龐翠

［摘? 要］ 縱觀當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生做的練習(xí)不少，但運(yùn)算素養(yǎng)一直有待提高. 究其主要原因，在于不少學(xué)生沒有足夠重視運(yùn)算的作用，缺乏良好的運(yùn)算習(xí)慣與思維. 文章從“調(diào)整運(yùn)算思路，簡化運(yùn)算過程”“滲透求簡意識，找準(zhǔn)運(yùn)算方法”“觀察運(yùn)算拐點(diǎn)，指點(diǎn)運(yùn)算方法”“鎖定運(yùn)算癥結(jié)，探尋矯正措施”四個(gè)方面，具體談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 運(yùn)算素養(yǎng)；培養(yǎng)措施；思路

運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大要素之一，也是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)三大能力之一. 運(yùn)算是指在明確運(yùn)算對象與法則的基礎(chǔ)上，解決數(shù)學(xué)問題的過程，主要包括明確運(yùn)算對象、理解運(yùn)算法則、探索運(yùn)算思路、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、擇取運(yùn)算方法、獲得運(yùn)算結(jié)論六個(gè)環(huán)節(jié). 運(yùn)算既是解決問題的一種基本手段，又是一種基本的數(shù)學(xué)能力，運(yùn)算能力的發(fā)展可促進(jìn)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

調(diào)整運(yùn)算思路，簡化運(yùn)算過程

筆者曾在所授班級做過一個(gè)小調(diào)查：“解析幾何的學(xué)習(xí)，什么讓你覺得最難？”一石激起千層浪，學(xué)生反饋的結(jié)果有：解題方法和解題思路的選擇最難，運(yùn)算過程過于煩瑣，等等. 其中，對于運(yùn)算煩瑣的反饋?zhàn)疃? 結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者對運(yùn)算的感悟頗多，特別是運(yùn)算思路不同，導(dǎo)致運(yùn)算過程千差萬別. 因此，擇優(yōu)運(yùn)算思路是解決運(yùn)算煩瑣問題的關(guān)鍵.

案例1 “直線與圓”的復(fù)習(xí)教學(xué).

這部分內(nèi)容是高中階段的重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生在基礎(chǔ)知識的掌握上表現(xiàn)得還比較好，但在運(yùn)算環(huán)節(jié)出現(xiàn)的問題著實(shí)不少. 同一問題，有的學(xué)生會產(chǎn)生異常煩瑣的運(yùn)算過程，而有的學(xué)生簡簡單單就能獲得結(jié)論.

解析 （1）該問的解題思路比較簡單，純屬基本運(yùn)算，故略.

師：大家對于這種解法有什么體會？

生1：這種解法，在計(jì)算點(diǎn)M坐標(biāo)的過程中出現(xiàn)了較大的運(yùn)算量.

師：有沒有什么辦法可以避免這個(gè)煩瑣的運(yùn)算過程呢？

生3：根據(jù)題意，點(diǎn)A，M，N三點(diǎn)共線，如果從向量的角度來解題，或許能減少運(yùn)算量.

師：你們說得都有道理，現(xiàn)在請大家以小組合作交流的方式來討論如何簡化運(yùn)算量這個(gè)問題.

學(xué)生經(jīng)過合作交流，呈現(xiàn)出以下解答方案：

師：非常好！觀察以上兩種解法，第一種分別求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，第二種只求出其中一點(diǎn)的坐標(biāo). 有沒有什么辦法可使兩點(diǎn)的坐標(biāo)都不求，也能獲得結(jié)論呢？

（學(xué)生沉默）

師：大家從平面幾何的性質(zhì)著手試一試.

生4：或許可以用相似三角形的性質(zhì)來破解這個(gè)問題.

師：這是個(gè)不錯(cuò)的主意，現(xiàn)在請大家獨(dú)立思考后相互交流.

縱觀以上三種解法，一次比一次簡潔、優(yōu)化. 后面兩種解法之所以簡單，是因?yàn)閺念}設(shè)條件中發(fā)現(xiàn)并利用了重要的特殊關(guān)系——垂直. 由此也能看出，特殊的關(guān)系在一般性問題中具有重要意義. 后面兩種解法，雖然運(yùn)算量比第一種小，但對學(xué)生的思維要求較高，對于認(rèn)知水平較弱的學(xué)生，確實(shí)存在一定的困難. 基于此，解法1也不能完全放棄.

