余 陽，付 濤

（昆明理工大學機電工程學院，云南 昆明 650500）

負泊松比超材料結(jié)構(gòu)具有良好的應(yīng)力擴散性能、極高的剪切模量和能量吸收能力[1]。因此，具有負泊松比特性的蜂窩胞元結(jié)構(gòu)組成的蜂窩夾芯板受到了廣泛關(guān)注。與傳統(tǒng)均質(zhì)板結(jié)構(gòu)相比，蜂窩夾芯板具有輕質(zhì)、高強度和優(yōu)異的抗沖擊能力等特點，主要應(yīng)用于航空航天和高速鐵路等領(lǐng)域[2-3]。但在實際應(yīng)用中，石子或者冰雹等物體的撞擊會對蜂窩夾芯板造成損傷，這些損傷將直接影響蜂窩夾芯板的強度和剛度，進而影響結(jié)構(gòu)整體的穩(wěn)定性[4-5]。因此，建立能夠準確分析低速沖擊下蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的模型是有必要的，可以為蜂窩夾芯板的結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造提供幫助。

關(guān)于夾芯板在低速沖擊下的動力響應(yīng)，學者們已開展了豐富的研究。藺曉紅等[6]采用ABAQUS 有限元分析軟件，對碳纖維增強鋁合金板（carbon reinforced aluminum laminates，CARAL）受低速沖擊時的動力響應(yīng)及損傷進行了數(shù)值模擬。謝素超等[7]通過低速落錘實驗和包含面板、膠層及蜂窩的細節(jié)數(shù)值模擬，探究了鋁蜂窩夾芯板在低速沖擊下的動力響應(yīng)及損傷模式。Zhang 等[8]通過實驗和數(shù)值模擬，研究了鋁蜂窩夾芯板在低速沖擊下的動力壓縮性能和能量吸收能力。Liu 等[9]采用ANSYS 數(shù)值模擬方法，研究了鋁蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的沖擊位移、應(yīng)力和應(yīng)變隨時間的變化規(guī)律。Palomba 等[10]采用低速沖擊實驗研究了雙層蜂窩夾芯板的能量吸收能力。Zhang 等[11]通過單泡沫彈丸沖擊帶有玻璃層壓鋁增強環(huán)氧樹脂（glass laminate aluminum reinforced epoxy，GLARE）的蜂窩夾芯板的實驗，研究了前面板金屬層和復合層之間的脫粘、纖維斷裂、屈曲、剪切和芯部斷裂規(guī)律。關(guān)于蜂窩夾芯板在低速沖擊下的動力學響應(yīng)研究中，上述研究者主要基于實驗為主，與數(shù)值模擬結(jié)果相對比，而對于夾芯板動力學響應(yīng)的理論研究很少。Hazizan 等[12]使用簡單的能量平衡模型對鋁蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的沖擊響應(yīng)進行建模，但是該模型更適用于蜂窩夾芯梁的動力響應(yīng)研究。Zhang 等[13]以金屬泡沫芯和纖維-金屬層壓板（fibre-metal laminate，F(xiàn)ML）組成的完全夾持夾層梁為研究對象，通過建立理論模型和數(shù)值模擬的方法，研究了具有纖維金屬層壓板的夾層梁的動態(tài)響應(yīng)。后來，Zhang 等[14]通過數(shù)值方法研究了由金屬泡沫芯和纖維-金屬層壓板組成的夾持方形夾層板（square sandwich plates，SSP）的動力響應(yīng)。Sun 等[15]提出了一種基于哈密頓原理的通用分析建模方法，用于研究具有韌性金屬面板的蜂窩夾芯板的低速沖擊響應(yīng)。Wu 等[16]提出了一種改進的高階剪切變形理論(higher-order shear deformation theories，HSDT)，用于分析簡單支撐的復合材料和蜂窩夾芯板的自由振動。

