【摘 要】 問(wèn)題解決需要有關(guān)聯(lián)的視角，關(guān)聯(lián)一道題的多種解法尋覓其一致性，關(guān)聯(lián)一類題的相同解法尋找其通性通法，再基于一致性與通性通法追本溯源攫取本質(zhì).軸對(duì)稱的本質(zhì)是對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的距離相等，基于這一本質(zhì)解決問(wèn)題，建構(gòu)知識(shí)體系，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，提升直觀想象與邏輯推理的能力.

【關(guān)鍵詞】 角平分線；軸對(duì)稱；本質(zhì)；關(guān)聯(lián)

1 提出問(wèn)題

軸對(duì)稱的本質(zhì)是什么？回到軸對(duì)稱的定義——把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)（Symmetric Points）.改變對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形仍舊重合.全等是基于重合所得，與變換要素對(duì)稱軸沒(méi)有關(guān)系，因此全等不是軸對(duì)稱的本質(zhì).

如何作對(duì)稱軸？比如，作角的對(duì)稱軸，先作一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，再作一個(gè)到對(duì)稱點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，連接角的頂點(diǎn)與這個(gè)點(diǎn)即可得到對(duì)稱軸.其本質(zhì)就是先構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)，再構(gòu)造到對(duì)稱點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)都在對(duì)稱軸上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線得到對(duì)稱軸.

如何作一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形？作軸對(duì)稱圖形皆可化歸作對(duì)稱點(diǎn)，如何作對(duì)稱點(diǎn)？方法如下：

三種方法均充分體現(xiàn)了對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的距離相等，這就是軸對(duì)稱的本質(zhì).因此，軸對(duì)稱圖形需作出對(duì)稱軸，才能體現(xiàn)軸對(duì)稱的本質(zhì)，同時(shí)對(duì)稱軸只有構(gòu)造出對(duì)稱點(diǎn)才有價(jià)值.下面基于本質(zhì)解決系列問(wèn)題. 圖1

2 解決問(wèn)題

問(wèn)題1 如圖1，OC平分∠AOB，∠OAC＋∠CBO＝180°.求證：AC＝BC.

分析條件

條件關(guān)聯(lián)的方向

角平分線

直接應(yīng)用兩角相等

構(gòu)造軸對(duì)稱圖形（軸對(duì)稱），

構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)得軸對(duì)稱圖形

間接應(yīng)用，將等角轉(zhuǎn)化，

即用平行、旋轉(zhuǎn)或弧進(jìn)行轉(zhuǎn)化等角關(guān)系

將兩個(gè)等角關(guān)系轉(zhuǎn)化成新的等角關(guān)系，構(gòu)成新的軸對(duì)稱圖形

∠OAC＋∠CBO＝180°

圖中互補(bǔ)角

等角的補(bǔ)角相等、四點(diǎn)共圓

等角、等弧、等圓心角

分析問(wèn)題

證明兩條線段相等的方法：全等、等角對(duì)等邊、等弧或等圓心角所對(duì)的弦相等.

證明兩條線段相等的策略：直接證明或間接證明（等量代換）.

思路方法

方法一：如圖2，構(gòu)造OA′＝OA→△AOC≌△A′OC→AC＝A′C，BC＝A′C→AC＝BC.

方法二：如圖2，構(gòu)造OB′＝OB→△BOC≌△B′OC→BC＝B′C，AC＝B′C→AC＝BC.

方法三：如圖2，構(gòu)造CH⊥OA、CH′⊥OB→CH＝CH′→△ACH≌△BCH′→AC＝BC.方法四：如圖2，構(gòu)造CD＝OC→等腰三角形△COD→△OAC≌△DBC→AC＝BC.

方法五：如圖3，構(gòu)造四邊形AOBC的外接圓→∠APC＝∠BPC→AC＝BC.

反思提煉

首先，角平分線是什么？角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，有對(duì)稱軸就要構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)，得到軸對(duì)稱圖形，再基于軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問(wèn)題.其次，如何證明兩條線段相等？把兩條線段分別放在一對(duì)全等三角形中，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；放在一個(gè)三角形中，利用等角對(duì)等邊；放在一個(gè)圓中，通過(guò)等圓心角或等弧證等弦.最后，再思考是否可以直接證明，若不能，應(yīng)進(jìn)行等量代換.角的關(guān)系如何轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系？通過(guò)本題可以利用軸對(duì)稱全等將等角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等邊關(guān)系，或?qū)蓚€(gè)等角轉(zhuǎn)化成新的等角關(guān)系，比如通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形、通過(guò)平行轉(zhuǎn)角得到等腰三角形、通過(guò)等弧轉(zhuǎn)角得到等圓心角. 圖4

問(wèn)題2 如圖4，已知點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝5.求AD的長(zhǎng)度.

