劉奕簽　張靜元

探究的本質(zhì)在于真實(shí)的體驗(yàn)，數(shù)學(xué)探究是一個(gè)多向互動(dòng)、動(dòng)態(tài)生成的過程，課堂上要給學(xué)生足夠的空間，不設(shè)限，不為了既定結(jié)果而探究.從形式探究，走向真實(shí)探究，這樣的探究活動(dòng)才有生命力.教師應(yīng)基于深度學(xué)習(xí)理論，讓學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與到探究中，體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展，讓思維的廣度與深度得到體現(xiàn).同時(shí)，教師還要利用多種信息技術(shù)手段，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究過程，理解知識(shí)、掌握方法.下面筆者就以“指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)”的課堂實(shí)錄為例談?wù)勅绾卧谥腔壅n堂中上好高中數(shù)學(xué)概念探究課.

一、溫故知新

師：上課之前考同學(xué)們一個(gè)問題：一個(gè)荷塘第一天開一朵荷花，第二天開兩朵，第三天開四朵……30天開滿整個(gè)荷塘，請(qǐng)問第幾天的時(shí)候開滿一半的荷塘？

生1：15天.

生2：29天.

師：沒錯(cuò)，是29天，前28天可能荷花都只占了荷塘的一個(gè)小角落，而最后幾天就能開滿整個(gè)荷塘，這就是“荷花效應(yīng)”.我們常說“行百里者半九十”也是這個(gè)道理，這就是指數(shù)增長(zhǎng)的魅力.所以在學(xué)習(xí)中，如果我們堅(jiān)持了28天還不見起色，不要著急，再多堅(jiān)持那么幾天，厚積薄發(fā)，也許在不經(jīng)意間，一切就噴薄而出了.

設(shè)計(jì)意圖：雖然本節(jié)課是指數(shù)函數(shù)的第二課時(shí)，研究圖象和性質(zhì)，但開頭的一抹亮色既讓學(xué)生體會(huì)到了指數(shù)增長(zhǎng)的速度，激起他們對(duì)其性質(zhì)的研究熱情，又從數(shù)學(xué)角度解釋了日常現(xiàn)象和熟語(yǔ)，給學(xué)生以思想層面的啟示，將人文底蘊(yùn)素養(yǎng)融入課前引入.

師：在上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，一個(gè)是游客隨著時(shí)間增長(zhǎng)的模型，一個(gè)是碳-14的衰減模型.在實(shí)際問題中，我們抽象出了指數(shù)函數(shù)的模型，并且發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)可以刻畫這類增和減的模型.哪位同學(xué)來說一說什么是指數(shù)函數(shù)？

生3：形如y=ax的函數(shù).

師：這兩個(gè)字母有什么特征呢？

生3：a＞1且a≠1，x為自變量，x∈R.

師：謝謝你精準(zhǔn)的描述.認(rèn)識(shí)了新朋友，我們想了解它，可以從哪些方面入手？

生（全體）：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性.

師：從解析式來看呢？還有——

生（全體）：定義域、值域.

師：很好，不能忘了研究函數(shù)定義域.從解析式來看，好像單調(diào)性和奇偶性不明顯，類比于冪函數(shù)，我們可以怎樣來研究一個(gè)新函數(shù)？

生（全體）：畫圖.

活動(dòng)一：小組合作，自主選取一個(gè)數(shù)作為底數(shù)，在坐標(biāo)紙上畫出一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象，可以使用計(jì)算器.

作圖時(shí)思考幾個(gè)問題：①如何畫圖？②如何取點(diǎn)？③取哪些底數(shù)更容易研究？

學(xué)生開始動(dòng)手操作，教師巡視并將幾個(gè)有代表性的圖象用平板拍照，投影在大屏幕上.呈現(xiàn)的問題主要有：自變量只取了正的部分，指數(shù)函數(shù)凹凸性錯(cuò)誤，值域出現(xiàn)負(fù)數(shù)部分，過定點(diǎn)錯(cuò)誤……

師：如何畫圖？

生（全體）：描點(diǎn)作圖法.

師：沒錯(cuò)，畫圖之前內(nèi)心要有一個(gè)大致的圖象.上一節(jié)課我們接觸過兩個(gè)概念，一個(gè)是增長(zhǎng)量，一個(gè)是——

生（全體）：增長(zhǎng)率.

師：當(dāng)增長(zhǎng)量為常數(shù)時(shí)，圖象為——

當(dāng)增長(zhǎng)率為常數(shù)時(shí)，圖象為——

生（全體）：線性的，非線性的.

師：知識(shí)掌握得很好，我們可以用光滑的曲線勾勒出大致圖象.如何取點(diǎn)，反映了定義域的取值.在初中階段我們學(xué)過了整數(shù)指數(shù)冪，到了高中，我們從有理數(shù)指數(shù)冪拓展到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪，所以指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，那么畫圖的時(shí)候就不能只取y軸的右側(cè)部分.