當前的研究結(jié)果表明，人工負泊松比蜂窩胞元結(jié)構(gòu)能夠與多學科交叉融合[17]，而且負泊松比蜂窩夾芯板在能量耗散和能量吸收方面比傳統(tǒng)六邊形蜂窩芯的蜂窩夾芯板更有優(yōu)勢[18]?；谪摬此杀群畏涓C夾芯板，關(guān)淮桐等[19]研究了蝴蝶形蜂窩夾芯板的振動特性，提升了抑制工程應(yīng)用中共振發(fā)生的能力。

目前，對于蜂窩夾芯板在低速沖擊下的動力響應(yīng)理論模型研究較少，且未涉及蝴蝶形蜂窩夾芯板在低速沖擊下的動力響應(yīng)。因此，本文中，主要以負泊松比蝴蝶形蜂窩夾芯板為研究對象，基于哈密頓原理和一階剪切變形理論，推導具有負泊松比特性的蝴蝶形蜂窩夾芯板的運動方程，建立兩自由度組成的質(zhì)量-彈簧求解模型，采用Navier 法和Duhamel 積分對蝴蝶形蜂窩夾芯板的運動方程進行解析求解，將Abaqus 有限元數(shù)值模擬結(jié)果或已發(fā)表文獻結(jié)果與采用本文中所建立的理論模型計算出的結(jié)果作對比來驗證理論模型的有效性，并利用本文中所建立的理論模型分析蝴蝶形蜂窩夾芯板在低速沖擊下的動力響應(yīng)，討論不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對蝴蝶形蜂窩夾芯板在低速沖擊下動力響應(yīng)的影響。

1 蜂窩夾芯板動力響應(yīng)理論模型

假設(shè)蜂窩夾芯板主要是由2 個蒙皮層和1 個夾芯層組成，其中芯層由具有負泊松比特性的蝴蝶（凹入式蜂窩）芯組成。如圖1(a)所示，在蜂窩夾芯板的中間平面建立笛卡爾直角坐標系(x,y,z)，沿z方向為蜂窩夾芯板的高度，沿x和y方向為蜂窩夾芯板的長度和寬度分別記為Lx和Ly，蜂窩夾芯板的總高度為h，頂部蒙皮層高度為ht，底部蒙皮層高度為hb，夾芯層高度為hc。此外，蜂窩夾芯板受到初始速度為cs，半徑為Rs的球形沖擊器的沖擊載荷。在本文中，量符號上標或下標t 、c、b 和s 分別表示頂部蒙皮層、夾芯層、底部蒙皮層和球形沖擊器。負泊松比蝴蝶形蜂窩夾芯層組成的胞元結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，Δ、Δ1、Δ2和Δ3為胞元的壁厚，L1、L2和L3為胞元的壁長，α1、α2、β1和β2為胞元壁的傾斜角度，1/4 胞元的長為s，寬為d。為了便于計算和分析，可設(shè)L1=L2, α1=α2, β1=β2。

圖1 蜂窩夾芯板和胞元結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure schematic diagram of the honeycomb sandwich panel and the unit cell

1.1 蜂窩夾芯板的運動方程

為了獲得蜂窩夾芯板的位移場，采用一階剪切變形理論[20]描述蜂窩夾芯板的位移場：

式中：u、v和w分別表示中間平面相對于x、y和z軸的面內(nèi)橫向位移，φx和φy為旋轉(zhuǎn)位移分量，t為時間。

與位移場有關(guān)的任意位置的橫向應(yīng)變-位移關(guān)系為：

式中：εx、εy為正應(yīng)變，γxy、γxz和γyz為切應(yīng)變。

蜂窩夾芯板的線性本構(gòu)關(guān)系可以寫成：

式中：上標i=t, c, b。其中剛度系數(shù)分別為：

式中：E、G和μ分別為基體材料的彈性模量、剪切模量和泊松比。蝴蝶形蜂窩夾芯層的等效彈性模量、等效剪切模量和等效泊松比公式[21]分別為：

式中：η=α1?β1，e=L3/?3，R=e(ssinη?dcosη)2+e3(dsinη+scosη)2，η2=d/s，d=2?+L3cosη，s=3?+2L1sinα1?L3sinη，k=L1/?1。

