠定堅實的基礎. 另外，學生習慣憑借“形的直觀”來研究圖形的幾何性質(zhì)，而對于橢圓性質(zhì)的研究需要打破這一局限，故教師通過巧妙設計引導學生由研究方程的解的特性，逐漸過渡到研究曲線上點的特性，從而借助“數(shù)的嚴謹”完成了新知建構，實現(xiàn)了思維進階，為接下來拋物線、雙曲線的研究做好了鋪墊，讓學生的理性思維得以持續(xù)發(fā)展.

2. 關注教學中的策略性

若教學只關注知識的理解和掌握，而忽視策略性知識的探究，將會限制教與學的可持續(xù)發(fā)展. 例如，在教學橢圓幾何性質(zhì)中，將目光聚焦在知識的傳授上，教師完全可以通過“講授”的方式直接將內(nèi)容灌輸給學生，但這樣的方式如何引導學生將碎片化的知識聯(lián)系在一起呢？如何讓學生理解解析幾何法的價值呢？如何讓學生自主完成雙曲線、拋物線以及一般曲線的探究呢？只有引導學生重視策略性知識的探究，才能讓學生真正理解“學什么”“為何學”“如何學”，全面掌握數(shù)學研究的內(nèi)容和方法，為學生學習能力和創(chuàng)新能力的提升奠基.

總之，數(shù)學教學要關注知識間的關聯(lián)性，通過知識進階逐漸完善學生的認知體系. 同時，教學中教師要關注策略性知識的研究，通過思維、經(jīng)驗的進階，培養(yǎng)學生終身學習的能力.