設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生回憶一類函數(shù)的研究方法時(shí)，教師先構(gòu)建了整體思路，再展開具體研究，并以函數(shù)的觀點(diǎn)聯(lián)系前后知識(shí).教學(xué)中讓學(xué)生自由選擇底數(shù)作圖是一個(gè)亮點(diǎn).很多教師都按照一般思路，讓學(xué)生填表、作圖，與自選底數(shù)相比就差一些探究的味道了.當(dāng)然，這也存在一定的問題，比如如何檢驗(yàn)學(xué)生畫得是否正確？是否應(yīng)在這里呈現(xiàn)一種標(biāo)準(zhǔn)作圖？這些也是教師在備課時(shí)該思考的問題.認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)一定需要通過畫圖嗎？很多時(shí)候直接由解析式就可以得到性質(zhì)，再由性質(zhì)反觀圖象.所以面對(duì)什么時(shí)候才需要畫圖，如何畫圖等問題，不是為了研究而研究，教師應(yīng)把自己放在陌生情境中才可以設(shè)身處地地和學(xué)生一同感受整個(gè)認(rèn)知過程.不劃定研究范圍，沒有邊界感的科學(xué)探索，才是真實(shí)的探究，才會(huì)促成深度學(xué)習(xí)，而不是課堂上精彩的表演和熱鬧的活動(dòng).

二、性質(zhì)探究

活動(dòng)二：在剛才描點(diǎn)作圖的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生打開自己平板上的geogebra畫圖軟件，作出同一個(gè)函數(shù)圖象，對(duì)比驗(yàn)證自己的圖象.觀察函數(shù)圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（教師將平板的權(quán)限轉(zhuǎn)給一位同學(xué)，這個(gè)同學(xué)邊操控，邊講解）

生4：定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞）.

師：能不能寫成〔0，+∞）？為什么？

生4：不能.（此時(shí)學(xué)生出現(xiàn)卡頓，同時(shí)他將圖象放大，看是否會(huì)和x軸相交）

師：請(qǐng)看這位同學(xué)的演示，他從圖象的角度給大家展示了隨著x的減小，y值逐漸變小.你們看，隨著x的減小，圖象逐漸和x軸接近但永不相交.那么x軸就是這個(gè)函數(shù)的——

生（全體）：（沒有答出來）

師：初中學(xué)過漸近線嗎？比如反比例函數(shù)的漸近線就是x，y軸；又如第二章學(xué)習(xí)的雙勾函數(shù)y=x+1/x的漸近線就是y=x和y軸.所以x軸是這個(gè)函數(shù)的漸近線.從圖象上看，好像確實(shí)沒有相交.那么，我們從數(shù)字的角度來試試怎么樣？

（教師打開excel表格，下拉表格）

師：隨著x減小，y值也越來越小，但始終都大于0，能不能從指數(shù)運(yùn)算的角度來解釋一下？

生5：指數(shù)為正，結(jié)果為正；指數(shù)為負(fù)，結(jié)果也是正數(shù).

師：對(duì)，結(jié)果是原來的倒數(shù).

生5：所以值域?yàn)椋?，+∞）.

設(shè)計(jì)意圖：教師放手給學(xué)生用不同方式去探究，再放手給學(xué)生分享，而學(xué)生平板的屏幕共享操作把課堂又推向另一個(gè)高點(diǎn).利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，讓學(xué)生成了學(xué)習(xí)的主人，從學(xué)生展示圖象的變化，到數(shù)據(jù)的變化，再到運(yùn)算角度的解釋，讓指數(shù)的值域在學(xué)生腦海中留下深刻印象.計(jì)算工具的使用，提升了運(yùn)算速度，拓展了底數(shù)的選擇范圍；作圖軟件的使用，解決了學(xué)生選擇底數(shù)不同帶來的圖象不同的訂正問題，使學(xué)生經(jīng)歷完整的探索過程.通過觀察對(duì)比圖象，師生歸納出這類函數(shù)的共同特征，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表達(dá)性質(zhì)，融合切換自然，“形”“數(shù)”的結(jié)合與課堂中思維的引領(lǐng)，讓學(xué)生思考逐漸深入，課堂教學(xué)也越來越有深度，落實(shí)邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

師：小組還有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：有增減性.

師：猜想一下，底數(shù)在什么范圍為增，什么范圍為減？

生6：當(dāng)a＞1時(shí)函數(shù)為增，當(dāng)0＜a＜1時(shí)函數(shù)為減.

師：重大發(fā)現(xiàn)！我們用geogebra來驗(yàn)證一下.（geogebra演示動(dòng)態(tài)變化過程，教師在黑板上作圖規(guī)范手繪圖象）

設(shè)計(jì)意圖：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性能從圖象看出，但教學(xué)時(shí)是否要進(jìn)行嚴(yán)格證明？如果有學(xué)生質(zhì)疑，教師要說明證明要用到“大學(xué)”知識(shí)；如果沒有學(xué)生質(zhì)疑，教學(xué)中則可以忽略.