根據(jù)哈密頓原理[22]，蜂窩夾芯板一階剪切變形理論運動方程為：

式中：q為沖擊載荷，I0、I1和I2為質(zhì)量慣性矩，Nx、Ny和Nxy為軸向力，Qx和Qy為剪切力，Mx、My和Mxy為力矩?？啥x為：

1.2 蜂窩夾芯板的運動方程求解

考慮四邊簡支條件下蜂窩夾芯板的自由振動：

采用Navier 法[23]求解系統(tǒng)的固有頻率，將位移分量表示為雙三角級數(shù)形式：

式中：α=mπ/Lx，β=mπ/Ly，Umn(t)、Vmn(t)、Wmn(t)、Xmn(t)和Ymn(t)為位移振幅分量，m和n為模數(shù)。沖擊載荷q可表示為：

系數(shù)Qmn(t)為：

將式(8)和(9)代入式(4)，并利用Galerkin 法，忽略平面內(nèi)轉(zhuǎn)動慣量，可得：

根據(jù)式(11)，可得到一個線性二階微分方程：

采用Duhamel 積分[24]，將式(10)代入式(12)，可得Wmn(t)系數(shù)為：

式中：ωmn為蜂窩夾芯板的固有頻率。

如圖2 所示，建立質(zhì)量-彈簧模型用于求解球形沖擊器與蜂窩夾芯板之間的接觸力F(t)。在質(zhì)量-彈簧模型中，p1和p2分別為球形沖擊器和蜂窩夾芯板的質(zhì)量，δ(t)為接觸變形位移，w1(t)和w2(t)為2 個質(zhì)量塊在撞擊后隨時間變化的位移響應(yīng)，K1和K2為等效接觸剛度。

圖2 球形沖擊器與蜂窩夾芯板接觸的等效理論模型Fig.2 An equivalent theoretical model of contact between the spherical impactor and the sandwich panel

接觸變形δ(t)的位移為：

根據(jù)文獻[25]，沖擊器在沖擊期間的非線性赫茲沖擊力為：

式中：Es、μs和Et、μt分別為球形沖擊器和蜂窩夾芯板頂部蒙皮層的楊氏模量和泊松比。使用等效剛度K1進行解析求解，沖擊力可計算為：

等效接觸剛度的計算公式為[26]：

式中：Γ(·)為Gamma 函數(shù)，δm為最大接觸變形。且：

運用牛頓第二運動定律，兩自由度質(zhì)量-彈簧模型的平衡方程為：

式(20)的初始條件為：

由式(14)、(17)、(20)和(21)可以計算出接觸力為：

利用式(18)、(13)和(22)，可以得到蜂窩夾芯板的橫向位移方程：

1.3 理論模型驗證

主要從以下3 個方面來驗證當前理論模型的有效性。

首先，以負泊松比蝴蝶形蜂窩夾芯板為例，假設(shè)蜂窩夾芯板的長度Lx=300 mm，寬度Ly=300 mm，總高度h=12 mm，夾芯層高度hc=10 mm，頂部蒙皮層和底部蒙皮層高度相同，蜂窩胞元壁厚Δ=2 mm，蜂窩胞元壁的傾斜角度β1=β2=45°，α1=α2=60°，蜂窩胞元壁長L1=L2=6 mm，L3=8 mm。假設(shè)蒙皮層和夾芯層的材料相同，基體材料的彈性模量E=69 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=2700 kg/m3。通過Abaqus 軟件建立蝴蝶形蜂窩夾芯板，將蜂窩板賦予上述材料參數(shù)，在分析步管理器中，選用Lanczos 特征值求解器對蜂窩夾芯板的振動特性進行求解。對于蝴蝶形蜂窩夾芯板的簡支邊界條件，分別在x=0 和x=Lx邊，限制y方向與z方向的位移和繞y軸的旋轉(zhuǎn)；在y=0 和y=Ly邊，限制x方向和z方向的位移以及繞x軸的旋轉(zhuǎn)。如圖3所示，蝴蝶形蜂窩夾芯板的網(wǎng)格類型為十節(jié)點二次四面體網(wǎng)格單元，網(wǎng)格尺寸為5.0 mm。采用相對收斂的方法對當前網(wǎng)格的收斂性進行驗證，從表1 中可以看出，蝴蝶形蜂窩夾芯板的一階固有頻率隨著網(wǎng)格尺寸的減小而減小，并逐漸趨于一個極限值691.25Hz，其在5%誤差下的固有頻率為725.81 Hz，因此網(wǎng)格尺寸為5.0 mm 時可以滿足網(wǎng)格收斂要求。利用本文所建立的理論模型和有限元數(shù)值模擬的方法，蝴蝶形蜂窩夾芯板的前5 階固有頻率如表2 所示，可以看出理論模型結(jié)果于數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好，最大的相對誤差為6.53%。