分析條件

（1）AD平分∠BAC→∠BAD＝∠CAD→∠BOD＝∠COD→BD＝CD；

（2）四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形→∠ABD＋∠ACD＝180°→問(wèn)題1→BD＝CD；

（3）△ABC確定→BC確定、⊙O半徑確定、△ABD、△ADC確定.

分析問(wèn)題

如何求弦長(zhǎng)？將AD放在一個(gè)確定的三角形中，即此三角形可解.特殊的方法就是將AD放在一個(gè)直角三角形中，這個(gè)直角三角形可解.

思路方法

方法一：如圖5，構(gòu)造AB′＝AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于點(diǎn)H，AH＝AB＋AC[]2＝4→AD＝AH[]cos∠DAH＝4[]cos30°＝83[]3[SX）].

方法二：如圖6，構(gòu)造AC′＝AC→△ADC′≌△ADC→等腰△DBC′→作DH⊥AC′于點(diǎn)H，AH＝4→AD＝83[]3[SX）].

方法三：如圖7，構(gòu)造DH⊥AC，DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH＝1→AH＝4→AD＝83[]3[SX）].方法四：如圖8，構(gòu)造CE＝AB→△ABD≌△ECD→等腰△ADE→作DH⊥AC于點(diǎn)H，AH＝4→AD＝83[]3[SX）].

方法五：如圖9，連接BC，OD得OD⊥BC→△ABC確定→BC確定→CE確定→DC確定→△ADC確定.

反思提煉

如何回歸源頭、遷移經(jīng)驗(yàn)？本問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于回歸源頭，思考角平分線的本質(zhì)，基于等角直接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形或間接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，與問(wèn)題1如出一轍，圓周角角平分線價(jià)值何在？基于弧進(jìn)行轉(zhuǎn)化，圓周角角平分線可得等弧、等圓心角、等弦，進(jìn)而構(gòu)造出垂徑定理的基本圖形.如何求弦長(zhǎng)？首先把弦放在三角形中，利用勾股定理、相似、面積等方法解三角形，如果不可解，就要讓三角形與其它確定的三角形建立相似的關(guān)系.

問(wèn)題3 如圖10，已知點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AC為直徑，AD平分∠BAC，AB＝3，AC＝5.求AD的長(zhǎng)度.

分析條件

1.角平分線——直接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形；轉(zhuǎn)化等角構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，如等腰三角形.

2.⊙O的直徑AC=5→⊙O為定圓、AB=3→∠BAC確定、圓心O到AB的距離確定、BC的長(zhǎng)確定、∠ABC＝90°→∠BAD，∠CAD，∠CBD，∠BCD確定→△BCD確定→DC確定→AD確定.

分析問(wèn)題

將線段AD放在一個(gè)直角三角形中，且這個(gè)直角三角形要有兩個(gè)元素確定，至少有一邊.

思路方法

方法一：如圖11，構(gòu)造AB′＝AB→△ABD≌△AB′D→等腰△DB′C→作DH⊥AC于點(diǎn)H，CH＝B′H＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法二：如圖12，延長(zhǎng)CD，AB相交于點(diǎn)C′→等腰△ACC′→AC′＝AC＝5，BC′＝2→

CC′＝25→DC＝5→AD＝25.

方法三：如圖13，構(gòu)造DH⊥AC，DH′⊥AB→△ADH≌△ADH′→CH＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法四：如圖14，構(gòu)造CE＝AB→△ABD≌△ECD→AE＝AC＋CE＝8→作DH⊥AC于點(diǎn)H，CH＝1，AH＝4→DH＝2→AD＝25.

方法五：如圖15，連接OD→OD⊥BC→OE＝1.5，CE＝2，DE＝1→DC＝5→AD＝25.

方法六：如圖16，構(gòu)造OH⊥AB，DE⊥AC→AH＝1.5，OH＝2→Rt△ODE≌Rt△AOH→DE＝OH＝2，AE=4→AD＝25.

方法七：如圖17，構(gòu)造CF∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F→＝AB[]CF＝3[]5，BC＝4→BE＝1.5，CE＝2.5→AE＝35[]2[SX）]，DE＝5[]2[SX）]→AD＝25.

反思提煉

首先，解法歸類.方法一、二、三都是源于角平分線——構(gòu)造軸對(duì)稱圖形（利用軸對(duì)稱性）；方法四、六、七都是源于角平分線——轉(zhuǎn)化為等腰三角形（利用軸對(duì)稱性）；方法五是源于角平分線——轉(zhuǎn)化為垂徑——構(gòu)造軸對(duì)稱圖形（利用軸對(duì)稱性）.歸根結(jié)底就是用好自身的軸對(duì)稱性，利用平行線、等弧將等角轉(zhuǎn)化到同一三角形中得到等腰三角形，再利用其軸對(duì)稱性解決問(wèn)題.

