齊鐵清

摘要：數(shù)學深度學習離不開學生的動手操作，離不開問題的解決。數(shù)學教材中的拓展題是很好的教學資源，教師要引導學生積極思考，大膽嘗試，通過擺一擺、畫一畫、切一切、拼一拼的方法，互相交流、共同探討，在活動中學習，在操作中感受。

關鍵詞：操作活動；空間觀念；深度學習

空間觀念是義務教育階段學生數(shù)學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一?？臻g觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）在學段目標和課程內容中對學生空間觀念的要求是一個循序漸進的過程：從形成初步的空間觀念、形成空間觀念、培養(yǎng)空間觀念、發(fā)展空間觀念、增強空間觀念到提升空間觀念。很多教師結合具體的教學內容來理解這些要求一般比較容易，但對于這些要求如何轉化成學生的觀念卻方法不多。本文結合北師大版數(shù)學教材中三道拓展題的解決過程來闡述如何在操作中培養(yǎng)學生的空間觀念。

一、有思維的操作：從用尺畫角到用角度量

角的度量是北師大版數(shù)學教材四年級上冊“線與角”這一單元中的一部分內容。教材在“旋轉與角”“角的度量”的教學內容后安排了一道“用一副三角尺畫不同度數(shù)角”的拓展題。通過對這道題的處理，可以看出教師對培養(yǎng)學生空間觀念的理解、認識、落實程度。

（一）原題：用一副三角尺畫不同度數(shù)的角

這是教材中的一道拓展題，原題是：“利用一副三角尺，你能畫出哪些不同度數(shù)的角？”教材中給了提示：“我畫了一個105°的角”“我畫了一個15°的角”，并配了插圖。

在實際教學中，教師一般情況下會根據(jù)這些提示，引導學生在三角尺原有的30°、45°、60°、90°的基礎上，通過相加和相減的辦法可以再畫出75°、105°、120°、135°、150°、180°的角。

在這樣的教學活動中，學生的思維基本上是停留在“利用原有的6個角通過加減的方式來畫出新的角”這一階段。

（二）原解：一共能畫出11種不同度數(shù)的角

在北京師范大學出版社《義務教育教科書數(shù)學教師教學用書》（以下稱為“教參”）中有對此題的說明：“本題是拓展題，不要求全體學生掌握。鼓勵學生大膽嘗試，先獨立地擺一擺、畫一畫，再交流方法。答案：180°、150°、135°、120°、105°、90°、75°、60°、45°、30°、15°。”

教參中先是說明了此題的性質，然后提示了處理方式，最后給出了答案。從給出的答案中可以看出，是按照從大到小的規(guī)律排列的。

這樣的答案并沒有引起一些教師的注意，基本上是“以此為準”。如一位教師在引導學生歸納方法時對畫出的角按照從小到大的順序進行排序后發(fā)現(xiàn)，這些角度是有規(guī)律的，從15°開始，依次增加15°，一直到180°，但是中間缺少了165°。學生就此提出了疑問，并用一副三角尺畫出了165°的角α（見圖1），這個問題才引起大家的關注。

（三）原理：用工具畫角是對角的重新量化

對于用一副三角尺能否畫出165°角的討論已經(jīng)結束，但問題似乎并沒有那么簡單，其中有幾個問題應該引起教師的關注。

第一個問題是：為什么一道題的答案有問題，在教參中存在這么長時間（現(xiàn)行版本是2014年版）卻沒被發(fā)現(xiàn)？第二個問題是：是什么原因導致了“不完美”的答案？第三個問題是：學生畫出的這個165°角，其他學生是否認同？

第一個問題，主要原因為這是一道“拓展題”“不要求全體學生掌握”，那也就意味著不作考試要求。所以，一般情況下不對全體學生進行統(tǒng)一要求，即使是做出來的學生也不要求把所有的答案都寫全。這樣，也就沒有人特別關注所有的答案了。

第二個問題，之所以沒有給出165°的答案，主要是“成人化”“代數(shù)化”思維的結果?！袄靡桓比浅吣隳墚嫵瞿男┎煌葦?shù)的角”一般理解為用一副三角尺中的兩個不一樣的三角尺已有的6個角相互拼擺來得到新的角。有些版本的教材在要求中也確實是說“能拼成哪些不同度數(shù)的角”。這樣，沒有165°的答案也就可以理解了。

第三個問題，有的學生并不認為這個165°的角是合理的，因為它不是利用三角尺原有的角畫出來的。其實，這并不重要，重要的是這些角是學生“畫”出來的還是“算”出來的。要是直接“算”，那是“算”不出165°的角的。

教師到此應該想到是一個問題：165°這個概念是怎么建立起來的？如果是拼角，那就需要有兩個已經(jīng)知道度數(shù)的角的和或差正好是165°才行。但如果是畫角，那就需要看已經(jīng)知道度數(shù)的最小的角是多少度，只要知道了這個度數(shù)，以它為單位，就可以畫出它的倍數(shù)的所有的角了。而這正是度量的本質意義。