表1 網(wǎng)格尺寸對一階固有頻率計算結(jié)果的影響Table 1 Influences of mesh size on the calculated results of the first-order natural frequency

表2 蝴蝶形蜂窩夾芯板的前5 階固有頻率Table 2 The first five order natural frequencies of the butterfly-shaped honeycomb sandwich panel

圖3 有限元數(shù)值建模的網(wǎng)格劃分Fig.3 Finite element numerical modeling meshing

其次，通過Abaqus 有限元軟件建立蝴蝶形蜂窩夾芯板低速沖擊模型，蜂窩夾芯板的幾何尺寸和材料參數(shù)與上述相同。球形沖擊器的半徑為10 mm，彈性模量Es=200 GPa，泊松比μs=0.3，密度ρs=7971.8 kg/m3。創(chuàng)建動力顯式分析步，對蜂窩夾芯板設(shè)置四邊簡支邊界條件，分別在x=0 和x=Lx邊，限制y方向與z方向的位移和繞y軸的旋轉(zhuǎn)；在y=0 和y=Ly邊，限制x方向與z方向的位移和繞x軸的旋轉(zhuǎn)。如圖4所示，采用十節(jié)點二次四面體網(wǎng)格單元對蝴蝶形蜂窩夾芯板進行網(wǎng)格劃分，其邊界網(wǎng)格尺寸為10.0 mm。為了更好地分析蜂窩夾芯板橫向位移，將蜂窩夾芯板的中心20 mm×20 mm 區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格尺寸設(shè)為1.0 mm。球形沖擊器采用相同的網(wǎng)格單元進行網(wǎng)格劃分，其網(wǎng)格尺寸為1.0 mm，在球形沖擊器底部設(shè)計1 個參考點并與蜂窩夾芯板頂部蒙皮層中心點相接觸，接觸點的坐標為(Lx/2,Ly/2,h/2)。將參考點與球形沖擊器進行剛體約束，然后對參考點設(shè)置不同的沖擊速度（6、8、10、12 m/s)。為了防止低速沖擊過程中發(fā)生干預穿透問題，選擇通用接觸，面面接觸在法向設(shè)置為硬接觸，在切向設(shè)置為罰函數(shù)接觸，其摩擦因數(shù)為0.2。采用上述相同的方法對當前的網(wǎng)格收斂性進行驗證，如表3 所示，當球形沖擊器以8 m/s 的速度沖擊蜂窩夾芯板時，蜂窩夾芯板中心最大橫向位移隨著中心區(qū)域網(wǎng)格尺寸的減小而增大，并逐漸趨于一個極限值0.2556 mm，在5%的誤差范圍內(nèi)，中心網(wǎng)格尺寸為1.0 mm 時可以滿足網(wǎng)格收斂要求。采用本文理論模型和有限元數(shù)值模擬方法，在不同沖擊速度下，蜂窩夾芯板最大中心橫向位移變化情況如表4 所示，可以計算出，本文理論模型計算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果的最大相對誤差為6.84%。

表3 低速沖擊下蜂窩夾芯板中心網(wǎng)格尺寸對中心最大橫向位移計算結(jié)果的影響Table 3 Influence of center grid size on the calculated maximum lateral displacement of the sandwich panel center under low-velocity impact

表4 不同沖擊速度下蝴蝶形蜂窩夾芯板的橫向位移Table 4 Lateral displacement of the butterfly-shaped honeycomb sandwich panel at different impact velocities