其次，解法歸因.問(wèn)題2是問(wèn)題1的衍生，由對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造圓，利用圓的屬性解決問(wèn)題，問(wèn)題3是將問(wèn)題2特殊化，因此3個(gè)問(wèn)題的方法是存在共性的，每道題的多種解法又具有一致性，充分體現(xiàn)了軸對(duì)稱的本質(zhì).

最后，解法遷移.類比角平分線本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)及其應(yīng)用，思考平移變換、中心對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、縮放變換的本質(zhì)是什么及如何應(yīng)用？其實(shí)是一以貫之的，回歸定義，緊扣變換要素挖掘本質(zhì)，比如有共端點(diǎn)的等線段這一條件，就具備了旋轉(zhuǎn)要素，端點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心，線段的夾角大小為旋轉(zhuǎn)角度，從而構(gòu)造旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.同樣有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，再基于旋轉(zhuǎn)要素挖掘本質(zhì).3 教學(xué)思考

3.1 反思數(shù)學(xué)本質(zhì)，尋覓知識(shí)遷移的源頭

問(wèn)題都有本質(zhì)，挖掘本質(zhì)方能想得自然，解得通透.挖掘本質(zhì)需要回到知識(shí)源頭，源頭就是其定義.通過(guò)角平分線系列問(wèn)題的解決，不難發(fā)現(xiàn)角平分線的本質(zhì)：角平分線（對(duì)稱軸）上任意一點(diǎn)到對(duì)稱點(diǎn)的距離相等.一是基于角平分線直接構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)；二是間接應(yīng)用等角，比如通過(guò)平行、旋轉(zhuǎn)將等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得轉(zhuǎn)化后構(gòu)成新的等腰三角形；在圓中通過(guò)弧將兩個(gè)等圓周角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等圓心角，基于圓的定義形成等腰三角形，進(jìn)而得到等腰三角形的三線合一.角平分線通常有三個(gè)用法：直接構(gòu)造軸對(duì)稱圖形；將一角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得轉(zhuǎn)化后的角與另一角相等，進(jìn)而得到等腰三角形；將兩個(gè)等角都進(jìn)行轉(zhuǎn)化，產(chǎn)生新的角平分線，再基于軸對(duì)稱解決問(wèn)題.三種方法殊途同歸，都是化歸軸對(duì)稱圖形，這就是角平分線的本質(zhì).

3.2 反思教學(xué)過(guò)程，體會(huì)知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程

角平分線教學(xué)采用螺旋上升的策略，先認(rèn)識(shí)角平分線的定義，利用軸對(duì)稱全等體會(huì)角平分線的價(jià)值；再探索角平分線軸對(duì)稱性及其性質(zhì)；最后在等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多邊形、圓等知識(shí)中反復(fù)滲透其軸對(duì)稱性，體現(xiàn)其本質(zhì) [1] .

第一階段：學(xué)習(xí)角平分線定義，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷翻折的過(guò)程，初步感知軸對(duì)稱性，再得出角平分線的定義，切不可直接給出定義，學(xué)生就不能很好地體會(huì)其軸對(duì)稱性，也是為后面尺規(guī)作角平分線奠定基礎(chǔ).

第二階段：尺規(guī)作角平分線，進(jìn)一步體會(huì)角平分線的本質(zhì)，基于軸對(duì)稱全等構(gòu)造角平分線，初步體會(huì)角平分線所在的直線是對(duì)稱軸，為后面學(xué)習(xí)角是軸對(duì)稱圖形奠定基礎(chǔ).

第三階段：角平分線的性質(zhì)探索，很多時(shí)候教學(xué)僅僅關(guān)注性質(zhì)，即角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，在此會(huì)忽視其一般性，進(jìn)而學(xué)生不能充分體會(huì)軸對(duì)稱性，也就是特殊性弱化了其軸對(duì)稱性，因此有必要在此進(jìn)行一般化，體現(xiàn)軸對(duì)稱的本質(zhì)，就是角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等.

第四階段：用對(duì)稱的眼光看圖形，需要一以貫之的滲透，從等腰三角形到特殊平行四邊形再到圓，都需要用軸對(duì)稱的眼光去研究，比如菱形的對(duì)角線所在的直線就是菱形的對(duì)稱軸，矩形對(duì)邊中點(diǎn)的連線就是其對(duì)稱軸，因此在研究特殊平行四邊形時(shí)需要有軸對(duì)稱的眼光，就是將特殊平行四邊形都化歸等腰三角形；在圓的學(xué)習(xí)中要基于圓的定義，圓的所有的性質(zhì)皆是化歸等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)研究圓的性質(zhì).