一副三角尺6個角的度數(shù)差最小是15°，那么就可以利用它來畫出所有的15°的倍數(shù)的角，當然也包括165°。實際上，新課標中對學生“會用量角器或三角板畫角”是有明確要求的，要求“會用三角板畫30°、 45°、 60°、 90°的角”。這是因為三角板上有這些度數(shù)的角，如果學生能通過兩個角的度數(shù)差來找到15°的角，那么畫15°的角就很容易了。

有了這個基礎，學生以15°為一個單位，就可以畫出任意一個15°的倍數(shù)的角了。這樣，得出來的是具有普遍意義的最基本的規(guī)律，它可以拓展，可以延伸。在學生學習角的時候就可以更好地理解角的形狀、大小、位置關系了。

二、有意義的剪拼：從代數(shù)計算到幾何直觀

長方形的面積是北師大版數(shù)學教材三年級上冊“面積”這一單元中的一部分內容。教材在這部分內容后面安排了一道“用一個大長方形能剪成幾個小正方形”的拓展題。從這道題的解題過程中，可以看出學生對圖形形狀、大小、位置關系的理解程度。

（一）原題：一張紙能剪出多少個小正方形

這道拓展題的原題是：“王老師為小朋友準備了一張長32厘米、寬15厘米的長方形彩紙，最多可以剪成邊長是2厘米的正方形彩紙多少張？”

這原本是一道沒有多大難度的題，但解答這道題的思路卻反映了學生對面積概念的理解程度。有的學生可能會把這題理解為“大長方形中包含幾個小正方形”，從而用大長方形的面積除以小正方形的面積得到包含的個數(shù)。32×15=480（平方厘米），2×2=4（平方厘米），480÷4=120（張）。這是典型的“用代數(shù)思維解決幾何問題”，不叫“數(shù)形結合”。

在這種情況下，教師可以引導學生動手做一做，在做中體會大長方形和小正方形之間的關系。通過操作，學生會發(fā)現(xiàn)，長方形的紙并不是正好用完，進而明白為什么不能剪成120張。

（二）原解：學生體會畫圖解決問題的方法

教參對此題的解釋是“本題是拓展題，不作考試要求。練習時，可以先讓學生畫圖，從圖中可以直觀地看出長的一條邊能畫16個，寬的一條邊能畫7個。體會畫圖解決問題的方法。答案：長邊可以剪32÷2=16（份），寬邊可以剪15÷2=7（份）……1（厘米），一共可以剪16×7=112（張）?！?/p>

對于這道拓展題來說，并不只是畫圖那么簡單。關鍵是學生能否讀懂原題，能否把原題還原成現(xiàn)實情境。教師應讓學生真正動手進行操作，在操作中理解什么叫“用大的長方形剪成小的正方形”。

在操作中學生就會理解，題中要求最多可能剪成多少張，那就應該盡量用小的圖形去密鋪大的圖形。這就會出現(xiàn)教參中提示的“長的一條邊能畫16個，寬的一條邊能畫7個”的情形。這個過程應該是先有操作再有算式，算式只不過是對操作過程的記錄。如果沒有對這些圖形關系的認識，而只用算式來解釋是沒有意義的。

（三）原理：理解單位面積會更有實用價值

為理解這道題的用意，換一組數(shù)據(jù)也許效果會更好：“一個長6厘米、寬5厘米的長方形，最多可以剪成長3厘米、寬2厘米的長方形多少個？”

這道題無論是用算式計算還是畫圖操作，答案都是5（個）。但思考過程卻完全不一樣，用算式解決問題只能說明面積是30平方厘米的大長方形里面包含5個面積是6平方厘米的小長方形，不一定能形成裁剪方法的圖形。而當學生自己能剪出5個小長方形時，他們對面積就有了一種新的認知：如果以長3厘米、寬2厘米的長方形的面積為一個“單位面積”（6平方厘米），那么長6厘米、寬5厘米的長方形中就有5個這樣的“單位面積”（30平方厘米）（見圖2）。

“單位面積”已經(jīng)超出了學生對“面積單位”的固化理解。當學生已經(jīng)習慣于用“一個面積單位”去度量面積的時候，就很難把“多個面積單位”當成“一個單位面積”去進行度量，更難理解用一個“不規(guī)則的單位面積”去進行度量。只有突破這種認知上的限制，學生才能真正理解面積的意義。

學生進而就會理解，有時一個大的圖形雖然不能正好剪出幾個完整的小圖形，但是它們之間依然存在這種關系。如教材中的拓展題：“一張大的彩紙，最多可以剪成112張小彩紙?！钡珜嶋H上如果以這張小的彩紙的面積為一個“單位面積”，那么大的彩紙的面積就有120個這樣的單位。這種理解就不是就題解題，而是讓學生在操作的過程中明白平面圖形的形狀、大小、位置關系。

