程良彥 潘夏輝 夏飛

摘 要 文章介紹了彈塑性力學(xué)中常見(jiàn) 抽象的本構(gòu)關(guān)系以及殘余應(yīng)力 變形曲線的表達(dá)式 采用了課程的3 種可視化軟件 并用軟件實(shí)現(xiàn)表達(dá)式的可視化 基于此 通過(guò)可視化結(jié)果來(lái)認(rèn)識(shí)彈塑性力學(xué)的相關(guān)內(nèi)容 既能增加學(xué)生的專業(yè)課程興趣 又能擴(kuò)展學(xué)生的科研軟件技能 從而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果提高教師的教學(xué)成就

關(guān)鍵詞 可視化 交互教學(xué) 彈塑性力學(xué) 梁

中圖法分類號(hào)G642? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

隨著多媒體和軟件技術(shù)的不斷發(fā)展，互動(dòng)、可視化的教學(xué)方式越來(lái)越受到學(xué)生的青睞。劉霞［１］ 介紹了知識(shí)可視化、思維可視化、數(shù)據(jù)可視化的基本概念及在教學(xué)中的應(yīng)用。敖文剛等［２］ 通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)和可視化界面，在理論力學(xué)課堂教學(xué)中直觀展示了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的抽象結(jié)果，提高了學(xué)生對(duì)力學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)。楊靜寧等［３］ 基于案例庫(kù)建設(shè)，實(shí)現(xiàn)材料力學(xué)的互動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施。王宏偉等［４］ 利用Ｍａｔｌａｂ 的圖形用戶界面模塊，設(shè)計(jì)了交互式參數(shù)輸入和可視化的輸出平臺(tái)，并著重討論了厚壁筒的彈塑性結(jié)果。文獻(xiàn)［５～７］探討了可視化在課程教學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題。因此，若要提高傳統(tǒng)課程的教學(xué)效果，則需要結(jié)合多媒體手段和交互功能強(qiáng)大的軟件技術(shù)，并將學(xué)生的思維和行為融入到課堂教學(xué)中，使抽象而不易理解的公式和推導(dǎo)變得生動(dòng)、可視化。

彈塑性力學(xué)是工程力學(xué)、土木工程專業(yè)的重要核心課程，也是相對(duì)抽象且難教、難學(xué)的課程。本文以工程上常見(jiàn)的梁為例，闡述可視化教學(xué)方法在彈塑性力學(xué)課程中的應(yīng)用。對(duì)靜定梁的分析較為容易，理論力學(xué)介紹過(guò)梁的約束求解；材料力學(xué)介紹過(guò)梁的內(nèi)力、應(yīng)力和變形求解，且都處于彈性階段。然而，對(duì)于靜定梁和超靜定梁的彈塑性分析，則是彈塑性力學(xué)中較為重要的一個(gè)內(nèi)容。梁的彈塑性分析包括梁分別在加載時(shí)和卸載時(shí)的應(yīng)力分析、應(yīng)變分析、曲率分析、撓度分析，以及超靜定梁的彈性極限和塑性極限分析。這些抽象的力學(xué)分析，給學(xué)生的理解造成一定的困擾［８］ 。

１ 彈塑性解及存在的問(wèn)題

在梁的彈塑性分析時(shí)，需要用到平衡方程、幾何方程，以及彈性和塑性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，聯(lián)立求解后得到梁的計(jì)算公式如下［９］ 。

彎矩和曲率的函數(shù)關(guān)系為：

其中，ｗ，Ｐｃ ，Ｅ，ｌ，ｘ 分別為撓度、彈性極限載荷、彈性模量、梁的長(zhǎng)度、截面位置。

從結(jié)果可知，在梁的彈塑性分析中，涉及的量較多且概念難理解，對(duì)這些結(jié)果的推導(dǎo)過(guò)程較枯燥且難懂，教學(xué)內(nèi)容也較死板。學(xué)生若數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)，對(duì)彈塑性力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣不高，課后的鞏固也不到位，則學(xué)習(xí)的收獲就會(huì)較少，在后期也不能將對(duì)所學(xué)的知識(shí)做到學(xué)以致用。