圖4 蝴蝶形蜂窩夾芯板低速沖擊有限元模型Fig.4 The finite element model for the butterfly-shaped honeycomb sandwich panel subjected to low-velocity impact

最后，將本文理論模型計算的接觸力與Yang 等[26]和Wu 等[27]計算的接觸力進行對比，來驗證本文理論模型的有效性。在矩形板與沖擊器的材料參數(shù)和幾何尺寸與文獻[26-27]中的保持一致的情況下（見表5），當沖擊器以1 m/s 的速度沖擊矩形板時，本文理論模型計算的接觸力隨時間變化曲線與文獻[26-27]中的接觸力的對比如圖5 所示。從圖5 可以看出，板結(jié)構(gòu)與球形沖擊器之間的接觸力總體變化趨勢相同，理論模型計算的接觸力與文獻[26-27]中的接觸力最大相對誤差為8%。

表5 矩形板和沖擊器的材料參數(shù)和幾何尺寸[26-27]Table 5 Material parameters and geometrical sizes of the homogeneous panel and impactor[26-27]

圖5 接觸力隨時間的變化Fig.5 Variation of contact force with time

上述3 種方法對本文中所建立的理論模型進行了有效性驗證，理論模型計算與有限元數(shù)值模擬所得的蝴蝶形蜂窩夾芯板前5 階固有頻率的最大相對誤差為6.53%，中心最大橫向位移的最大相對誤差為6.84%。理論模型與文獻[26-27]計算得到的接觸力最大相對誤差為8%。結(jié)果表明，這3 種方法所求得的結(jié)果均在誤差可接受范圍之內(nèi)，驗證了本文理論模型的有效性。

2 蜂窩夾芯板的參數(shù)分析

利用所建立的理論模型來研究蜂窩胞元和夾芯板的幾何尺寸對負泊松比蝴蝶形蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響。球形沖擊器的主要材料參數(shù)和幾何尺寸見表5，沖擊的速度為6 m/s。蜂窩夾芯板的基體材料參數(shù)為：E=69 GPa,μ=0.3, ρ=2700 kg/m3；蝴蝶形蜂窩夾芯板的幾何尺寸為：Lx=Ly=300 mm,h=12 mm,ht=hb=1 mm；蝴蝶形蜂窩胞元的幾何尺寸為：L1=L2=6 mm, β1=β2=45°, α1=α2=60°,L3=8 mm,Δ=2 mm。

2.1 蜂窩胞元幾何尺寸對蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響

通過改變蜂窩胞元幾何尺寸，研究它們對蝴蝶形蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響。蜂窩胞元厚度Δ分別設(shè)為1 、2 和3 mm，蝴蝶形蜂窩夾芯板的橫向位移隨時間的變化如圖6(a)所示，可以看出，隨著蜂窩胞元厚度的增大，蝴蝶形蜂窩夾芯板的橫向位移不斷減小。這表明，隨著蜂窩胞元厚度的增大，蜂窩夾芯板的抗沖擊特性在增強。同理，蜂窩胞元角度β1分別設(shè)為20°、35°和50°，蝴蝶形蜂窩夾芯板的橫向位移隨時間的變化曲線如圖6(b)所示，可以看出，隨著蜂窩胞元角度的增大，蝴蝶形蜂窩夾芯板的橫向位移也在不斷增大。這表明，蜂窩夾芯板的抗沖擊特性隨著蜂窩胞元角度的增大而減弱。

圖6 胞元幾何尺寸對蝴蝶形蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響Fig.6 Influences of the unit cell geometry parameters on dynamic responses of the butterfly-shaped honeycomb sandwich panel