滲透求簡意識，找準(zhǔn)運(yùn)算方法

在高中數(shù)學(xué)的解析幾何中，用來簡化運(yùn)算的方法主要有向量法、幾何性質(zhì)的應(yīng)用、回歸定義、設(shè)參等，但不論應(yīng)用哪種方法，目的只有一個(gè)——簡化運(yùn)算過程，準(zhǔn)確獲得結(jié)論. 因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)不斷滲透“求簡”意識，使學(xué)生學(xué)會從不同的思路思考問題，尤其遇到特別煩瑣的運(yùn)算時(shí)，一定要找準(zhǔn)簡化運(yùn)算的方法.

很多時(shí)候，運(yùn)算方法的差異，會導(dǎo)致運(yùn)算正確率千差萬別. 值得注意的是，不能為了簡化運(yùn)算就一味地探尋最簡的方法，而忽略了問題中存在的隱含條件.

案例2 “三角與向量”的專題復(fù)習(xí)教學(xué)（高三一輪復(fù)習(xí)）.

（2）b+c的取值范圍是什么？

生5：（1）借助三角形面積公式與余弦定理，不難獲得b+c=4的結(jié)論.

師：是否存在其他解法？

兩種解法呈現(xiàn)出了不同的結(jié)論，究竟哪里出了問題呢？教師要求學(xué)生自主思考，探明原因. 過了約3分鐘，有學(xué)生提出：生5在解題過程中遺漏了“三角形中，兩邊之和必大于第三邊”這個(gè)隱含條件.

師：雖然用余弦定理解決本題更加便捷，但對于“范圍類”的問題來說特別容易出現(xiàn)遺漏. 正弦定理將待求問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式去解，縱然運(yùn)算復(fù)雜了一些，但正確率更高. 值得注意的是，我們應(yīng)精致化“角”的取值范圍才行. 本道題讓你們有什么收獲？

生7：解決三角形問題時(shí)，要時(shí)刻關(guān)注“取值范圍”“定義域”這些隱性條件. 同時(shí)，利用基本不等式進(jìn)行運(yùn)算，要注意符號“≤”與“≥”能否取到等號.

綜上分析不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)算思路決定著運(yùn)算過程的難易，也決定著運(yùn)算結(jié)論的對錯(cuò). 因此，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對不同運(yùn)算思路的應(yīng)用，讓學(xué)生在類比、分析中，不斷完善認(rèn)知體系，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

觀察運(yùn)算拐點(diǎn)，指點(diǎn)運(yùn)算方法

縱觀學(xué)生的練習(xí)與考試，大多數(shù)學(xué)生的運(yùn)算思路并沒有多少問題，但對一些較復(fù)雜的知識結(jié)構(gòu)缺乏處理能力，鮮有學(xué)生能站到宏觀的角度去微觀處理細(xì)節(jié)問題. 正因?yàn)槿绱耍瑢W(xué)生在運(yùn)算過程中就出現(xiàn)了不少問題. 若教師能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，并在“拐點(diǎn)”處適當(dāng)給予指導(dǎo)，常能取到意想不到的效果.

案例3 “三角”的專題復(fù)習(xí)教學(xué).

（學(xué)生沉默）

師（提示2）：展開cos（A+C）看看？

教師順應(yīng)學(xué)生的思維，在學(xué)生思維的障礙點(diǎn)及時(shí)給予點(diǎn)撥與提示，有效激發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生適時(shí)調(diào)整運(yùn)算方法，順利獲得答案. 在教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)及時(shí)分析問題的“拐點(diǎn)”，通過精準(zhǔn)點(diǎn)撥，常能促進(jìn)學(xué)生及時(shí)反思并調(diào)整運(yùn)算方法，最終提高運(yùn)算能力.

鎖定運(yùn)算癥結(jié)，探尋矯正措施

每個(gè)學(xué)生受社會、家庭與教育等因素的影響，思維模式與思維習(xí)慣存在較大的差異，在數(shù)學(xué)運(yùn)算上表現(xiàn)得尤為明顯. 有的學(xué)生存在的問題是運(yùn)算習(xí)慣差，有的學(xué)生則是運(yùn)算思維不好，還有的學(xué)生表現(xiàn)在運(yùn)算合理性差等方面. 教師只有在充分了解學(xué)情的情況下，找出學(xué)生解決問題的“癥結(jié)”，才能做到“對癥下藥”，讓矯正措施更有效.