２ 可視化教學(xué)實(shí)踐

在力學(xué)問(wèn)題的分析中，若要較好地理解力學(xué)結(jié)果，則通常需要借助一些軟件。常見(jiàn)的可視化軟件包括Ａｎｓｙｓ，Ｍａｔｌａｂ，Ｐｙｔｈｏｎ?？梢暬浖敖虒W(xué)展示流程如圖１ 所示。

Ａｎｓｙｓ 可視化的優(yōu)勢(shì)在于能了解構(gòu)件上各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和變形；Ｐｙｔｈｏｎ 可視化的優(yōu)勢(shì)在于容易實(shí)現(xiàn)所討論問(wèn)題和參數(shù)的互動(dòng)［１０］ ；Ｍａｔｌａｂ 可視化的優(yōu)勢(shì)在于能快速建立各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

下文以彈塑性力學(xué)中的重要構(gòu)件梁為例，結(jié)合梁的彈塑性理論分析結(jié)果，闡述可視化的方法和過(guò)程。梁受力后會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力和變形。應(yīng)力和變形的結(jié)果可以通過(guò)Ａｎｓｙｓ 軟件的數(shù)值模擬，得出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形圖（如圖２、圖３ 所示）。從圖中可以看出，構(gòu)件受力之后，各個(gè)點(diǎn)都是有應(yīng)力和位移的，各個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力和位移的大小不同，且其大小可以通過(guò)用顏色的變化來(lái)區(qū)分。Ａｎｓｙｓ 軟件對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)的模擬較為直觀，容易給學(xué)生留下印象。

學(xué)生對(duì)彈塑性結(jié)果有了初步印象后， 再通過(guò)Ｐｙｔｈｏｎ 的交互練習(xí)，可以加深理解。

圖４ 為Ｐｙｔｈｏｎ 軟件運(yùn)行后的彈塑性力學(xué)經(jīng)典問(wèn)題交互界面。該界面主要包括菜單欄、問(wèn)題選擇欄、問(wèn)題描述區(qū)、計(jì)算區(qū)、設(shè)計(jì)區(qū)和結(jié)果展示區(qū)。問(wèn)題描述區(qū)給出所討論問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、約束、受力和相關(guān)參數(shù)；計(jì)算區(qū)和設(shè)計(jì)區(qū)是交互式教學(xué)的主要實(shí)施區(qū)域，負(fù)責(zé)教師或?qū)W生與數(shù)據(jù)庫(kù)的交互操作和參數(shù)輸入。

在運(yùn)行交互平臺(tái)后，學(xué)生可以調(diào)節(jié)其中的參數(shù)（圖５ 中① ～ ⑤，⑩），按下計(jì)算和設(shè)計(jì)按鈕（圖５ 中⑥）得到相應(yīng)的結(jié)果（圖５ 中⑦～⑨，）。通過(guò)交互平臺(tái)上各個(gè)參數(shù)的多次調(diào)整，學(xué)生對(duì)參數(shù)以及參數(shù)影響結(jié)果的方式都有了較深的理解，從而也加深、鞏固了對(duì)梁類問(wèn)題解答的理解。交互可視平臺(tái)給了學(xué)生能更為直觀的數(shù)字解答，并在數(shù)字變動(dòng)中找到規(guī)律后，再對(duì)經(jīng)典問(wèn)題的彈塑性解答及其推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行理解。

在Ａｎｓｙｓ 軟件的直觀印象和Ｐｙｔｈｏｎ 軟件的交互實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)上，為了更深層次地理解梁在受力變形時(shí)的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步采用了Ｍａｔｌａｂ 軟件的簡(jiǎn)單編程，對(duì)公式（１） ～ （３）實(shí)現(xiàn)了更為理想、深刻的關(guān)系展示。圖６ 為截面上彎矩和曲率的關(guān)系，即公式（１）的函數(shù)曲線。通過(guò)該曲線，可以知道梁上各個(gè)截面變形后的曲率是不同的；同時(shí)截面的狀態(tài)也是不同的。比如，在懸臂梁彈塑性分析時(shí)，梁的左側(cè)狀態(tài)的彈塑性，梁的右側(cè)狀態(tài)為彈性，彈塑性狀態(tài)時(shí)滿足二次曲線關(guān)系，彈性狀態(tài)時(shí)滿足線性關(guān)系。