師：我們繼續(xù)來探索，這些函數(shù)圖象還有哪些共同特征？

生7：都過一個(gè)公共點(diǎn)（0，1）.

師：為什么？

生7：a0=1（a≠0）.

師：（教師板書，繼續(xù)觸碰思維）還有什么發(fā)現(xiàn)？

生7：底數(shù)越大，增得越快.

師：確實(shí)，畫一條直線x=1與函數(shù)圖象相交，這時(shí)y值也就是底數(shù)值了，用這個(gè)方法可以去比較底數(shù)的大小.我們來試試這個(gè)練習(xí).

生（全體）：（迅速口答）

師：已經(jīng)完全掌握了，我們還能發(fā)現(xiàn)——

生（全體）：對(duì)稱性.

師：誰(shuí)和誰(shuí)對(duì)稱？（學(xué)生答一個(gè)函數(shù)，教師就點(diǎn)出一個(gè)函數(shù)）

生（全體）：y=4^x和y=（1/4）^x，y=3x和y=（1/3）^x，y=2x和y=（1/2）^x.

師：哦，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.雖然眼見為實(shí)了，但還不夠有說服力，怎么辦？

生（全體）：y=（1/2）^x可以寫成y=2^-x，它和y=2^x對(duì)稱.

師：有點(diǎn)意思了.假如我們?cè)趛=2^x上任取一點(diǎn)（x，y），那么在y=（1/2）^x上就有一點(diǎn)（-x，y），這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.

再上升一些，y=f（x）和y=f（-x）也是關(guān)于y軸對(duì)稱.

教師讓學(xué)生舉出一個(gè)函數(shù)y=f（x），通過畫圖，驗(yàn)證了函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

設(shè)計(jì)意圖：借助指數(shù)函數(shù)的研究，將y=2^x與y=2^-x圖象的對(duì)稱性上升到研究任意函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的對(duì)稱性，并通過任意兩個(gè)點(diǎn)（x，y）與（-x，y）的對(duì)稱性來研究函數(shù)的對(duì)稱性，抓住了問題的核心.

三、習(xí)題鞏固

最后，教師通過課本習(xí)題及拓展練習(xí)：比較當(dāng)2.9m=2.1n時(shí)，m和n的大小，完成了整節(jié)課的教學(xué).學(xué)生完成度較高.課后教師作了小結(jié)，時(shí)間掌握較好.

設(shè)計(jì)意圖：教師先從最基本的指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較冪的大小，進(jìn)一步到已知冪的大小比較指數(shù)的大小，充分利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，最后升華到當(dāng)2.9m=2.1n，去比較m和n的大小，再次讓學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)特征.由學(xué)生的探索入手，層層深入思考，從點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)稱上升到一般函數(shù)的對(duì)稱.整節(jié)課性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)都是在學(xué)生的推動(dòng)下進(jìn)行的真實(shí)探究.只有這樣才會(huì)對(duì)心靈有真實(shí)的觸碰.所謂教育即一朵云推動(dòng)另一朵云，一顆心喚醒另一顆心.如果課時(shí)足夠，教師是否應(yīng)該讓學(xué)生探究一下如何證明指數(shù)函數(shù)的增減性，但已有的作差法和作商法知識(shí)不足以解決問題.學(xué)生甚至?xí)M(jìn)入一個(gè)循環(huán)證明的悖論之中！當(dāng)學(xué)生的嘗試引起認(rèn)知沖突的時(shí)候，又是一次新的碰撞.這時(shí)，教師把問題留給學(xué)生，給課堂以留白，把解決問題的期限移至未來，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中一路尋找答案.

本節(jié)課對(duì)內(nèi)容的處理有很多突破和創(chuàng)新，課堂開放程度和靈活性較大，我們也感受到了多媒體的助力.我們能看到，整節(jié)課在探究過程中，教師的角色其實(shí)起到串聯(lián)和升華的作用，能對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題和性質(zhì)進(jìn)行追問，適當(dāng)點(diǎn)撥和小結(jié)，啟發(fā)學(xué)生層層探究，深入探索.

指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的探究是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下有目的、有計(jì)劃、系統(tǒng)性地進(jìn)行知識(shí)建構(gòu).學(xué)生類比冪函數(shù)的研究方式，在較短時(shí)間內(nèi)可以探究出一系列結(jié)果.但歷史中定理的發(fā)現(xiàn)往往是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，需要一代又一代人的不懈努力，課堂中的探究片段也只能是科學(xué)探索道路上的一個(gè)微小縮影.我們要允許學(xué)生犯錯(cuò)，允許不同聲音的產(chǎn)生，遇到問題一同研究，一同探索，這也是學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.

責(zé)任編輯 邱艷