2.2 夾芯層高度對蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響

通過改變夾芯層高度，研究它們對蝴蝶形蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響。蜂窩夾芯板的頂部蒙皮層和底部蒙皮層的高度均為1 mm，頂部蒙皮層與夾芯層的高度比分別為1∶6、1∶10 和1∶14，蜂窩夾芯板的長度和寬度均為300 mm，球形沖擊器的速度為6 m/s。蜂窩夾芯板的基體材料參數(shù)為：E=69 GPa,μ=0.3, ρ=2700 kg/m3；蝴蝶形蜂窩胞元的幾何尺寸為：L1=L2=6 mm, β1=β2=45°, α1=α2=60°,L3=8 mm,Δ=2 mm。不同的頂部蒙皮層與夾芯層的高度比對蝴蝶形蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響如圖7 所示，在相同的沖擊載荷下，隨著蜂窩夾芯板的夾芯層與頂部蒙皮層高度比的增大，蜂窩夾芯板的橫向位移減小，表明蜂窩夾芯板的抗沖擊特性增強；隨著高度比的增大，蜂窩夾芯板與沖擊器的接觸力也增大，表明蜂窩夾芯板的能量吸收能力增強。在實際的工程應(yīng)用中，可通過適當增大芯層高度來提高蜂窩夾芯板的抗沖擊特性和吸能效果。

圖7 頂部蒙皮層與夾芯層的高度比對蝴蝶形蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響Fig.7 Influences of the height ratio of the top skin layer to the sandwich layer on dynamic responses of the butterfly-shaped honeycomb sandwich panel

2.3 夾芯長度尺寸對蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響

同理，通過改變蜂窩夾芯長度尺寸，研究它們對蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響。設(shè)蜂窩芯的高度為10 mm，頂部蒙皮層和底部蒙皮層的高度均為1 mm，蜂窩夾芯層的寬度為100 mm，寬度和長度比分別為1∶1、1∶1.5 和1∶2，球形沖擊器的沖擊速度為6 m/s，蜂窩夾芯板的基體材料參數(shù)和蜂窩胞元的幾何尺寸與上述相同。不同的寬長比對蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響如圖8 所示，隨著蜂窩夾芯層的長度增大，最大橫向位移減小，而蜂窩夾芯板與球形沖擊器的接觸力在增大，這表明蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的抗沖擊能力和能量吸收能力隨著蜂窩夾芯板長度的增大而增強。因此，在實際的工程應(yīng)用領(lǐng)域，適當提高蜂窩夾芯板的長寬比來增強結(jié)構(gòu)的抗沖擊能力。

圖8 寬長比對蝴蝶形蜂窩夾芯板動力響應(yīng)的影響Fig.8 Influences of the width-length ratios on dynamic responses of the butterfly-shaped honeycomb sandwich panel

3 結(jié) 論

以負泊松比蝴蝶形蜂窩夾芯板為研究對象，探討了在低速沖擊下蜂窩胞元和夾芯板的幾何尺寸對夾芯板動力響應(yīng)的影響，得到以下結(jié)論。

(1) 基于一階剪切變形理論和哈密頓原理建立了蝴蝶形蜂窩夾芯板在低速沖擊下的動力響應(yīng)理論分析模型，并對理論分析模型進行了解析求解。將理論模型計算結(jié)果與Abaqus 數(shù)值模擬結(jié)果或已發(fā)表的文獻結(jié)果進行對比，驗證了理論模型的有效性。

(2) 在相同的沖擊載荷下，蝴蝶形蜂窩夾芯板的抗沖擊特性隨著蝴蝶形蜂窩胞元壁厚的增大而增強，隨著蜂窩胞元角度的增大而減弱。當蜂窩胞元厚度從1 mm 變化到3 mm 時，蜂窩夾芯板的抗沖擊特性提升3.7%。

(3)增大蜂窩夾芯板的夾芯層高度和夾芯板長度，可以提升蜂窩夾芯板的抗沖擊特性。當夾芯層高度從6 mm 增大至14 mm 時，蜂窩夾芯板的最大橫向位移減小5.4%；當夾芯板長度從100 mm 增大至200 mm 時，蜂窩夾芯板最大橫向位移減小6.1%。

需要說明的是，本文中所建立的蜂窩夾芯板動力響應(yīng)分析模型適用于低速沖擊下所產(chǎn)生的彈性形變研究，而對于高速沖擊所產(chǎn)生的塑性形變，本文的理論模型還需要進一步的改進和驗證。