從公式（２）可以看出，彈塑性加載后再卸載是較難理解的。從可視化曲線（圖７）上看，彈塑性加載越大，則（橫向來(lái)看）殘余應(yīng)力越大；同種載荷下，（豎向來(lái)看）截面上各點(diǎn)的殘余應(yīng)力是不相同的。在經(jīng)過(guò)彈塑性加載后，殘余應(yīng)力會(huì)出現(xiàn)反號(hào)，反號(hào)出現(xiàn)在梁邊緣及附近。利用可視化挖掘，學(xué)生將會(huì)對(duì)殘余應(yīng)力的認(rèn)識(shí)更加深刻。

梁的彈塑性變形也是梁分析的重要內(nèi)容。其變形表達(dá)式為冪函數(shù)和多項(xiàng)式的組合。學(xué)生對(duì)表達(dá)式的圖形不了解（知道是曲線，不知道曲線形狀）。公式圖形可視化后（如圖８ 所示），對(duì)彈性極限和塑性極限下的撓度曲線有了清晰地認(rèn)識(shí)，并且了解了彈性曲線和塑性曲線的比例關(guān)系與彈塑性條件下彈性和塑性部分的變形大小，以及變形的無(wú)量綱描述方式。

通過(guò)梁的交互可視過(guò)程可以看出，原本枯燥的公式通過(guò)圖形的方式展現(xiàn)出來(lái)，增加了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，并使學(xué)生對(duì)問(wèn)題解答的認(rèn)識(shí)更深刻。同時(shí)，也提高了學(xué)生對(duì)軟件的認(rèn)識(shí)和興趣。

３ 結(jié)束語(yǔ)

可視化教學(xué)可以將學(xué)生從抽象的公式理解中解放出來(lái)，并建立起師生溝通的渠道，使得教學(xué)過(guò)程生動(dòng)、高效而有趣，進(jìn)而形象直觀地解釋彈塑性力學(xué)問(wèn)題的力學(xué)原理。本文分別利用Ａｎｓｙｓ，Ｐｙｔｈｏｎ，Ｍａｔｌａｂ軟件的交互式和可視化處理功能，闡述了懸臂梁在豎直載荷作用下的彈性解答和塑性解答，對(duì)梁的彎矩曲率關(guān)系、卸載后的殘余應(yīng)力、彈性和塑性撓曲線做了分析。梁的交互可視化教學(xué)實(shí)踐可以推廣到其他結(jié)構(gòu)的彈塑性分析中，也可推廣到其他力學(xué)課程和專業(yè)課程的教學(xué)改革中。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 劉霞．?dāng)?shù)據(jù)可視化技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用［Ｊ］．電子技術(shù)，２０２１，５０（２）：１５２?１５３．

［２］ 敖文剛，李勤，王歆．基于Ｍａｔｌａｂ 的理論力學(xué)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)［Ｊ］．力學(xué)與實(shí)踐，２０１３，３５（１）：８３?８６．

［３］ 楊靜寧，馬連生，王鵬．基于案例庫(kù)建設(shè)的材料力學(xué)互動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施［Ｊ］．力學(xué)與實(shí)踐，２０２０，４２（２）：２３７?２４１．

［４］ 王宏偉，謝麗麗，周宏偉，等．交互式和可視化的彈塑性力學(xué)教學(xué)方法探討與實(shí)踐［Ｊ］．力學(xué)與實(shí)踐，２０１８，４０（６）：６８７?６９２．

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［８］ 周宏偉．力學(xué)教育的前生今世［Ｊ］．力學(xué)與實(shí)踐，２０１５，３７（１）：１１３?１１６．

［９］ 程良彥，聶振華．塑性力學(xué)［Ｍ］．吉林：吉林大學(xué)出版社．２０１９．

［１０］ 李剛．瘋狂Ｐｙｔｈｏｎ 講義［Ｍ］．北京：電子工業(yè)出版社，２０１９．

作者簡(jiǎn)介：

程良彥（１９７８—），博士，講師，研究方向：彈塑性分析、損傷檢測(cè)。