三、有深度的轉化：從體積單位到單位體積

學生對體積單位概念的建立往往不如長度和面積單位的建立那么“實在”，其原因主要是學生沒有建立起“單位體積”的概念。從北師大版數(shù)學教材六年級下冊一道拓展題的解題過程就可以看出學生對“單位體積”的理解程度。

（一）原題：用底面積乘以高計算柱體的體積

教材“圓柱與圓錐”這一單元中，在“圓柱的體積”后面有一道拓展題：“長方體、正方體和圓柱的體積都可以用V=Sh計算。想一想， 下圖右面兩個圖形的體積也可以用V=Sh計算嗎？說一說你的想法?！保ㄒ娤马搱D3）

這樣的拓展題，在教師看來并沒有什么難度，也不會引起學生的關注。一般來說，解答時不會出現(xiàn)問題，都會回答“可以”。至于“說一說想法”，因為只是“說一說”，所以無非是“底面積乘以高可以求出長方體、正方體、圓柱體的體積，右面兩個圖形的底面也可以轉化成長方形，從而把它們轉化成長方體”之類的推理，教師在教學中不會太“較真”，也沒有學生去操作，所以一般看不出什么問題。

（二）原解：利用轉化的思想推出計算方法

教參中的解釋基本意思是這樣的：“本題為拓展練習，不要求全體學生掌握。主要引導學生思考、體會直柱體的體積都可以用V=Sh計算的理由。練習時，教師可以引導學生說說自己的思考方法，如可以用切、拼的方法，利用轉化的思想，將圖3中右面的兩個圖形轉化為長方體，從而推出兩個立體圖形的計算方法?！?/p>

這個解釋本身沒有問題，但關鍵是學生是否真的能“思考”、是否真的能“體會”、是否真的知道“直柱體的體積都可以用V=Sh計算”的理由。更重要的是，學生能否由此真的能得出“直柱體的體積都可以用V=Sh計算”的結論。

（三）原理：理解體積就是度量單位的累加

新課標非常重視學生在數(shù)學學習過程中的操作，特別是在圖形與幾何教學中的測量與度量。在“教學提示”中提示教師“圖形的認識與測量的教學要引導學生通過對立體圖形的測量，從度量的角度認識立體圖形的特征；理解長度、面積、體積都是相應度量單位的累加”。

學習體積的計算時，教材通過猜想驗證的方式引導學生得出長方體體積的計算公式。讓學生用一些棱長為1厘米的小正方體擺出3個不同的長方體，通過觀察各自體積與長、寬、高之間的關系得出長方體體積的計算公式。包括底面積乘高的公式也是通過“底面積=長×寬”得出的。在這樣的過程中，學生并沒有“基于體積單位理解圖形體積”，更沒有“理解體積是體積單位的累加”，所以沒有很好地建立起“長方體體積”的概念。

如果在這個過程中，教師重視學生操作的過程，讓學生體會到用棱長為1厘米的小正方體擺長方體，擺一排的數(shù)量和長方體的長一樣，也就是長是幾就擺幾個；擺一層的數(shù)量和長方體的長×寬（也就是底面積）一樣，也就是寬是幾就擺幾排；擺完整個長方體的數(shù)量和長方體的長×寬×高一樣，也就是高是幾就擺幾層。從而得出，長方體的體積就是擺的總個數(shù)，而這個總個數(shù)，不用一個一個地去數(shù)了，可以用長×寬×高這個簡便方法計算出來。也就是一共用了幾個小正方體，得到的長方體的體積就是幾個這樣的體積單位。這就是“基于體積單位理解圖形體積”“理解體積是體積單位的累加”。

有了這些基礎，學生再理解從長方體、正方體、圓柱體的體積公式向其他形體進行拓展時，就會知道無論底面是什么形狀，所說的“底面積”就是一層的“單位數(shù)量”，再乘高就是總的單位數(shù)量，就是體積。這就很容易拓展得出“所有直柱體的體積都可以用V=Sh計算”的結論。這時，學生對直柱體體積的理解就不只是記住了體積計算公式那么簡單，還建立起了直柱體體積的概念。

以上這三道拓展題的相通之處在于對“度量單位”的理解，應該通過這樣的拓展題，讓學生在理解1°角、1平方厘米、1立方厘米的基礎上明白“以15°為一個單位可以畫出15°的倍數(shù)的角”“以4平方厘米為一個單位可以度量出一個圖形有多少個這樣的單位”“1立方厘米體積的形狀不僅限于棱長是1厘米的正方體，用不規(guī)則形狀的體積單位也可以去度量體積”。這樣的拓展題就不只是題的拓展，而是思維的拓展、理念的拓展。

參考文獻：

［1］劉堅，孔企平，張丹.義務教育教科書數(shù)學（2014年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯：楊強）