案例4 “數(shù)列”的教學(xué).

此題為一道典型的等差乘等比數(shù)列問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于“兩式錯(cuò)位相減”，對于大部分學(xué)生來說難度并不大，但筆者所授班級在本題的實(shí)際得分率僅有35%. 大部分學(xué)生的問題出在運(yùn)算上——應(yīng)用錯(cuò)位相減法解題，最后一項(xiàng)本該為－（2n－1）3n，卻寫成了（2n－1）3n；也有少數(shù)學(xué)生弄錯(cuò)了項(xiàng)數(shù).

筆者講評時(shí)，與學(xué)生一起分析了錯(cuò)誤原因，做了相關(guān)提醒，同時(shí)要求學(xué)生在原題旁邊用紅筆訂正，并上交批閱. 但在一周后的測試中，又出現(xiàn)了一道與本題類似的問題：

從本題來看，不少學(xué)生雖然明確運(yùn)算方法，但遇到實(shí)際問題時(shí)，卻屢屢出錯(cuò)，究竟是何原因？筆者為此對學(xué)生進(jìn)行了訪談并統(tǒng)計(jì)，原因總結(jié)為以下幾點(diǎn)：第一，學(xué)生第一次接觸錯(cuò)位相減法是在學(xué)習(xí)求等比數(shù)列前n項(xiàng)和之前，這種方法出現(xiàn)時(shí)快下課，不少學(xué)生產(chǎn)生了“分神”的情況，課后又沒有及時(shí)鞏固、吸收，導(dǎo)致“消化不良”的現(xiàn)象出現(xiàn)；第二，部分學(xué)生在訂正問題4時(shí)，沒有獨(dú)立思考并再做一遍，而是直接將點(diǎn)評訂正在原題旁邊，缺乏深入思考與實(shí)踐體驗(yàn)的過程，當(dāng)再次遇到類似問題時(shí)，便無法準(zhǔn)確解題；第三，部分學(xué)生日常不重視計(jì)算，依賴計(jì)算器，導(dǎo)致計(jì)算能力薄弱.

一旦找出“癥結(jié)”，便可制定相應(yīng)的對策. 針對這些問題，筆者認(rèn)為可作如下改進(jìn)：

（1）讓學(xué)生明確運(yùn)算的重要性.運(yùn)算貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)生涯，不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)中，在物理、化學(xué)等學(xué)科中同樣重要. 教師應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算意識，讓學(xué)生從理念上充分認(rèn)識到運(yùn)算的重要性，為付諸行動(dòng)奠定基礎(chǔ).

（2）培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣.運(yùn)算講究方式方法，更講究習(xí)慣. 當(dāng)面臨實(shí)際運(yùn)算時(shí)，首先要分清運(yùn)算步驟與得分點(diǎn)，只有規(guī)范運(yùn)算過程，才能保證不丟分；其次對每一步的運(yùn)算應(yīng)做到腳踏實(shí)地，穩(wěn)扎穩(wěn)打，形成良好的運(yùn)算習(xí)慣，保證在“實(shí)戰(zhàn)”中穩(wěn)中求勝.

（3）掌握課堂運(yùn)算教學(xué)的節(jié)奏. 在運(yùn)算教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生留足時(shí)間與空間去探索，否則學(xué)生會掌握不牢固，如筆者在下課前匆忙講授錯(cuò)位相減法，學(xué)生就因?yàn)槿狈μ剿鞯臅r(shí)間和空間而出現(xiàn)了各種問題. 因此，教師應(yīng)注重把握運(yùn)算教學(xué)的節(jié)奏，只有做到張弛有序，才能讓學(xué)生從根本上掌握運(yùn)算技巧，達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”的運(yùn)算能力.

總之，教師應(yīng)在明確運(yùn)算對象與類型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)運(yùn)算流程后再實(shí)施教學(xué). 學(xué)生只有經(jīng)歷過“知（掌握理論）—信（形成信念）—行（付諸行動(dòng)）”等階段，才能從真正意義上提升運(yùn)算素養(yǎng).