化繁為簡 化難為易
——例談立體幾何的“動態(tài)”問題

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級中學,甘肅 金昌 737200)

動態(tài)問題是高中立體幾何的重要題型,常見題型為定位問題、角度、距離與體積的計算、圖形問題和動點軌跡以及翻折、旋轉(zhuǎn)問題等.

1 定位問題

例1 如圖1,已知四邊形ABCD,CDGF,ADGE均為正方形,且邊長為1,在DG上是否存在點M,使得直線MB與平面BEF的夾角為45°?若存在,求出點M的位置;若不存在,請說明理由．

圖1 例1圖 圖2 例1建系圖

解析因為四邊形CDGF,ADGE均為正方形,所以CD⊥DA,GD⊥DC.

又因為DA∩DC=D,所以GD⊥平面ABCD.

又因為CD⊥DA, 所以DA,DG,DC兩兩互相垂直.

如圖2,以點D為原點建立空間直角坐標系,則B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1)．

因為點M在DG上,假設(shè)存在點M(0,0,t)(0≤t≤1),使得直線MB與平面BEF的夾角為45°.

設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)．

令z=1,得x=y=1.

所以n=(1,1,1)為平面BEF的一個法向量．

評注由于立體幾何中“動態(tài)”性的存在,代數(shù)法常常引入?yún)⒘?達到以靜制動的效果[1]．

2 角度問題

例2如圖3,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,面ABCD⊥面ADPQ,動點M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,求cosθ的最大值.

圖3 例2圖 圖4 例2建系數(shù)

解析如圖4所示建立坐標系.設(shè)AB=1,則

令t=8y+1(1≤t≤9),

當且僅當t=1時等號成立.

評注本題空間角除了用代數(shù)法,還可以用幾何法,當點M在點P處時,EM與AF所成角為直角,此時余弦值為0(最小),當點M向左移動時,EM與AF所成角逐漸變小時,點M到達點Q時,角最小,余弦值最大.

3 距離問題

例3如圖5,在三棱錐A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC與△BCD均為等腰直角三角形,∠BAC=∠BCD=90°,BC=2, 點P是線段AB上的動點,若線段CD上存在點Q,使得異面直線PQ與AC成30°的角,則線段PA長的取值范圍是( ).

圖5 例3圖 圖6 例3建系圖

解析設(shè)BC的中點為O,連接OA,因為∠BAC=90°,BC=2,所以O(shè)A=1.

如圖6,建立空間直角坐標系O-xyz,則O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s<0,t,m>0).

也即3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2.

由此可得3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2>0.

結(jié)合t-s=1可得4(1-s2)>2+2s2.

即3s2<1.

評注求距離的基本方法是代數(shù)法,使用距離公式后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

4 體積問題

例4 如圖7,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,若平面ABC外一點P和線段AC上一點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體P-BCD的體積的最大值是____．

圖7 例4圖 圖8 例4解析圖

解析如圖8,設(shè)M,N分別為AC,AP的中點,因為BA=BP=BC,PD=DA,所以點B在平面PAC上的射影為△PAC的外心O,且點O在直線ND上．

當且僅當點M與點D重合時取到等號．

因此,四面體P-BCD的體積為

此時點O,M,D重合,即點D為AC的中點,且平面PBD與平面ABC垂直相交于BD.

評注對于運動模型(規(guī)律)的求值問題,適當引入某個變量求最值．

5 軌跡問題

例5如圖9,已知線段AB垂直于定圓所在的平面,B,C是⊙O上的兩個點,H是點B在AC上的射影,當點C運動時,點H運動的軌跡是( ).

圖9 例5圖 圖10 例5解析圖

A．拋物線 B．圓 C．橢圓 D．不是平面圖形

解析如圖10,設(shè)⊙O的半徑為r,取BC的中點M,則OM⊥BC,MH=MC.

因為AB⊥平面BCD,

所以BC是AC在平面BCD上的射影.

從而OM⊥平面ABC,得OM⊥MH.

于是OH2=MO2+MH2=MO2+MC2=r2.

即OH=r,亦即動點H在以O(shè)為球心、r為半徑的球面上．

又因為BH⊥AD,B為定點,

所以動點H又在過點B且垂直于直線AD的定平面上,故點H運動的軌跡是圓．

評注解答軌跡問題的關(guān)鍵是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,利用解析法求出軌跡方程[2]．

6 翻折、旋轉(zhuǎn)問題

例6 如圖11,在正方形ABCD中,E,F分別為線段AD,BC上的點,∠ABE=20°,∠CDF=30°．將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨立旋轉(zhuǎn)一周,則在所有旋轉(zhuǎn)過程中,求AB與DF所成角的最大值．

圖11 例6圖

解析由題△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD形成兩個圓錐體,AB和DF成為圓錐的母線,所以無論怎么旋轉(zhuǎn),都有∠ABE=120°,∠CDF=30°．利用幾何體性質(zhì)得最大角是直線AB關(guān)于直線BE對稱的直線BA′和DF關(guān)于直線CD的對稱直線DF′在同一平面內(nèi)時所成角,為∠ABA′+∠DCF′=70°.

評注處理翻折問題時,務(wù)必搞清楚翻折前后兩個量之間的位置不變.

7 圖象問題

例7在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為A1B1,C1D1,AB,CD的中點,點P從點G出發(fā),沿折線GBCH勻速運動,同時點Q從點H出發(fā),沿折線HDAG勻速運動,且點P與點Q運動的速度相等,記以E,F,P,Q四點為頂點的三棱錐的體積為V,點P運動的路程為x,當0≤x≤2時,表示V與x關(guān)系的圖象為( ).

圖12 V與x關(guān)系的圖象

解析因為點P與點Q運動的速度相等,設(shè)底面ABCD的中心為O,連接OE,OF,則平面OEF把幾何體PEFQ分割為體積相等的兩部分[3]．

圖時 圖時

評注解決以立體幾何為背景的分段函數(shù)的圖象問題,解題的關(guān)鍵在于借助幾何圖形分析出動點在運動過程中圖形的變化情況．