整個(gè)知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中，從定義出發(fā)，反復(fù)滲透軸對(duì)稱的本質(zhì)，養(yǎng)成翻折的動(dòng)態(tài)眼光，由角平分線建構(gòu)軸對(duì)稱圖形，或?qū)⒌冉沁M(jìn)行轉(zhuǎn)化得到新的軸對(duì)稱圖形.這是一個(gè)反復(fù)滲透、不斷感知的過(guò)程.

3.3 反思關(guān)聯(lián)路徑，挖掘思想方法的生成

認(rèn)識(shí)了角平分線的本質(zhì)及其知識(shí)建構(gòu)過(guò)程，還需要關(guān)聯(lián)角平分線去學(xué)習(xí)其它的軸對(duì)稱圖形.角是軸對(duì)稱圖形的一個(gè)代表，角平分線所在的直線就是角的對(duì)稱軸，角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等.緊扣對(duì)稱軸的本質(zhì)去研究線段、等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正多邊形、等腰梯形、圓等軸對(duì)稱圖形，即軸對(duì)稱圖形需要構(gòu)造出對(duì)稱軸，作角平分線或作對(duì)稱點(diǎn)的連線段的垂直平分線，有了對(duì)稱軸才能體現(xiàn)其軸對(duì)稱的性質(zhì).這種眼光與思維方式要貫穿在教學(xué)的所有環(huán)節(jié)中，養(yǎng)成用對(duì)稱的眼光看圖形，緊扣變換要素研究圖形，還必須關(guān)聯(lián)到其它對(duì)稱圖形，包括平移對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心對(duì)稱、位似對(duì)稱等等.下面以軸對(duì)稱為例（圖18），談?wù)勊鼈冎g的內(nèi)在關(guān)系，其它對(duì)稱以此類推.

3.4 反思育人價(jià)值，落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)的真諦

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀能力，圖形直觀是一種視角與思維，是一種合情推理的方法，是終身發(fā)展的關(guān)鍵能力.圖形變換的本質(zhì)就是把圖形看動(dòng)起來(lái)，在圖形運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上研究圖形各元素之間的關(guān)系，即研究圖形性質(zhì) [2] .其中角平分線就是需要用翻折的眼光看圖形，找對(duì)應(yīng)元素與對(duì)稱軸之間的關(guān)系，同時(shí)也是研究復(fù)雜圖形的基本方法，更是演繹推理的前提.因此，幾何變換是幾何體系的核心內(nèi)容，它是認(rèn)識(shí)圖形的基本方法，需養(yǎng)成把圖形看動(dòng)起來(lái)的視角，在教學(xué)的過(guò)程中加強(qiáng)幾何變換教學(xué).通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變換理解軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和平移變換的基本性質(zhì)，這樣才能將對(duì)稱體現(xiàn)的淋漓盡致，這是圖形直觀的關(guān)鍵所在.多年后對(duì)稱的性質(zhì)或許已忘卻，但是這種視角、思維方式將永遠(yuǎn)存在，其性質(zhì)就自然生長(zhǎng)，這就是關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)題海中不乏貌似各異，但本質(zhì)相同、解法一致的問(wèn)題，若搞題海戰(zhàn)術(shù)，必然花費(fèi)大量的時(shí)間和精力.為此，要注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行舉一反三、多題一解的訓(xùn)練，訓(xùn)練學(xué)生的關(guān)聯(lián)性思維，尤其在知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程中要反復(fù)滲透知識(shí)的本質(zhì)，同時(shí)在解題的過(guò)程中要關(guān)聯(lián)一類題的相同解法，一道題的多種解法，做到要溯源、要生長(zhǎng)，從而建構(gòu)知識(shí)體系，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維.

參考文獻(xiàn)

［1］章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育變革［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（04）：1-4.

［2］王保東.關(guān)注基礎(chǔ)和思維習(xí)慣合理引導(dǎo)學(xué)生思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（06）：49-52，57.

［3］[BP）]金敏，劉春書.從評(píng)價(jià)的視角思考初中幾何變換的教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（04）：56-62．

作者簡(jiǎn)介 劉春書（1978—），男，江蘇寶應(yīng)人，副校長(zhǎng)，中學(xué)高級(jí)教師；江蘇省青年教育家型教師、江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人、南京市學(xué)科帶頭人;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和考試命題研究;發(fā)表論文多篇.